数列概念及等差数列

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案

数列概念及等差数列

一．课标要求：

1．数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数；

2．通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式；

3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等差数列与一次函数的关系。

二．命题走向

数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高。

预测2013年高考：

1．题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；

2．知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题。

三．要点精讲

1．数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为的项叫第项（也叫通项）记作；

数列的一般形式：，，，……，，……，简记作。

（2）通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如，数列①的通项公式是= （7，），数列②的通项公式是=（）。

说明：①表示数列，表示数列中的第项，= 表示数列的通项公式；

②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，= =；③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……

（3）数列的函数特征与图象表示：

序号：1 2 3 4 5 6

项：4 5 6 7 8 9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值……，，……．通常用来代替，其图象是一群孤立点。

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

（5）递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

2．等差数列

（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。

（2）等差数列的通项公式：；

说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列，为递减数列。

（3）等差中项的概念：

定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中

，，成等差数列。

（4）等差数列的前和的求和公式：。

四．典例解析

题型1：数列概念题型2：数列的递推公式题型3：数列的应用

题型4：等差数列的概念题型5：等差数列通项公式题型6：等差数列的前n项和公式题型7：等差数列的性质及变形公式

五．思维总结

1．数列的知识要点：

（1）数列是特殊的函数，数列是定义在自然数集N（或它的有限子集｛1，2，3，…，n，…｝）上的函数f（n），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值：f（1），f（2），f（3），…，f（n），…。数列的图象是由一群孤立的点构成的。

（2）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式；③一个数列还可以用递推公式来表示；④在数

列｛a n｝中，前n项和S n与通项公式a n的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。即a n＝。特别要注意的是，若a1适合由a n＝S n－S n （n≥2）可得到的表达式，则a n不必表达成分段形式，可化统一为一－1

个式子。

2．等差数列的知识要点：

（1）等差数列定义a n＋1－a n＝d（常数）（n N），这是证明一个数列是等差数列的依据，要防止仅由前若干项，如a3－a2＝a2－a1

＝d（常数）就说｛a n｝是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列。还可由a n＋a n＋2＝2 a n＋1即a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n来判断。

（2）等差数列的通项为a n＝a1＋（n－1）d．可整理成a n＝a n＋（a1－d），当d≠0时，a n是关于n的一次式，它的图象是一条直线上，那么n为自然数的点的集合。

（3）对于A是a、b的等差中项，可以表示成2 A＝a＋b。

（4）等差数列的前n项和公式S n＝·n－na1＋d，可以整理成S n＝n2＋。当d≠0时是n的一个常数项为0的二次式。

（5）等差数列的判定方法：

①定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；

②等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。

3．等差数列的性质：

（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是，如：，，，，……；，，，，……；

（3）在等差数列中，对任意，，，；

（4）在等差数列中，若，，，且，则；

5．说明：设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①奇偶；②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①偶奇；②。

6．（1），时，有最大值；，时，有最小值；（2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。