数学软件实训报告

数学软件应用实训

实训报告

学生姓名韩*

学号13090***** 班级信计1302班

成绩

指导教师

数学与计算机科学学院

2015年12月15日

实训报告评阅

1特殊函数与图形

问题背景与实验目的

著名的Riemann函数大家都很熟悉了，但是关于它的图像你是否清楚呢？除了最上面那几点，其他都很难画吧？你想不想看看下面那些“挤在一起”的点是怎样分布的呢？还有几何中的马鞍面、单叶双曲面等是怎样由直线生成的，是不是也想目睹一下呢？这些，都离不开绘图．

实际上绘图一直是数学中的一种重要手段，借助图形，往往可以化繁为简，使抽象的对象得到明白直观的体现．比如函数的基本性质，一个图形常可以使之一目了然，非常有效．它虽不能代替严格的分析与证明，但在问题的研究过程中，可以帮助研究人员节约相当一部分精力．此外，它还可以使计算、证明、建模等的结果得到更明白易懂的表现，有时，这比科学论证更有说服力．

同时，数学的教学与学习过程也离不开绘图．借助直观的图形，常可以使初学者更容易接受新知识．如数学分析中有不少函数，其解析式着实让人望而生畏，即使对其性质作了详尽的分析，还是感到难明就里；但如果能看到它的图形，再配合理论分析，则问题可以迎刃而解．又如在几何的学习中，会遇到大量的曲线与曲面，也离不开图形的配合．

传统的手工作图，往往费力耗时，效果也不尽理想．计算机恰恰弥补了这个不足，使你可以方便地指定各种视角、比例、明暗，从各个角度进行观察．

本实验通过对函数的图形表示和几个曲面（线）图形的介绍，一方面展示它们的特点，另一方面，也将就Matlab软件的作图功能作一个简单介绍．大家将会看到，Matlab的作图功能非常强大．

实验内容

数学分析中，特别是积分部分，我们接触了不少有趣的函数，由于其中有的不是一一对应的，用上面的方法无法画出它们的图像，这时就只能用参数了．

此外还有些图形只能用参数来画，比如空间曲线，在计算机上不接受“两个曲面的交线”这种表示，所以也只能用参数来实现．

用参数方式作图的关键在于找出合适的参数表示，尤其是不能有奇点，最好也不要用到开方．所以要找的参数最好是有几何意义的．当然这也不可一概而论，需要多积累经验．

实验步骤

1.做出下图所示的三维图形：

图9

ezsurf('3*sin(u)*cos(v)','3*sin(u)*sin(v)','3*cos(u)',[0,pi,0,2*pi]);

axis equal

hold on

ezsurf('(8+2*cos(u))*cos(v)','(8+2*cos(u))*sin(v)','2*sin(u)',[0,2*pi,0,2*pi]) 2作出下图所示的墨西哥帽子及其剪裁图形：

[a,b]=meshgrid(-5:.5:5);

c=sqrt(a.^2+b.^2)+eps;

z=sin(c)./c;

mesh(a,b,z)

axis square

改变a、b的取值范围，可得到裁剪后的图。

1．画出球面、椭球面、双叶双曲面、单叶双曲面．球面：

ezsurf('3*sin(u)*cos(v)','3*sin(u)*sin(v)','3*cos(u)',[0,pi,0,2*pi]);

axis equal

title(‘球面’)

椭球面：

ezsurf('3*sin(u)*cos(v)','1*sin(u)*sin(v)','1*cos(u)',[0,pi,0,2*pi]);

axis equal

title(‘椭球面’)

双叶双曲面：

ezsurf('3*tem(u)*cos(v)','3*tem(u)*sin(v)','5.*sec(u)',[-2*pi,3*pi/2,0,2*pi]); axis auto

axis equal

title(‘双叶双曲面’)

单叶双曲面：

ezsurf('3*sec(u)*cos(v)','4*sec(u)*sin(v)','5*tem(u)',[-pi/2,pi/2,0,2*pi]); axis auto

axis equal

htle(‘单叶双曲面’)

4． 若要求田螺线的一条轴截面的曲边是一条抛物线：0=y 时25x z =．试重新设计田螺线的

参数方程，并画出该田螺线．

Ezplot3(‘1*1*sin(1)’,’1*1*cos(1)’,’1*2/5’,[0,50])

5． 作出下图所示的马鞍面（颜色为灰色，并有一个标题：“马鞍面”）：

图11

[x,y]=meshgrid(-25:1:25); z=x.^2/9-y.^2/4; mesh(x,y,z) title('马鞍面') colormap(‘gray ’)

grid off

6．绘制图8所示的黎曼函数图形，要求分母的最大值n的数值由键盘输入（提示：使用input 语句）．

程序如下：

n=100;x=[];y=[];k=1;

fori=2:n

for j=1:i-1

if gcd(i,j)==1 %用函数gcd(m,n)可求m和n的最大公约数

x(k)=j/i;

y(k)=1/i;

k=k+1;

end

end

end

plot(x,y,'.b');

axis([0,1,0,1])

2数字填图问题

问题背景和实验目的

数字填图问题是数学问题的一种趣味形式．早在19世纪后半期，一些数学家就在报刊中大量使用数字填图游戏和字谜游戏等，目的是使业余爱好者也能通过简单的形式去认识、理解和琢磨深奥的数学问题，这些问题中甚至包括困惑了世间智者350多年、于1994年才刚刚被证明了的“费马大定理”．100多年来，数字填图问题对数学界所起的作用是不言而喻的．大家都知道，数学问题一般都经过严格的逻辑证明才得以解决．而逻辑证明是指从一些公理出发，经过逻辑推理来证明问题．但随着20世纪40年代以来计算机的诞生和发展，计算机改变了整个世界，计算机已在各个领域发挥作用，并取得了许多重大进展．于是，能否用计算机来证明数学问题便成了大家关心的话题．

所谓计算机证明是指充分发挥计算机计算速度快和会“推理”的特点，用计算机程序模拟解题或进行穷举检验，最后得到问题的解．几乎所有的数学家对计算机证明持保留态度，因为他们相信，只有逻辑证明才是真正可靠的．但“四色问题”的证明，又使他们感到困惑，因为“四色问题”的证明实际上是一个计算机证明．

能否用计算机来证明数学问题的争论可能会持续一个相当长的时间，本实验旨在通过生活中几个常见的数字填图问题的探究，谈谈这类问题的逻辑推理解法和计算机解法．

相关函数（命令）简介

1．cputime命令：记录执行本命令时的Matlab时钟的时间(秒)．

2．tic命令：开始计时．

3．toc命令：结束计时．

4．disp(x)：输出矩阵x．x的各项应为字符，所以在输出时要进行转化．

相关的命令有：

num2str( )：把数值转化为字符；mat2str( )：把矩阵转化为字符．

实验内容

让我们先从一个简单的问题出发来谈谈数字填图问题的两种解法．然后通过几个稍复杂问题的探究，从中展示逻辑推理的严谨以及计算机解法的魅力，启迪我们去解决更复杂的数学问题．

1．一道竞赛题（以下称“原问题”）

1998 年4 月香港数理教育学会主办的初中数学竞赛有这样一道试题：

在下面的加法算式中，每个□表示一个数字，任意两个数字都不相同，那么 A 与 B 的乘积的最大值是多少?

程序如下：

n=0;

for a=1:9

for b=1:9

if (b==a), continue; end

for c=0:9

if (c==a | c==b), continue; end

for d=1:9

if (d==a | d==b | d==c), continue; end

for e=0:9

if (e==a | e==b | e==c | e==d), continue; end

for f=0:9

if (f==a | f==b | f==c | f==d | f==e), continue; end

for g=1:9

if (g==a | g==b | g==c | g==d | g==e | g==f), continue; end

for h=0:9

if (h==a | h==b | h==c | h==d | h==e | h==f | h==g), continue; end

fori=0:9

if (i==a | i==b | i==c | i==d | i==e | i==f | i==g | i==h), continue; end for j=0:9

if(j==a | j==b | j==c | j==d | j==e | j==f | j==g | j==h|j==i), continue;

end

if (a+b*10+c+d*100+e*10+f==g*1000+h*100+i*10+j)

n=n+1;

k=i*j

fprintf ('第%d个解:%d+%d%d+%d%d%d=%d%d%d%d\n',n,a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k); end,end,end,end,end,end,end,end,end,end,end

结果如下：

第1个解:2+46+987=1035.第15个解:k=15

第2个解:2+47+986=1035.第15个解:k=15

……

第8个解:2+87+964=1053.第12个解:k=12

第9个解:3+45+978=1026.第12个解:k=12

…….

第59个解:8+73+945=1026.第12个解:k=12

第60个解:8+75+943=1026.第12个解:k=12（共60个解，这里只选取一部分）

故A*B的最大值为15

由上述问题引伸出的三个问题：

2．满足原问题题意的不同的加法算式（竖式）共有多少个?

程序如下：

t02=clock;

n=0;

A1=1:9;

for i1=1:9

a=A1(i1); A2=A1([1:i1-1,i1+1:9]);

for i2=1:8

b=A2(i2); A3=A2([1:i2-1,i2+1:8]);

for i3=1:7

c=A3(i3); A4=A3([1:i3-1,i3+1:7]);

for i4=1:6

d=A4(i4); A5=A4([1:i4-1,i4+1:6]);

for i5=1:5

e=A5(i5); A6=A5([1:i5-1,i5+1:5]);

for i6=1:4

f=A6(i6); A7=A6([1:i6-1,i6+1:4]);

for i7=1:3

g=A7(i7); A8=A7([1:i7-1,i7+1:3]);

for i8=1:2

h=A8(i8); i=A8([1:i8-1,i8+1:2]);

ifa+b==c &d+e==f &g+h==i*10 & a

n=n+1;

disp(['第', num2str(n), '个解：', ...

num2str(a), '+', num2str(b), '=', num2str(c), ' ', ...

num2str(d), '+', num2str(e), '=', num2str(f), ' ', ...

num2str(g), '+', num2str(h), '=', num2str(i), '0'])

end

end

end

end

end

end

end

end

end

t2=etime(clock,t02);

fprintf('\n The elapsed time(measured by clock/etime) is: %g',t2)

程序结果：

第1个解：2+6=8 4+5=9 3+7=10

第2个解：2+7=9 3+5=8 4+6=10

The elapsed time(measured by clock/etime) is: 11.754

3．如果在原问题中删除条件：“任意两个数字都不相同”，则满足题意的不同的加法算式（竖式）共有多少个?

程序如下：

#include

main()

{ inta,b,c,d,e,f,g,h,i,j,n=0;

printf("\n\n");

for (a=1;a<=9;a++)

{

for (b=1;b<=9;b++)

{

if (b==a) continue;

for (c=1;c<=9;c++)

{

if (c==a||c==b) continue;

for (d=1;d<=9;d++)

{

if (d==a||d==b||d==c) continue;

for (e=1;e<=9;e++)

{

if (e==a||e==b||e==c||e==d) continue;

for (f=1;f<=9;f++)

{

if (f==a||f==b||f==c||f==d||f==e) continue;

for (g=1;g<=9;g++)

{

if (g==a||g==b||g==c||g==d||g==e||g==f) continue;

for (h=1;h<=9;h++){

if (h==a||h==b||h==c||h==d||h==e||h==f||h==g) continue;

for (i=1;i<=9;i++){

if(i==a||i==b||i==c||i==d||i==e||i==f||i==g||i==h) continue;

else

if ((a+b==c)&&(d+e==f) && (g+h==10*i)&&(a

{printf ("%3d: %d+%d=%d, %d+%d=%d, %d+%d=%d0 \n ",++n,a,b,c,d,e,f,g,h,i);

if (n%3==0) printf("\n");

} } } } } } } } } }

return 0;

}

程序结果：

1: 2+6=8, 4+5=9, 3+7=10

2: 2+7=9, 3+5=8, 4+6=10

Press any key to continue

4.假如违反常规，允许三个“加数”与“和数”均可以由数字 0 作为开头，保留条件：“任意两个数字都不相同”，则满足原问题题意的不同的加法算式（竖式）共有多少个?

程序如下：

t0=clock;

n=0;

S1=1:9;

for i1=1:9

A=S1(i1);S2=S1([1:i1-1,i1+1:9]);

for i2=1:8

B=S2(i2);S3=S2([1:i2-1,i2+1:8]);

for i3=1:7

C=S3(i3);S4=S3([1:i3-1,i3+1:7]);

for i4=1:6

D=S4(i4);S5=S4([1:i4-1,i4+1:6]);

for i5=1:5

E=S5(i5);S6=S5([1:i5-1,i5+1:5]);

for i6=1:4

F=S6(i6);S7=S6([1:i6-1,i6+1:4]);

for i7=1:3

G=S7(i7);S8=S7([1:i7-1,i7+1:3]);

for i8=1:2

H=S8(i8);I=S8([1:i8-1,i8+1:2]);

if(A/(10*B+C)+D/(10*E+F)==G/(10*H+I) & A

n=n+1;

fprintf('第%d个解:%d/%d%d+%d/%d%d=%d/%d%d\n',n,A,B,C,D,E,F,G,H,I);

end;end;end;end;end;end;end;end;end;

t=etime(clock,t0);

fprintf('计算用时:%g\n共有%d个解',t,n)

程序结果：

第1个解:1/26+5/78=4/39

第2个解:1/32+7/96=5/48

第3个解:1/96+7/48=5/32

第4个解:2/68+9/34=5/17

第5个解:4/56+7/98=3/21

第6个解:5/26+9/78=4/13

计算用时:13.984

共有6个解

5.验证本实验中的“问题四”、“问题五”的结论．能否给出相应的推理解法? 程序如下：

t0=clock;

n=0;

S1=1:9;

for i1=1:9

A=S1(i1);S2=S1([1:i1-1,i1+1:9]);

for i2=1:8

B=S2(i2);S3=S2([1:i2-1,i2+1:8]);

for i3=1:7

C=S3(i3);S4=S3([1:i3-1,i3+1:7]);

for i4=1:6

D=S4(i4);S5=S4([1:i4-1,i4+1:6]);

for i5=1:5

E=S5(i5);S6=S5([1:i5-1,i5+1:5]);

for i6=1:4

F=S6(i6);S7=S6([1:i6-1,i6+1:4]);

for i7=1:3

G=S7(i7);S8=S7([1:i7-1,i7+1:3]);

for i8=1:2

H=S8(i8);I=S8([1:i8-1,i8+1:2]);

if((10*A+B)/C+(10*D+E)/F==(10*G+H)/I & C

n=n+1;

fprintf('第%d个解:%d%d/%d+%d%d/%d=%d%d/%d\n',n,A,B,C,D,E,F,G,H,I);

end;end;end;end;end;end;end;end;end;

t=etime(clock,t0);

fprintf('计算用时:%g\n共有%d个解',t,n)

运行结果：

第1个解:13/2+45/6=98/7

第2个解:14/2+35/7=96/8

第3个解:14/2+96/8=57/3

第4个解:15/3+27/9=48/6

第5个解:15/3+27/9=64/8

第6个解:17/2+58/4=69/3

第7个解:18/3+27/9=54/6

第8个解:18/3+54/9=72/6

第9个解:18/3+72/9=56/4

第10个解:18/4+23/6=75/9

第11个解:18/6+54/9=27/3

第12个解:21/3+54/9=78/6

第13个解:21/7+96/8=45/3

第14个解:24/6+35/7=81/9

第15个解:28/7+15/9=34/6

第16个解:35/7+18/9=42/6

第17个解:37/1+45/6=89/2

第18个解:37/1+54/9=86/2

第19个解:41/3+89/6=57/2

第20个解:45/3+96/8=27/1

第21个解:46/2+18/9=75/3

第22个解:46/3+87/9=25/1

第23个解:54/6+32/8=91/7

第24个解:54/6+98/7=23/1

第25个解:56/7+81/9=34/2

第26个解:58/2+49/7=36/1

第27个解:65/3+48/9=27/1

第28个解:67/3+15/9=48/2

第29个解:73/6+21/9=58/4

第30个解:74/3+95/6=81/2

第31个解:75/6+81/9=43/2

第32个解:76/8+54/9=31/2

第33个解:81/6+45/9=37/2

第34个解:84/6+27/9=51/3

第35个解:92/4+16/8=75/3

第36个解:97/2+58/4=63/1

第37个解:97/3+58/6=42/1

第38个解:98/2+54/3=67/1

计算用时:13.108

共有38个解

6．设A ~J 表示十个互不相同的数字，问：方程（注意：组成分数的四个数的第一位数字不能为0）

IJ

H DEFG ABC 共有多少个解？

程序如下： tic; n=0;

for a=1:9 for b=1:9

if (b==a), continue; end for c=1:9

if (c==a | c==b), continue; end for d=1:9

if (d==a | d==b | d==c), continue; end for e=1:9

if (e==a | e==b | e==c | e==d), continue; end for f=1:9

if (f==a | f==b | f==c | f==d | f==e), continue; end for g=1:9

if (g==a | g==b | g==c | g==d | g==e | g==f), continue; end for h=1:9

if (h==a | h==b | h==c | h==d | h==e | h==f | h==g), continue; end fori=1:9

if (i==a | i==b | i==c | i==d | i==e | i==f | i==g | i==h) continue; end

ifi~=a &i~=b &i~=c &i~=d &i~=e &i~=f &i~=g &i~=h & a/(10*b+c)+d/(10*e+f)==g/(10*h+i) & a

end end end end end end end end end end

t3=toc;

fprintf('\n The elapsed time(measured by tic/toc) is: %g',t3) 运行结果：

第1个解：1/26+5/78=4/39 第2个解：1/32+7/96=5/48 第3个解：1/96+7/48=5/32 第4个解：2/68+9/34=5/17 第5个解：4/56+7/98=3/21 第6个解：5/26+9/78=4/13

The elapsed time(measured by tic/toc) is: 86.9631

3数据的统计分析基础

实验目的

在日常生活中我们会在很多事件中收集到一些数据（比如：考试分数、窗口排队人数、月用电量、灯泡寿命、测量误差、产品质量、月降雨量等数据），这些数据的产生一般都是随机的．这些随机数据乍看起来并没有什么规律，但通过数理统计的研究发现：这些随机数还是符合着某种分布规律的，这种规律被称为统计规律．

本实验旨在通过对概率密度函数曲线的直观认识、对数据分布的形态猜测、对某些概率分布的密度函数的参数估计（以正态为例）以及进行简单的正态假设检验，来揭示生活中的随机数据的一些统计规律．

实验内容

1．了解本实验中虽已提及但没有详细介绍的其余几种概率分布的密度函数，写出它们的概率分布的密度函数表达式（本实验的附录中已经列出一部分），并画出相应的图形．

解答：

Gamma 分布11(|,)()

x

a b

a y f x a

b x e b a --==Γ,0x >

瑞利分布2

2

22(|)x b x y f x b e b -==,x -∞<<∞

Beta 分布111

(|,)(1), 01(,)

a b y f x a b x x x B a b --==

-<< Weibull 分布1()(|,)()e , 0x y f x x x α

αλαλλαλ--==≥ 图像依次如下：

2．写出本实验所列出的10种概率累积分布函数表达式，并画出相应的概率累积分布函数图形．

解答：

1,0()0,0

x

e x F x x λ-->=≤??

?

(1) 正态分布

(2) 均匀分布（连续）

(3) 指数分布

(4) 几何分布

(5) 二项分布

(6) 泊松(Poisson)分布

(7)均匀分布（离散）(8)2 分布

(9) F分布

(10) t分布

3．用tabulate( )函数将例1、例2的分数数据按频数表的方式进行统计，每5分为一个分数段（可参见例4），观察数据分布有什么规律．

解答：

对于例一

Value Count Percent

1 0 0.00%

2 0 0.00%

3 0 0.00%

4 0 0.00%

5 0 0.00%

6 0 0.00%

7 0 0.00%

8 0 0.00%

9 0 0.00%

10 0 0.00%

11 0 0.00%

12 0 0.00%

13 0 0.00%

14 0 0.00%

15 0 0.00%

16 0 0.00%

17 0 0.00%

18 0 0.00%

19 0 0.00%

20 0 0.00%

21 0 0.00%

22 0 0.00%

23 0 0.00%

24 0 0.00%

25 0 0.00% 26 0 0.00%

27 0 0.00%

28 0 0.00%

29 0 0.00%

30 0 0.00%

31 0 0.00%

32 0 0.00%

33 0 0.00%

34 0 0.00%

35 0 0.00%

36 0 0.00%

37 0 0.00%

38 0 0.00%

39 0 0.00%

40 0 0.00%

41 0 0.00%

42 0 0.00%

43 0 0.00%

44 0 0.00%

45 0 0.00%

46 0 0.00%

47 0 0.00%

48 0 0.00%

49 0 0.00%

50 1 0.83%

51 0 0.00%

52 0 0.00%

53 0 0.00%

54 0 0.00%

55 0 0.00%

56 0 0.00%

57 2 1.67%

58 0 0.00%

59 2 1.67%

60 2 1.67%

61 1 0.83%

62 2 1.67%

63 2 1.67%

64 1 0.83%

65 2 1.67%