二阶非齐次线性微分方程的解法

目 录

待定系数法 常数变异法 幂级数法 特征根法 升阶法 降阶法

关键词：微分方程，特解，通解，

二阶齐次线性微分方程

常系数微分方程 待定系数法

解决常系数齐次线性微分方程[]21220, (1)

d x dx

L x a a x dt dt

≡++=

12,.

a a 这里是常数 特征方程

212()0

F a a λλλ=++=

(1.1)

(1)特征根是单根的情形

设

12,,,n λλλL 是特征方程的 (1.1)的2个彼此不相等的根，则相应的方程 (1)有如

下2个解：

12,t t e e λλ (1.2)

如果(1,2)i i λ=均为实数，则 (1.2)是方程 (1)的2个线性无关的实值解，而方程

(1)的通解可表示为 1212t t

x c e c e λλ=+

如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。设

i

λαβ=+是一特征根，则i λαβ=-也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程 (1)有两个复值解

(i)t (cos t sin ),t e e i t αβαββ+=+ (i)t (cos t sin ).t e e i t αβαββ-=-

它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根

i λαβ=±，我们可求得方程 (1)的两个实值解

cos ,sin .t t e t e t ααββ

（2）特征根有重跟的情形

若10λ=特征方程的

k 重零根，对应于方程 (1)的k 个线性无关的解211,t,t ,k t -L 。 若这个k 重零根1

0,λ≠设特征根为12,,,,m λλλL 其重数为1212,,,k (k 2)

m m k k k k ++=L L 。方程

(1)的解为

11112222111,t ,t ;,t ,t ;;,t ,t ;m m m m t t k t t t k t t t k t e e e e e e e e e λλλλλλλλλ---L L L L

对于特征方程有复重根的情况，譬如假设i λαβ=+是k 重特征根，则i λαβ=-:

也是k 重特征根，可以得到方程 (1)的2k 个实值解

2121cos ,cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,sin ,,sin .t t t k t t t t k t e t te t t e t t e t e t te t t e t t e t ααααααααββββββββ--L L

例1 求方程

220d x

x dt -=的通解。

解 特征方程

210λ-=的根为121,1λλ==-有两个实根，均是单根，故方程的通

解为

12,

t t x c e c e -=+

这里

12

,c c 是任意常数。

例2 求解方程 220d x

x dt +=的通解。

解 特征方程

210λ+=的根为12,i i λλ==-有两个复根，

均是单根，故方程的通解

为

12sin cos ,

x c t c t =+

这里12

,c c 是任意常数。

某些变系数线性齐次微分方程的解法 （一）化为常系数

1.在自变量变换下，可化为常系数的方程 一类典型的方程是欧拉方程

22

122

0d y dy x a x a y dx dx ++= (2)

12(0),.

a y a 这里为常数，它的特点是的k 阶导数（k=0,1,2,规定y =y ）的系数是x 的k 次方乘以常数

我们想找一个变换，使方程(2)的线性及齐次性保持不变，且把变系数化为常系

数。根据方程x 本身的特点，我们选取自变量的变换(t)x ϕ=，并取(t)e t

ϕ=，即

变换

e (t ln )t x x == (2.1)

就可以达到上述目的（这里设

0x >，当0x <时，取t

x e -=-，以后为确定起见，认为0x >）。 事实上，因为

t dy dy dt dy e dx dt dx dt -==

22222()()t t d y d dy dt d y dy e e dx dt dt dx dx dt --==-

代入方程

(2)，则原方程变为

2122(1)d y dy

a a y o dt dt +-+=(2.2)

方程

(2.2)

常系数二阶线性微分方程，由 上可求得方程的通解。再变换

(2.1)，

代回原来的变量，就得到原方程(2)的通解。

例 求方程22

2

540d y dy

x x y dx dx ++=的通解

解 此方程为欧拉方程，令

e t x =，则由(2.2)知，原方程化为

2244d y dy

y o dt dt ++= (2.3)

其特征方程为

2440λλ++=

特征根为122λλ==-，故方程(2.3)的通解为

212(c c t)e t y -=+

换回原自变量x ，则原方程的通解为

212(c c ln )y x x -=+

2.在未知函数的线性齐次变换下，可化为常系数的方程 现在考虑二阶变异系数线性方程

2122()()0d y dy

P x P x y dx dx ++= (2.4)

的系数函数

12(),()

P x P x 满足什么条件时，可经适当的线性齐次变换

()z y a x =(2.5)

化为常系数方程。这里()a x 是待定函数。 为此，把(2.5)代入方程(2.4)，可得到

'''''''112()z [2P ()()][()P ()()P ()()]0a x a x x a x z a x x a x x a x z +++++=(2.6)

欲使(2.6)为常系数线性齐次方程，必须选取()a x 使得'''z z 、及z 的系数均为常数。特别地，令'

z 的系数为零，即

'12()0a P x a += 可求得

11

()d 2

()e P x x a x -

⎰

=

再代入(2.6)，整理之，得到

''2'

21111[P ()()()]0

42z x P x P x z +--= (2.7)