山东省德州市2020中考数学试题

德州市二○二○年初中学业水平考试

数学试题

第Ⅰ卷（选择题

共48分）

一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.

1.2020-的结果是（ ） A.

1

2020

B.2020

C.1

2020

-

D.－2020

2.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

3.下列运算正确的是（ ） A.651a a -=

B.2

3

5

a a a ?=

C.22

(2)4a a -=-

D.62

a a a ÷=

4.如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形，若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（ ）

A.主视图

B.主视图和左视图

C.主视图和俯视图

D.左视图和俯视图

5.为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表： 一周做饭次数

4 5 6 7 8 人数 7

6

12

10

5

那么一周内该班学生的平均做饭次数为（ ） A.4

B.5

C.6

D.7

6.如图，小明从A 点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A 时，共走路程为（ ）

A.80米

B.96米

C.64米

D.48米

7.函数

k y

x

=和2

y kx

=-+（0

k≠）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）

A. B. C. D.

8.下列命题：

①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；

②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；

③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；

④对角线相等的平行四边形是矩形.

其中真命题的个数是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

9.若关于x的不等式组

224

23

32

x x

x x a

--

?

>

?

?

?->--

?

的解集是2

x<，则a的取值范围是（）

A.2

a≥ B.2

a<- C.2

a> D.2

a≤

10.如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）

A.2434π

B.34π

C.38π

D.2434π

11.二次函数2

y ax bx c

=++的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）

A.若()12,y -，()25,y 是图象上的两点，则12y y >

B.30a c +=

C.方程2

2ax bx c ++=-有两个不相等的实数根 D.当0x ≥时，y 随x 的增大而减小

12.下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（ ）

A.148

B.152

C.174

D.202

第Ⅱ卷（非选择题共102分）

二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分.

13.273=_________.

14.若一个圆锥的底面半径是2cm ，母线长是6cm ，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________度. 15.在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(2,1)-，以原点O 为位似中心，把线段OA 放大为原来的2倍，点

A 的对应点为A '.若点A '恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为_________.

16.菱形的一条对角线长为8，其边长是方程2

9200x x -+=的一个根，则该菱形的周长为_________. 17.如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是_________.

18.如图，在矩形ABCD 中，32AB =+，3AD =.把AD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在AB 边上的D '处，再将AED '?绕点E 顺时针旋转α，得到A ED '''?，使得EA '恰好经过BD '的中点F .A D '''交AB 于点G ，连接AA '.有如下结论：①A F '的长度是62-；②弧D D '''的长度是53

12

π；③A AF A EG ''??≌；④AA F EGF '??∽.

上述结论中，所有正确的序号是_________.

三、解答题：本大题共7小题，共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

19.先化简：2

124244x x x x x x x -+-??

-÷

?--+??

，然后选择一个合适的x 值代入求值. 20.某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图.部分信息如下：

（1）本次比赛参赛选手共有_________人，扇形统计图中“79.5~89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为_________； （2）补全图2频数直方图；

（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；

（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率.

21.如图，无人机在离地面60米的C 处，观测楼房顶部B 的俯角为30°，观测楼房底部A 的俯角为60°，求楼房的高度.

22.如图，点C 在以AB 为直径的

O 上，点D 是半圆AB 的中点，连接AC ，BC ，AD ，BD ，过点D

作//DH AB 交CB 的延长线于点H .

（1）求证：直线DH 是

O 的切线；

（2）若10AB =，6BC =，求AD ，BH 的长.

23.小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A 型画笔，第二次超市推荐了B 型画笔，但B 型画笔比A 型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B 型画笔. （1）超市B 型画笔单价多少元？

（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B 型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B 型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折.设小刚购买的B 型画笔x 支，购买费用为y 元，请写出y 关于x 的函数关系式. （3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B 型画笔，则能购买多少支B 型画笔？ 24.问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1，ABC ?中，6AB =，4AC =，AD 是中线，求AD 的取值范围.她的做法是：延长AD 到E ，使DE AD =，连接BE ，证明BED CAD ??≌，经过推理和计算使问题得到解决.

请回答：（1）小红证明BED CAD ??≌的判定定理是：___________________________； （2）AD 的取值范围是__________________； 方法运用：

（3）如图2，AD 是ABC ?的中线，在AD 上取一点F ，连结BF 并延长交AC 于点E ，使AE EF =，求证：BF AC =.

（4）如图3，在矩形ABCD 中，

12AB BC =，在BD 上取一点F ，以BF 为斜边作Rt BEF ?，且1

2

EF BE =，点G 是DF 的中点，连接EG ，CG ，求证：EG CG =.

25.如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0,2)-，在x 轴上任取一点M ，连接AM ，分别以点A 和点M 为圆心，大于

1

2

AM 的长为半径作弧，两弧相交于G ，H 两点，作直线GH ，过点M 作x 轴的垂线l 交直线GH 于点P .根据以上操作，完成下列问题.

探究：

（1）线段PA 与PM 的数量关系为_________，其理由为：__________________.

（2）在x 轴上多次改变点M 的位置，按上述作图方法得到相应点P 的坐标，并完成下列表格：

M 的坐标 … (2,0)-

(0,0) (2,0) (4,0)

… P 的坐标

…

(0,1)- (2,2)-

…

猜想：

（3）请根据上述表格中P 点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L ，猜想曲线L 的形状是_________.

验证：

（4）设点P 的坐标是(,)x y ，根据图1中线段PA 与PM 的关系，求出y 关于x 的函数解析式. 应用：

（5）如图3，点(1,3)B -，(1,3)C ，点D 为曲线L 上任意一点，且30BDC ∠

德州市二○二○年初中学业水平考试

数学试题参考解答及评分意见

一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B

B

B

D

C

C

D

B

A

A

D

C

二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

13.23；14.120；15.8y x -=

；16.20；17.1

6

18.①②④.

三、解答题：（本大题共7小题，共78分）

19.解：原式21242

44x x x x x x x -+-????=-÷

? ?--+????

2(1)(2)(2)4(2)(2)(2)x x x x x

x x x x x ??-+--=-÷??---??

2224(2)(2)4x x x x x x x --+-=?--

2

4(2)(2)4x x x x x

--=?-- 2

x x

-=

求值：略 20.解：（1）50 36%；

（2）如图

（3）能获奖.理由：因为本次参赛选手共50人，所以前40%的人数为5040%20?=（人） 由频数直方图可得84.5~99.5这一范围人数恰好88420++=人， 又8884.5>，所以能获奖.

（4）设前四名获奖者分别为男1，男2，女1，女2，由题意可列树状图为：

由树状图可知共有12种等可能的结果，恰好选中一男一女为主持人的结果有8种，所以

P （一男一女为主持人）82123

=

=. 答：恰好选中一男一女为主持人的概率为

23

. 21.解：过点B 作BE CD ⊥交CD 于点E ， 由题意知，30CBE ∠=?，60CAD ∠=?. 在Rt ACD ?中，tan tan 603CD

CAD AD

∠=?== ∴2033

AD =

= ∴203BE AD ==

在Rt BCE ?中，3

tan tan 30CE CBE BE ∠=?=

= ∴3

203203

CE =?

= ∴602040ED CD CE =-=-= ∴40AB ED ==（米） 答；这栋楼高为40米

22.证明：（1）连接OD ∵AB 是

O 的直径，D 是半圆AB 的中点

∴1

902

AOD AOB ∠=∠=? ∵//DH AB

∴90ODH ∠=? ∴OD DH ⊥ ∴DH 是

O 的切线

（2）连接CD ∴AB 是

O 的直径

∴90ADB ∠=?，90ACB ∠=? 又D 是半圆AB 的中点 ∴AD DB = ∴AD DB =

∴ABD ?是等腰直角三角形 ∵10AB =

∴10sin 10sin 4510AD ABD =∠=?==∵10AB =，6BC =

∴在Rt ABC ?中8AC = ∵四边形ACBD 是圆内接四边形 ∴180CAD CBD ∠+∠=? ∵180DBH CBD ∠+∠=? ∵CAD DBH ∠=∠

由（1）知90AOD ∠=?，45OBD ∠=? ∴45ACD ∠=? ∵//DH AB

∴45BDH OBD ∠=∠=? ∵ACD BDH ∠=∠ ∴ACD BDH ??∽

∴

AC AD

BD BH =BH

=

解得25

4

BH =

22.解：（1）设超市B 型画笔单价a 元，则A 型画笔单价为(2)a -元， 由题意列方程得，60100

2a a

=

- 解得5a =

经检验，5a =是原方程的解 答：超市B 型画笔单价为5元 （2）由题意知，

当小刚购买的B 型画笔支数20x ≤时，费用为0.95 4.5y x x =?=

当小刚购买的B 型画笔支数20x >时，费用为200.95(20)0.85410y x x =??+-??=+

所以 4.5,120

410,20

x x y x x ≤≤?=?

+>?其中x 是正整数

（3）当4.5270x =时，解得60x =，因为6020>，故不符合题意，舍去. 当410270x +=时，65x =，符合题意 答：小刚能购买65支B 型画笔. 24.解：（1）SAS （2）15AD <<

（3）证明：延长AD 至点A '，使A D AD '= ∵AD 是ABC ?的中线 ∴BD CD =

在ADC ?和A DB '?中

AD A D ADC A DB CD BD '=??

'∠=∠??=?

∴ADC A DB '??≌

∴CAD A '∠=∠，AC A B '=又∵AE EF =

∵CAD AFE ∠=∠

∴A AFE '∠=∠又∵AFE BFD ∠=∠ ∴BFD A '∠=∠

∴BF A B '=，又∵A B AC '= ∵BF AC =

（4）证明：延长CG 至点H 使HG CG =，连接HF 、CE 、HE ∵G 为FD 的中点 ∴FG DG =

在HGF ?和CGD ?中

HG CG HGF CGD FG DG =??

∠=∠??=?

∴HGF CGD ??≌

∴HF CD =，HFG CDG ∠=∠

在Rt BEF ?中，∵12EF BE =∴1

tan 2EBF ∠= 又矩形ABCD 中，1

2

AB BC =

∴12AB AD =∴1tan 2

ADB ∠=， ∴EBF ADB ∠=∠ 又//AD BC ∴ADB DBC ∠=∠

∴EBF ADB DBC ∠=∠=∠ 又EFD ∠为BEF ?的外角 ∴EFD EBF BEF ∠=∠+∠

即90EFH HFD EBF ∠+∠=∠+? ∵90ADB BDC ∠+∠=?

∴EFH HFD EBF ADB BDC ∠+∠=∠+∠+∠ ∴2EFH EBF ∠=∠即EFH EBC ∠=∠ 在EFH ?和EBC ?中

12EF BE =，1

2HF BC = ∴EF HF BE BC

= 又EBC EFH ∠=∠ ∴EFH EBC ??∽ ∴FEH BEC ∠=∠

∴HEC CEF BEF CEF ∠+∠=∠+∠ ∴90HEC BEF ∠=∠=? ∴CEH ?是直角三角形 ∵G 为CH 的中点 ∴1

2

EG CH =

即EG CG =.

25.解：（1）PA PM = 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 （2）

M 的坐标 … (2,0)- (0,0) (2,0) (4,0)

… P 的坐标

…

(2,2)-- (0,1)- (2,2)- (4,5)-

…

（3）草图见图2；形状：抛物线

（4）如图1，过点P 作PE y ⊥轴于点E ，

||PA PM y ==，|2|AE OE OA y =-=+，||PE x =

在Rt PAE ?中，222

PA AE PE =+ 即2

2

2

|||||2|y x y =++ 化简，得2

114

y x =-

- 所以y 关于x 的函数解析式为2

114

y x =-

-.

（5）连接OB ，OC ，易得2OB OC ==，又2BC = ∴OBC ?为等边三角形，∴60BOC ∠=?

当30BDC ∠=?时，在BDC ?的外接圆上，弧BC 所对的圆心角为60° 其圆心在BC 的垂直平分线y 轴上， ∴BDC ?的外接圆圆心为坐标原点O ， 设(,)D a b ，则2OD =，即2

2

2

2a b += ①

又点D 在该抛物线上

∴2

114

b a =-

- ②

由①②联立解得：1223b =-，2223b =+（舍去） 数形结合可得，

当30BDC ∠

0223y <-