固体力学6-1_574509406

固体力学

1.课程概述

2.张量分析基础

3.运动与变形

4.应力与平衡

5.固体材料的本构关系

弹性力学的基本

6.弹性力学的基本理论

7.弹塑性力学问题88.固体力学专题

6.弹性力学的基本理论

6.1 线性弹性理论的基本方程

6.2 线性弹性理论的基本原理

62

6.3 线性弹性理论的基本解法

6.4 线性弹性理论位移方程的一般解

66.5 线性弹性理论的若干经典解析解

6.6 线性弹性理论的变分原理及应用

6.1 线性弹性理论的基本方程

另外除去给定位移或面力边界条件外还有另一 线弹性理论的边界条件

另外，除去给定位移或面力边界条件外，还有另种线性边界条件—弹性约束条件。用这个条件可以取代给定位移或给定面力的条件其形式如下取代给定位移或给定面力的条件。其形式如下

uti

S

∈∀x t K u c i ij i

+=—为约束弹性常数；

ij K j j i c —为与初始位移有关的参数。

另外对于包含两种不同材料交界面的弹性问题在 线弹性理论的边界条件

另外，对于包含两种不同材料交界面的弹性问题，在交界面上还要提出连续条件，包括位移连续条件和面(1)(2)(1)(1)(1)(2)(2)(2)i

i

i ij

j

j

i ij

u u

, n t

t

n σ

σ

===−=−力连续条件

*

x S

∈∀数目问题……..

对于动力问题，方程要作简单修改：在平衡方程中加入惯性项；并且加上适当的初始条件。

考虑同一弹性体的两组载荷情况 叠加原理

考虑同弹性体的两组载荷情况

f t

u i i i ij ij ()

()

()()(),,,11111 ⇒εσf t

u i i

i

ij

ij

()()()()(),,,22222 ⇒ε

σ

若两组载荷同时作用

⇒+=+=)()()

()

(2121t

t

t u σε,i

i

i i

i

i f f f u u u

=+=+=+()()()()()()121212 εε

εσσ

σ

ij

ij i ,,i i

i

ij ij

ij

ij ij

ij

则

叠加原理

证明：以平衡方程为例。

σσ

ij j

i

ij j

i

f f V

()()

()

()

,,112200+=+=∀∈ x σ

σ

j ij

i

j ij

i

n t

n t

S

()()()()1122==∀∈

x ()σσij

ij

j

i

i f f V ()()()()

((((,12120+++=∀∈ x 另外几何方程物理方程位移边界条件等也同样()σσj

ij

ij

i

i

n t

t

S

))))1212+=+∀∈ x 另外，几何方程、物理方程、位移边界条件等也同样可以得到证明，所以叠加原理成立

叠加原理是线性问题所特有的性质对于任何非线性 叠加原理

叠加原理是线性问题所特有的性质，对于任何非线性问题叠加原理就不再成立（非线性模态的趣话）。叠加原理的一个重要应用：非齐次方程的通解等于非齐次方程的任一特解和齐次方程的通解之和。解的结构：

非齐次方程的通解＝非齐次特解＋齐次通解

6.2 线性弹性理论的基本原理
解的存在唯一性定理 解的存在性问题在数学上已经得到证明，可以参考钱伟 解的存在性问题在数学上已经得到证明 可以参考钱伟 长的“弹性力学”，这里不再详细讨论。 对于解的唯 性，即 对于解的唯一性 即 Kirchhoff 唯一性定理可以采用反 唯 性定理可以采用反 证法证明。
Zheng Xiaoping 2013

6.2 线性弹性理论的基本原理
解的存在唯一性定理 假如在一组载荷 假如在 组载荷
f i , ti作用下产生了两组变形状态 作用下产生了两组变形状态：
ui(1) , εij(1) , σ ij(1) ; ui( 2) , εij( 2) , σ ij( 2)
记
ui = ui(1) − ui( 2 ) , εij = εij(1) − εij( 2 ) , σ ij = σ ij(1) − σ ij( 2 )
u 根据叠加原理可知： i , ε ij , σ ij 满足齐次方程
Zheng Xiaoping 2013

6.2 线性弹性理论的基本原理
解的存在唯一性定理
σ ij , j = 0
n jσ ij = 0 ui = 0
∀x ∈V ∀x ∈ S ti ∀x ∈ S ui
考虑：
∫ t u dS = ∫ u σ
S i i
S
i
ij j
n j dS = ∫ [uiσ ijj ] ' j dV
V
V
=∫ (ui , j σ ij + uiσ ij , j )dV = ( ε ijjσ ijj + uiσ ijj , j )dV V ∫
= ∫ ε ijσ ij dV − ∫ ui f i dV
V V
Zheng Xiaoping 2013