平面向量复习(公开课精华)PPT课件

1、平面向量数量积的定义： a b | a| | b| cos
2、数量积的几何意义：
等 于 a 的 长 度 | a | 与 b 在 a 方 向 上 的 投 影 | b | c o s 的 乘 积 .
3、数量积的坐标运算
B
abx1x2y1y2
θ
4、运算律: （1） abba O
B1
A
（ 2 ）（ a ） b（ ab ） a（ b ）
（ 3）a（ b） cacbc
平面向量的数量积a·b的性质: ①e·a=a·e=|a|cosθ
②a⊥b a·b=0
③a，b同向a·b=|a||b|反向时a·b=-|a|·|b|
a2=a·a=|a|2(a·a= a2 )
④cosθ= a b
|a ||b |
⑤|a·b|≤|a|·|b|
四、向量垂直的判定
2、单位向量：长度为1 的向量叫单位向量。记作
a |a |
。
3、相等向量： 长度相等，方向相同 的向量叫相等向量。
4、相反向量： 长度相等，方向相反的向量叫相反向量。
5、平行向量：表示向量的一些有向线段，平行或在一直线上
的向量叫平行向量。 注意：共线向量也称平行向量
6、请说出以上向量的相互关系？
三、向量的运算
平面向量 (复习课)
知识网络
向量
向量有关概念 向量的定义
向量的运算 向量的加法
基本应用 平行与垂直的条件
单位向量及零向量
向量的减法
求长度
相等向量及相反向量 实数和向量的积
求角度
平行向量和共线向量 向量的数量积
一、向量的概念
1、向量：既有 大小 ，又有 方向 的量 叫做向量。
向量的两要素： 大小 和 方向 （与位置无关，没有大小）
（ 1）abab0 向量表示 （ 2 ） a b x1x2y1y20坐标表示
五源自文库向量平行的判定(共线向量的判定)
（ 1） a//bba（ a0） 向量表示
（ 2 ） b / / a x 1 y 2 x 2 y 1 0 ， 其 中 a （ x 1 ， y 1 ） ， b （ x 2 ， y 2 ）
∴(3a+b)=2 3
法2 9=9a2+4b2-12a·b
∴a·b=
1 3
又,(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=12
解：假设,a与b共线则 e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe2 1=3λ 1=-3λ 这样λ不存在。 ∴a与b不共线。
例2 设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R)
解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb 2=2λ λ=-1
解：设a =(x,y) 则 x2+y2=100 -4x-3y=0 x=6 x=-6 y=-8 y=8 a=(6,-8)或(-6,8)
例5、 设|a|=|b|=1 |3a-2b|=3则|3a+b|=____
解：法1 a=(x1y1) b=(x2,y2)
x12+y12=1
x22+y22=1
3a-2b=3(x1,y1)-2(x2,y2)=(3x1-2x2,3y1-2y2)
3、数乘向量的运算律：
aa（ ） aaa （ a b ） a b
4、平面向量基本定理
如 果 e1， e2是 同 一 个 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量 ， 那 么 对 于
这 一 平 面 内 的 任 一 向 量 a， 有 且 只 有 一 对 实 数 1 ， 2使 a1e12e2
(四) 数量积
| a || b |
x1x2 y1y2 x12 y12 x22 y22
特别注意：
ab0 cos0 为锐角 0 或
ab0 cos0 为钝角 或
由此，当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时，应
排除夹角为0或 的情况，也就是要进一步说明两向量不共
线。
典型例题分析:
例1 e1、e2不共线，a=e1+e2 b=3e1－3e2 a与b是否共线。
B
2、坐标运算： 设 a （ x1， y1 ） ， b （ x2， y2）
则 a b （ x1x2， y1y2）
（三）数乘向量 λ a( R)
1、 a 的大小和方向：（1）长度： a a
（2）方向： 当 0时， a与a同向 当 0时， a与 a异 向
当 0时， a 0
2、数乘向量的坐标运算 ： a （ x ， y ） （ x ， y ）
二、向量的表示
1、代数字母表示： AB或a （可运算） | AB|或| a|
2、几何有向表示：
3、坐标表示：（综合运算）
axiyj （x，y）
OA（x，y）
（有向线段、作图）
y
a
y a A (x,y)
j
O
ix
x
三、几个特点向量
1、零向量：长度为零 的向量叫零向量。记作 0 ，
零向量的方向是 任意的 ，零向量与任意向量 平行。
∴
k=-λ k=-1 ∴k=-1
例3、 已知a=(3,-2) b=(-2,1) c=(7,-4)， 用a、b表示c。
解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b
例4、 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a
六、向量的长度
坐标表示
（ 1）aa|a|2， | a |
2
a
（ 2 ） 设 a （ x ， y ） ， 则 | a | x 2 y 2
（ 3 ） A （ x 若 1 ， y 1 ） B （ x ， 2 ， y 2 ）|A ， | B （ x则 1x2） 2（ y1y2） 2
七、向量的夹角
cos a b
（一）向量的加法
1、作图 三角形法则：A BB CA C a + b
平行四边形法则： 2、坐标运算： 设 a （ x1， y1 ） ， b （ x2， yA2） a
则 a b （ x1x2， y1y2） D
（二）向量的减法 A B A D D Bb a + b
1、作图 平行四边形法则：
Aa
C
b
B
C
∴9(x12+y12)+4(x12+y12)-12(x1x2+y1y2)=9
x1x2+y1y2=
1 3
3a+b=3(x1,y1)+(x2,y2)=(3x1+x2,3y1+y2)
|3a+b|2=(3x1+x2)2+(3y1+y2)2
=9(x12+y12)+(x22+y22)+6(x1x2+y1y2)=12