最新立体几何之空间夹角
第26练 “空间角”攻略
1 [题型分析·高考展望] 空间角包括异面直线所成的角,线面角以及二面角,
2 在高考中频繁出现,也是高考立体几何题目中的难点所在.掌握好本节内容,首
3 先要理解这些角的概念,其次要弄清这些角的范围,最后再求解这些角.在未来
4 的高考中,空间角将是高考考查的重点,借助向量求空间角,将是解决这类题目
5 的主要方法.
6 体验高考
7 1.(2015·浙江)如图,已知△ABC ,D 是AB 的中点,沿直线CD 将△ACD 翻折成8 △A ′CD ,所成二面角A ′—CD —B 的平面角为α,则( )
9
10 A .∠A ′DB ≤α B .∠A ′DB ≥α C .∠A ′CB ≤α
11 D .∠A ′CB ≥α
12
2.(2016·课标全国乙)平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α∥平面
13 CB 1D 1,α∩平面ABCD =m ,α∩平面ABB 1A 1=n ,则m ,n 所成角的正弦值为( )
14
A.
32 B.22 C.33 D.13
15
3.(2016·课标全国丙)如图,四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB 16 =AD =AC =3,PA =BC =4,M 为线段AD 上一点,AM =2MD ,N 为PC 的中点. 17
(1)证明MN ∥平面PAB ; (2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.
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高考必会题型
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题型一异面直线所成的角
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例1 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线BA1与AC所成的角.
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变式训练1 (2015·浙江)如图,三棱锥A—BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD 26
=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值27
是________.
28
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题型二直线与平面所成的角
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例2 如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足31
为H,PH是四棱锥的高,E为AD的中点. (1)证明:PE⊥BC;
32
(2)若∠APB=∠ADB=60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.
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变式训练2 如图,平面ABDE⊥平面ABC,△ABC是等腰直角三角形,AB=BC 36
=4,四边形ABDE是直角梯形,BD∥AE,BD⊥BA,BD=1
2
AE=2,点O、M分别为
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CE、AB的中点.
38
(1)求证:OD∥平面ABC; (2)求直线CD和平面ODM所成角的正弦值;
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(3)能否在EM上找到一点N,使得ON⊥平面ABDE?若能,请指出点N的位置并40
加以证明;若不能,请说明理由.
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题型三二面角
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例3 (2016·浙江) 如图,在三棱台ABC—DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB 51
=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (1)求证:BF⊥平面ACFD;
52
(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
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60
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变式训练3 如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,AB=2,点E是C1D1 65
的中点.
66
(1)求证:DE⊥平面BCE;(2)求二面角A-EB-C的大小
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.
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高考题型精练
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1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B与B1C所在直线所成角的大小是( )
78
A.30° B.45° C.60° D.90°
79
80
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是( )
81
A.90° B.30° C.45° D.60°
82
83
3.如图所示,将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角,此时84
∠B′AC=60°,那么这个二面角大小是( )
85
A.90° B.60° C.45° D.30°
86
4.已知正三棱锥S-ABC中,E是侧棱SC的中点,且SA⊥BE,则SB与底面ABC 87
所成角的余弦值为( )
88
A.
6
3
B.
3
3
C.
2
3
D.
3
6
89
5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、90
B 1C
1
的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于( )
91
A.45° B.60° C.90° D.120°
92
93
(5题)(6题)(8 94
题)
95
6如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,∠BCD=90°,且BC=3CD=3,96
将△ABC沿BC的边翻折,设点A在平面BCD上的射影为点M,若点M在△BCD内97
部(含边界),则点M的轨迹的最大长度等于______;在翻折过程中,当点M位于98
线段BD上时,直线AB和CD所成角的余弦值等于______.
99
100
7.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,2AB=2AC=AA1,则异面直线BA1 101
与B1C所成角的余弦值等于________.
102
103
8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,PA=1,底面ABCD 104
是正方形,PC与底面ABCD所成角的大小为π
6
,则该四棱锥的体积是________.
105
106
9.以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕,使△AB′D和△ACD折成107
互相垂直的两个平面,则∠B′AC=________.
108
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10.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC=3,D、E分别是110
AC
1和BB1的中点,则直线DE与平面BB1C1C所成的角为________.
111
(10题)(11 112
题)
113
11.(2016·四川)如图,在四棱锥PABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,114
BC=CD=1
2
AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.
115
(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;
116
(2)若二面角P—CD—A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.117
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12.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的139
中点.
140
(1)若PA=PD,求证:平面PQB⊥平面PAD;
141
(2)点M在线段PC上,PM=1
3
PC,若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,
142
立体几何空间角
D C 1 A 1 B 1 C 1 D B C A D 立体几何专题----空间角 知识点归纳 1、异面直线所成的角 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b 注1:异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ] 注2:如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角,我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b 注3:在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) 2 、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角 (1)一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角 (2)一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0 ?的角 (3)直线和平面所成角的范围是[0?,90?] 3、二面角: 如右图在二面角的棱l取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则 叫做二面角的平面角. 注:①二面角的平面角的大小与O点位置_____ _。 ②二面角的平面角的范围是_______ 。 ③平面角为______的二面角叫做直二面角。 试题探究: 1、如图:表示正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-, 求异面直线 1 1 CC BA和所成的角。 2、空间四边形ABCD中,2 AD BC ==,,E F分别是, AB CD的中点,3 EF=, 求异面直线, AD BC所成的角。 3、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中,试求直线 1 BD与平面ABCD所成的角. 4、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中,求直线 11 A C与截面 11 ABC D所成的角. 5、将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD;(2)求二面角A-BD-C的正切值;(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值. a′O b′ a P α O A O A B D C A 1 B 1 C 1 D A F E D B A B D B 1 A 1 C 1 D 1
高中立体几何典型题及解析
高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题) 51. 已知空间四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求:AM 及CN 所成的角的余弦值; 解析:(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ,则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。 设正四面体的棱长为1, 则NC=21·23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中,CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 ∴cos ∠CNE= 324 3 432167)43()43( 2222 22-=??-+=??-+NE CN CE NE CN , 又∵∠CNE ∈(0, 2 π) ∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为3 2. 注:1、本题的平移点是N ,按定义作出了异面直线中一条的平行线,然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长,再回到△CEN 中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角,也可能是它的邻补角,在直观图中无法判定,只有通过解三角形后,根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角(也就是异面直线所成的角)或钝角(异面直线所成的角的邻补角)。最后作答时,这个角的余弦值必须为正。
52. .如图所示,在空间四边形ABCD 中,点E 、F 分别是BC 、AD 上的点,已知AB=4,CD=20,EF=7, 3 1 ==EC BE FD AF 。求异面直线AB 及CD 所成的角。 解析:在BD 上取一点G ,使得3 1 =GD BG ,连结EG 、FG 在ΔBCD 中,GD BG EC BE = ,故EG//CD ,并且4 1==BC BE CD EG , 所以,EG=5;类似地,可证FG//AB ,且 4 3 ==AD DF AB FG , 故FG=3,在ΔEFG 中,利用余弦定理可得 cos ∠ FGE= 2 1 5327532222222- =??-+=??-+GF EG EF GF EG ,故∠FGE=120°。 另一方面,由前所得EG//CD ,FG//AB ,所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角,于是AB 及CD 所成的角等于60°。 53. 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=c ,AB=a ,AD=b ,且a >b .求AC 1及BD 所成的角的余弦. A B C D E F G E D 1 C 1 B 1 A 1 A B D C O
立体几何中用传统法求空间角
-立体几何中的传统法求空间角 知识点: 一.异面直线所成角:平移法 二.线面角 1.定义法:此法中最难的是找到平面的垂线.1.)求证面垂线,2).图形中是否有 面面垂直的结构,找到交线,作交线的垂线即可。 2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA 三.求二面角的方法 1、直接用定义找,暂不做任何辅助线; 2、三垂线法找二面角的平面角. 例一:如图,在正方体错误!未找到引用源。中,错误!未找到 引用源。、错误!未找到引用源。分别是错误!未找到引用 源。、错误!未找到引用源。的中点,则异面直线错误!未 找到引用源。与错误!未找到引用源。所成的角的大小是 ______90______. 考向二线面角 例二、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩 形,AD⊥PD,BC=1, ,PD=CD=2. (I)求异面直线PA与BC所成角的正切值;(II)证明平面PDC⊥平面ABCD; (III)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。 N A 1
练 习 : 如图 , 在 三棱锥 P ABC -中, PA ⊥底面 ,, 60,A B C P A A B A B C B C A ?? =∠=∠=, 点D ,E 分别在棱,PB PC 上,且//DE BC (Ⅰ)求证:BC ⊥平面PAC ; (Ⅱ)当D 为PB 的中点时,求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值; (Ⅰ)∵PA ⊥底面ABC ,∴PA ⊥BC . 又90BCA ? ∠=,∴AC ⊥BC . ∴BC ⊥平面PAC . (Ⅱ)∵D 为PB 的中点,DE//BC ,
∴1 2 DE BC = , 又由(Ⅰ)知,BC ⊥平面PAC , ∴DE ⊥平面PAC ,垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角, ∵PA ⊥底面ABC ,∴PA ⊥AB ,又PA=A B , ∴△ABP 为等腰直角三角形,∴ AD AB = , ∴在Rt △ABC 中,60ABC ? ∠=,∴1 2 BC AB = . ∴在Rt △ADE 中,sin 24 DE BC DAE AD AD ∠= ==, 考向三: 二面角问题 在图中做出下面例题中二面角 例三:.定义法(2011广东理18) 如图5.在椎体P-ABCD 中,ABCD 是边长为1的棱形, 且∠DAB=60?,PA PD == E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明:AD ⊥平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B 的余弦值. 法一:(1)证明:取AD 中点G ,连接PG ,BG ,BD 。 因PA=PD ,有PG AD ⊥,在ABD ?中,1,60AB AD DAB ==∠=?,有ABD ?为 等边三角形,因此,BG AD BG PG G ⊥?=,所以AD ⊥平面 PBG ,.AD PB AD GB ?⊥⊥ 又PB//EF ,得AD EF ⊥,而DE//GB 得AD ⊥DE ,又FE DE E ?=,所以AD ⊥ 平面DEF 。
高中空间立体几何典型例题
高中空间立体几何典型 例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1 如图所示,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,侧面对角线AB 1,BC 1上分别有两点E ,F ,且B 1E=C 1F. 求证:EF ∥平面ABCD. 证明 方法一 分别过E ,F 作EM ⊥AB 于M ,FN ⊥BC 于N ,连接MN. ∵BB 1⊥平面ABCD , ∴BB 1⊥AB ,BB 1⊥BC , ∴EM ∥BB 1,FN ∥BB 1, ∴EM ∥FN. 又∵B 1E=C 1F ,∴EM=FN , 故四边形MNFE 是平行四边形,∴EF ∥MN. 又MN ?平面ABCD ,EF ?平面ABCD , 所以EF ∥平面ABCD. 方法二 过E 作EG ∥AB 交BB 1于G , 连接GF ,则B B G B A B E B 1111=, ∵B 1E=C 1F ,B 1A=C 1B , ∴B B G B B C E C 1111=,∴FG ∥B 1C 1∥BC , 又EG ∩FG =G ,AB ∩BC =B , ∴平面EFG ∥平面ABCD ,而EF ?平面EFG , ∴EF ∥平面ABCD . 2 已知P 为△ABC 所在平面外一点,G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心.
(1)求证:平面G 1G 2G 3∥平面ABC ; (2)求S △3 21G G G ∶S △ABC . (1)证明 如图所示,连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F , 连接DE 、EF 、FD ,则有PG 1∶PD =2∶3, PG 2∶PE =2∶3,∴G 1G 2∥DE . 又G 1G 2不在平面ABC 内, ∴G 1G 2∥平面ABC .同理G 2G 3∥平面ABC . 又因为G 1G 2∩G 2G 3=G 2, ∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC . (2)解 由(1)知PE PG PD PG 21 =32,∴G 1G 2=32DE . 又DE =21AC ,∴G 1G 2=31 AC . 同理G 2G 3=31AB ,G 1G 3=3 1BC . ∴△G 1G 2G 3∽△CAB ,其相似比为1∶3, ∴S △3 21G G G ∶S △ABC =1∶9. 3如图所示,已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点,且SA =SB =SC ,SG 为△SAB 上的高, D 、 E 、 F 分别是AC 、BC 、SC 的中点,试判断S G 与平面DEF 的位置关系,并给予证明. 解 SG ∥平面DEF ,证明如下: 方法一 连接CG 交DE 于点H , 如图所示.
高考数学复习-第十二讲--立体几何之空间角
第十二讲 立体几何之空间角 一、基本知识回顾 空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1) 异面直线所成角 1.022.π??? ? ???????????范围:,平移相交(找平行线替换)求法:向量法??? ??20π, 2) 直线与平面所成角 1.π???????????????? 范围0,2定义2.求法向量法?? ? ? ??2,0π n m n m ??=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α?a 若n m //则α⊥a 3) 二面角[]1.0.2.π??? ?????? ?? ???? ???? ?????? 范围:定义法(即垂面法)作二面角平面角的方法:三垂线定理及逆定理垂线法 直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法 θcos S S =' (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成锐二面角的平面 角) 当θ为锐角时,n m n m ??=arccos θ 当θ为锐角时,n m n m ??-=arccos πθ
二、例题讲解 1.在正三棱柱 111 ABC A B C -中,若 1 2, AB BB =求 1 AB与B C 1 所成的角的大小。 解:法一:如图一所示, 设O为C B 1 、B C 1 的交点,D AC 为的中点,则所求角是DOB ∠。 设 1 ,2 BB a AB a == 则,于是在DOB ?中, 1 222 1 1336 ,2, 2222 13 ,, 2 OB BC a BD a a OD AB a BD OB OD ==== ===+ 即90, DOB ∠=?∴? = ∠90 DOB 法二:取 11 A B的中点O为坐标原点,如图建立空间直角坐标系, xyz O-AB 2 1 的长度单位,则由
文科立体几何面角二面角专题-带答案
文科立体几何线面角二面角专题 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、解答题 1.如图,在三棱锥中,,,为的中点.(1)证明:平面; (2)若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值. 2.如图,在三棱锥中,,,为的中点.(1)证明:平面; (2)若点在棱上,且,求点到平面的距离. 3.(2018年浙江卷)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.
(Ⅰ)证明:AB1⊥平面A1B1C1; (Ⅱ)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值. 4.如图,在三棱柱中,点P,G分别是,的中点,已知⊥平面 ABC,==3,==2. (I)求异面直线与AB所成角的余弦值; (II)求证:⊥平面; (III)求直线与平面所成角的正弦值. 5.如图,四棱锥,底面是正方形,,,,分别是,的中点.
(1)求证; (2)求二面角的余弦值. 6.如图,三棱柱中,侧棱底面,且各棱长均相等.,,分别为棱,,的中点. (1)证明:平面; (2)证明:平面平面; (3)求直线与直线所成角的正弦值. 7.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠AB D=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF. (Ⅰ)求证:平面ADE⊥平面BDEF; (Ⅱ)若二面角C BF D的大小为60°,求CF与平面ABCD所成角的正弦值. 8.如图,在四棱锥中,平面,,,
,点是与的交点,点在线段上,且. (1)证明:平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 9.在多面体中,底面是梯形,四边形是正方形,,,,, (1)求证:平面平面; (2)设为线段上一点,,求二面角的平面角的余弦值. 10.如图,在多面体中,四边形为等腰梯形,,已知,,,四边形为直角梯形,,. (1)证明:平面,平面平面;
立体几何之空间角(经典)
中小学1对1课外辅导专家 武汉龙文教育学科辅导讲义 授课对象 冯芷茜 授课教师 徐江鸣 授课时间 2013-9-19 授课题目 立体几何中的空间角 课 型 复习课 使用教具 讲义、纸、笔 教学目标 熟悉高考中立体几何题型的一般解法 教学重点和难点 重点:运用空间直角坐标系的方法解决立体几何问题 难点:二面角,线面角的空间想象能力 参考教材 人教版高中教材 高考考纲 历年高考真题 教学流程及授课详案 【知识讲解】 空间角的求法:(所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题,尤其是直角三角形) (1)异面直线所成的角:通过直线的平移,把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围:o o 900≤<α; 注意:若异面直线中一条直线是三角形的一边,则平移时可找三角形的中位线。有的还可以 通过补形,如:将三棱柱补成四棱柱;将正方体再加上三个同样的正方体,补成一个底面是正方形的长方体。 (2)线面所成的角:①线面平行或直线在平面内:线面所成的角为o 0; ②线面垂直:线面所成的角为o 90; ③斜线与平面所成的角:范围o o 900<<α;即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。 (3)二面角:关键是找出二面角的平面角。方法有:①定义法;②三垂线定理法;③垂面法; 注意:还可以用射影法:S S ' cos =θ;其中θ为二面角βα--l 的大小,S 为α内的一个封 闭几何图形的面积;'S 为α内的一个封闭几何图形在β内射影图形的面积。一般用于解选择、填空题。 时 间 分 配 及 备 注
【题海拾贝】 例1在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点. EF平面P AD; (1)求证:// (2)当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时, EF平面PCD? 直线 例2已知多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC = AD = CD = DE = 2a,AB = a, F为CD的中点. (Ⅰ)求证:AF⊥平面CDE; (Ⅱ)求异面直线AC,BE所成角余弦值; (Ⅲ)求面ACD和面BCE所成二面角的大小.
立体几何空间直角坐标系解法典型例题
立体几何坐标解法典型例题 1、如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2,D 为1CC 中点. (Ⅰ)求证:1AB ⊥平面1A BD ; (Ⅱ)求二面角1A A D B --的大小; (Ⅲ)求点C 到平面1A BD 的距离. 2、如图,在Rt AOB △中, π6 OAB ∠=,斜边4AB =.Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到,且二面角B AO C --的直二面角.D 是AB 的中点. (1)求证:平面COD ⊥平面AOB ; (2)求异面直线AO 与CD 所成角的大小. A B C D
3.(2010·上海松江区模拟)设在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =AC =AA 1=2,∠BAC =90°,E ,F 依次为C 1C ,BC 的中点. (1)求异面直线A 1B 、EF 所成角θ的正弦值; (2)求点B 1到平面AEF 的距离. 4.四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,侧面SBC ⊥底面ABCD .已知45ABC =o ∠, 2AB = ,BC = SA SB == (Ⅰ)证明SA BC ⊥; (Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小. D B C A S
5.如图,点P 是单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中异于A 的一个顶点,则AP →·AB → 的值为( ) A .0 B .1 C .0或1 D .任意实数 5.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值等于( ) A.32 B.1010 C.35 D.25 <二>选择题辨析 [注]: ①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.(×) ②直线在平面外,指的位置关系:平行或相交 ③若直线a 、b 异面,a 平行于平面,b 与的关系是相交、平行、在平面内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×) ⑥在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.(×) ⑦是夹在两平行平面间的线段,若,则的位置关系为相交或平行或异面. [注]: ①直线与平面内一条直线平行,则∥. (×) ②直线与平面内一条直线相交,则与平面相交. (×) ③若直线与平面平行,则内必存在无数条直线与平行. (√) ④两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面. (×) ⑤平行于同一直线的两个平面平行.(×) ⑥平行于同一个平面的两直线平行.(×) ⑦直线与平面、所成角相等,则∥.(×) [注]: ①垂直于同一平面....的两个平面平行.(×) ②垂直于同一直线的两个平面平行.(√) ③垂直于同一平面的两条直线平行.(√) αααb a ,b a =b a ,a αa αa αa αa ααa l αβαβ
建立空间直角坐标系-解立体几何题
建立空间直角坐标系,解立体几何高考题 立体几何重点、热点: 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等. 常用公式: 1 、求线段的长度: 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离: PN = ,(N 为垂足,M 为斜足,为平面α的法向量) 3、求直线l 与平面α所成的角:|||||sin |n PM ?= θ,(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角:cos = θ 5、求二面角的平面角θ:|||||cos |21n n ?= θ,( 1n ,2n 为二面角的两个面的法向量) 6、求二面角的平面角θ:S S 射影 = θ cos ,(射影面积法) 7、求法向量:①找;②求:设, 为平面α内的任意两个向量,)1,,(y x =为α的法向量, 则由方程组?????=?=?0 n b n a ,可求得法向量.