层次分析法(20210228083421)

层次分析法（Analytic Hierarchy Process简称AHP）是将决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于本世纪70 年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法，称为层次分析法。

层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所对应的特征向量W,归一化后，即为某一层次

指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。

层次分析法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从

而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合。

在现实世界中，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题，选择升学志愿的问题等等。在决策者作出最后的决定以前，他必须考虑很多方面的因素或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。比如选择一个旅游景点时，你可以从宁波、普陀山、浙西大峡谷、雁荡山和楠溪江中选择一个作为自己的旅游目的地，在进行选择时，你所考虑的因素有旅游的费用、旅游地的景色、景点的居住条件和饮食状况以及交通状况等等。这些因素是相互制约、相互影响的。我们将这样的复杂系统称为一个决策系统。这些决策系统中很多因素之间的比较往往无法用定量的方式描述，此时需要将半定性、半定量的问题转化为定量计算问题。层次分析法是解决这类问题的行之有效的方法。层次分析法将复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联因。层次分析法的基本步骤建立层次结构模型

在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时（譬如多于9 个）应进一步分解出子准则层。

构造成对比较阵

从层次结构模型的第2层开始，对于从属于（或影响）上一层每个

因素的同一层诸因素，用成对比较法和1—9 比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。

计算权向量并做一致性检验

对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量：若不通过，需重新构追成对比较阵。计算组合权向量并做组合一致性检验

计算最下层对目标的组合权向量，并根据公式做组合一致性检验，若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较阵。

美国运筹学家A.L.saaty 于20 世纪70 年代提出的层次分析法（AnalyticHi~hyProcess简称AHP方法），是对方案的多指标系统进行分析的一种层次化、结构化决策方法，它将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化。应用这种方法，决策者通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，就可以得出不同方案的权重，为最佳方案的选择提供依据。运用AHP 方法，大体可分为以下三个步骤:

步骤1:分析系统中各因素间的关系，对同一层次各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较的判断矩阵

步骤2:由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行判断矩阵的一致性检验；

步骤3:计算各层次对于系统的总排序权重，并进行排序。

最后，得到各方案对于总目标的总排序。

构造判断矩阵

层次分析法的一个重要特点就是用两两重要性程度之比的形式表示出两个方案的相应重要性程度等级。如对某一准则，对其下的个方案进行两两对比，并按其重要性程度评定等级。记为第和第因素的重要性之比，表3列出Saaty给出的9个重要性等级及其赋值。按两两比较结果构成的矩阵称作判断矩阵。判断矩阵具有如下性质：

,且/ ( =1,2, ?即为正互反矩阵素的重要性来为分析、决策提

供定量的依据。

表3比例标度表

计算权重向量

为了从判断矩阵中提炼出有用信息，达到对事物的规律性的认识，为决策提供出科学依据，就需要计算判断矩阵的权重向量。

定义：判断矩阵，如对…，成立，则称满足一致性，并称为一致性矩阵。

一致性矩阵A具有下列简单性质：

1、存在唯一的非零特征值,其对应的特征向量归一化后记为，叫做权重向量，且；

2、的列向量之和经规范化后的向量，就是权重向量；

3、的任一列向量经规范化后的向量，就是权重向量；

4、对的全部列向量求每一分量的几何平均，再规范化后的向量，就是权重向量。

因此，对于构造出的判断矩阵，就可以求出最大特征值所对应的特征向量，然后归一化后作为权值。根据上述定理中的性质2和性质4即得到判断矩阵满足一致性的条件下求取权值的方法，分别称为和法和根法。而当判断矩阵不满足一致性时，用和法和根法计算权重向量则很不精确。

一致性检验

当判断矩阵的阶数时，通常难于构造出满足一致性的矩阵来。但判断矩阵偏离一致性条件又应有一个度，为此，必须对判断矩阵是否可接受进行鉴别，这就是一致性检验的内涵。

定理：设是正互反矩阵的最大特征值则必有,其中等式当且仅当

为一致性矩阵时成立。

应用上面的定理，则可以根据是否成立来检验矩阵的一致性，如果比大得越多，则的非一致性程度就越严重。因此，定义一致性指标（1）

CI越小，说明一致性越大。考虑到一致性的偏离可能是由于随机原因造成的，因此在检验判断矩阵是否具有满意的一致性时，还需将C屿平均随机一致性指标RI进行比较，得出检验系数CR即

（2）

如果，则认为该判断矩阵通过一致性检验，否则就不具有满意一致性。

其中，随机一致性指标RI和判断矩阵的阶数有关，一般情况下，矩阵阶数越大，则出现一致性随机偏离的可能性也越大，其对应关系如表4:表4平均随机一致性指标RI标准值

矩

阵

3456789

阶

数

RI0.51490.8931 1.1185 1.2494 1.3450 1.4200 1.4616可见，AHP方法不仅原理简单，而且具有扎实的理论基础，是定量

与定性方法相结合的优秀的决策方法，特别是定性因素起主导作用的

决策问题应用层次分析法的注意事项

如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的关系不正

确，都会降低AHP法的结果质量，甚至导致AHP法决策失败。

为保证递阶层次结构的合理性，需把握以下原则：

1、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多；

2、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较。

层次分析法应用实例

1、建立递阶层次结构；

2、构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵）对各指标之间进行两两对

比之后，然后按9 分位比率排定各评价

指标的相对优劣顺序，依次构造出评价指标的判断矩阵。

3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重；关于判断矩阵权重计算

的方法有两种，即几何平均法（根法）和

规范列平均法（和法）。

（1）几何平均法（根法）

计算判断矩阵A各行各个元素mi的乘积；

计算mi 的n 次方根；

对向量进行归一化处理；

该向量即为所求权重向量。

2）规范列平均法（和法）

计算判断矩阵A各行各个元素mi的和；

将A 的各行元素的和进行归一化；该向量即为所求权重向量。

计算矩阵A的最大特征值？max

对于任意的i=1,2,…，忒中为向量AW的第i 个元素

（4）一致性检验构造好判断矩阵后，需要根据判断矩阵计算针对某一准则层各元素的相对权重，并进行一致性检验。虽然在构造判断矩阵 A 时并不要求判断具有一致性，但判断偏离一致性过大也是不允许的。因此需要对判断矩阵A进行一致性检验。