全国各地中考数学试题分类汇编考点 二次函数的应用(几何)
二次函数的应用（几何）1
一、选择题
1.（2011安徽，10，4分）如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直
于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（）
A．B．C．
D．
【答案】C
2. （
2011山东威海，12
，3分）如图，
在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y
（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y 与x之间的函数关系的是（）
【答案】B
3. （2011甘肃兰州，14，4分）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函
数图象大致是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 4.
二、填空题
1. 2. 3. 4. 5.
三、解答题
1. （2011浙江省舟山，24，12分）已知直线3+=kx y （k ＜0）分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，线段OA 上有一动点P 由原点O 向点A 运动，速度为每秒1个单位长度，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，设运动时间为t 秒．
（1）当1-=k 时，线段OA 上另有一动点Q 由点A 向点O 运动，它与点P 以相同速度
同时出发，当点P 到达点A 时两点同时停止运动（如图1）． ① 直接写出t ＝1秒时C 、Q 两点的坐标；
② 若以Q 、C 、A 为顶点的三角形与△AOB 相似，求t 的值． （2）当4
3
-
=k 时，设以C 为顶点的抛物线n m x y ++=2)(与直线AB 的另一交点为D （如图2）， ① 求CD 的长；
② 设△COD 的OC 边上的高为h ，当t 为何值时，h 的值最大？
F
G
（第24题图2）
（第24题图1）
【答案】（1）①C （1，2），Q （2，0）． ②由题意得：P (t ，0)，C (t ，－ｔ＋3)，Q (3－t ，0)， 分两种情形讨论：
情形一：当△AQC ∽△AOB 时，∠AQC=∠AOB ＝90°，∴CQ ⊥OA ， ∵CP ⊥OA ，∴点P 与点Q 重合，OQ =OP ，即3－t =t ，∴t=1.5．
情形二：当△ACQ ∽△AOB 时，∠ACQ=∠AOB ＝90°，∵O Ａ=O Ｂ＝3，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴△ACQ 是等腰直角三角形，∵CQ ⊥OA ，∴AQ=2CP ，即t =2（－t ＋3），∴t=2．∴满足条件的t 的值是1.5秒或2秒．
(2) ①由题意得：C (t ，－34t ＋3)，
∴以C 为顶点的抛物线解析式是2
3()34
y x t t =--+， 由2
33()3344
x t t x --
+=-+，解得x 1=t ，x 2=t 3
4-；过点D 作DE ⊥CP 于点E ，则
∠DEC=∠AOB ＝90°，DE ∥OA ，∴∠EDC=∠OAB ，∴△DEC ∽△AOB ，∴
DE CD
AO BA
=， ∵AO =4，AB =5，DE =t －（ｔ－34）=34．∴CD =3
5
15
4416
DE BA AO ??==．
②∵CD =1516，CD 边上的高=341255?=．∴S △COD =115129
21658
??=．∴S △COD 为定值；
要使OC 边上的高h 的值最大，只要OC 最短． 因为当OC ⊥AB 时OC 最短，此时OC 的长为
12
5
，∠BCO ＝90°，∵∠AOB ＝90°，∴∠COP ＝90°－∠BOC ＝∠OBA ，又∵CP ⊥OA ，∴Rt △PCO ∽Rt △OAB ，
∴OP OC BO BA =，OP =12
3
36
5525
OC BO BA ??==，即t =3625，∴当t 为3625秒时，h 的值最大． 2. （2011广东东莞，22，9分）如图，抛物线2517
144
y x x =-+
+与y 轴交于点A ，过点A
的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C （3，0）. （1）求直线AB 的函数关系式；
（2）动点P 在线段OC 上，从原点O 出发以每钞一个单位的速度向C 移动，过点P 作⊥x 轴，交直线AB 于点M ，抛物线于点N ，设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；
（3）设（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点G 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平等四边形？问对于所求的t 的值，平行四边形BCMN 是否为菱形？说明理由.
【解】（1）把x=0代入2517
144
y x x =-
++，得1y = 把x=3代入2517144
y x x =-++，得5
2y =，
∴A 、B 两点的坐标分别（0，1）、（3，5
2
）
设直线AB 的解析式为y kx b =+，代入A 、B 的坐标，得
1
5
32
b k b =??
?+=??，解得112b k =???=?? 所以，1
12
y x =
+ （2）把x=t 分别代入到112y x =
+和2517
144y x x =-++ 分别得到点M 、N 的纵坐标为112t +和2517
144
t t -++
∴MN=2517144t t -++-（112t +）=2515
44
t t -+
即2515
44
s t t =-+
∵点P 在线段OC 上移动，
∴0≤t ≤3.
(3)在四边形BCMN 中，∵BC ∥MN
∴当BC=MN 时，四边形BCMN 即为平行四边形 由2
5155
4
42
t t -+
=，得121,2t t ==
即当12t =或时，四边形BCMN 为平行四边形 当1t =时，PC=2，PM=
32，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=52
, 此时BC=CM=MN=BN ，平行四边形BCMN 为菱形； 当2t =时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=5,
此时BC ≠CM ，平行四边形BCMN 不是菱形；
所以，当1t =时，平行四边形BCMN 为菱形．
3. （2011江苏扬州，28,12分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90o，AB
① 求动点Q 的运动速度；
② 设Rt △APQ 的面积为S （平方厘米），求S 与t 的函数关系式；
【答案】解：（1）△PBM 与△QNM 相似；
∵MN ⊥BC MQ ⊥MP ∴ ∠NMB=∠PMQ=∠BAC =90o ∴∠PMB=∠QMN, ∠QNM=∠B =90o－∠C ∴ △PBM ∽△QNM
（2）①∵∠ABC=60o，∠BAC =90o,AB=43,BP=3t
∴AB=BM=CM=43,MN=4 ∵ △PBM ∽△QNM ∴
MN BM NQ BP = 即：34
3
4==NQ BP ∵P 点的运动速度是每秒3厘米， ∴ Q 点运动速度是每秒1厘米。 ② ∵ AC=12,CN=8
∴ AQ=12-8+t=4+t, AP=43－3t
∴ S=
)334()4(2
1
t t -?+?=)16(232--t （3） BP 2+ CQ 2 =PQ 2
证明如下： ∵BP=3t, ∴BP 2=3t 2
∵CQ=8-t ∴CQ 2=(8-t)2=64-16t+t 2
∵PQ 2=(4+t)2+3(4-t)2=4t 2-16t+64 ∴BP 2+ CQ 2 =PQ 2
4. （2011山东德州23,12分）在直角坐标系xoy 中，已知点P 是反比例函数）＞0(3
2x x
y =图象上一个动点，以P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A ．
（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切，设切点为K ，试判断四边形OKPA 的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P 运动到与x 轴相交，设交点为B ，C ．当四边形ABCP 是菱形时： ①求出点A ，B ，C 的坐标．
②在过A ，B ，C 三点的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的2
1．若存在，试求出所有满足条件的M 点的坐标，若不存在，试说明理由．
A
P
23
y x
=
x
y
K O
图1
【答案】解：（1）∵⊙P 分别与两坐标轴相切， ∴ PA ⊥OA ，PK ⊥OK ． ∴∠PAO =∠OKP =90°． 又∵∠AOK =90°，
∴ ∠PAO =∠OKP =∠AOK =90°． ∴四边形OKPA 是矩形． 又∵OA =OK ，
∴四边形OKPA 是正方形．……………………2分 （2）①连接PB ，设点P 的横坐标为x ，则其纵坐标为x
3
2． 过点P 作PG ⊥BC 于G ． ∵四边形ABCP 为菱形， ∴BC =PA =PB =PC ．
∴△PBC 为等边三角形．
在Rt △PBG 中，∠PBG =60°，PB =PA =x ， PG =
x
3
2． sin ∠PBG =PB
PG
，即2332x x =． 解之得：x =±2（负值舍去）．
∴ PG =3，PA =B C=2．……………………4分 易知四边形OGPA 是矩形，PA =OG =2，BG =CG =1，
∴OB =OG －BG =1，OC =OG +GC =3．
∴ A （0，3），B （1，0） C （3，0）．……………………6分 设二次函数解析式为：y =ax 2+bx +c ．
O A
P 23
y x
=
x
y
B C
G
M
据题
意得：0930a b c a b c c ?++=?
++=??
=?
解之得：a
b
=， c
．
∴二次函数关系式为：2y x =
9分 ②解法一：设直线BP 的解析式为：y =ux +v ，据题意得：
2u v u v +=???+=??
解之得：u
， v
=-
∴直线BP
的解析式为：y =-．
过点A 作直线AM ∥PB ，则可得直线AM
的解析式为：y =
+
解方程组：2y y x x ?=?
?=??
得：110
x y =???=??；
227
x y =???
=?? 过点C 作直线CM ∥PB ，则可设直线CM
的解析式为：y t =+． ∴
0=t ．
∴t =-
∴直线CM
的解析式为：y =-．
解方程组：2y y x x ?=-?
?=??
得：11
3
0x y =??=? ；
22
4
x y =???
=??． 综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，
分别为：（0
3，0），（4
7
，12分
解法二：∵
1
2
PAB PBC PABC
S S S
??
==，
∴A（0），C（3，0）显然满足条件．
延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．又∵AM∥BC，
∴
1
2
PBM PBA PABC
S S S
??
==．
∴点M
又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4．
∴点M（4
点（7，
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（03，0），（47，12分
解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴
1
2
PBM PBA PABC
S S S
??
==．
∴点M
2
x=
解得：
10
x=（舍），
24
x=．
∴点M的坐标为（4）．
点（7，
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（03，0），（47，12分
5. （2011山东菏泽，21，9分）如图，抛物线y＝1
2
x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y
轴交于C点，且A(－1，0)．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M(m，0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．
解：（1）把点A (－1，0)的坐标代入抛物线的解析式y ＝12
x 2
＋bx －2， 整理后解得32
b =-
， 所以抛物线的解析式为 213
222
y x x =
--． 顶点D 325,2
8??
- ???．
（2）∵AB =5，AC 2=OA 2＋OC 2=5，BC 2=OC 2＋OB 2=20，
∴AC 2＋BC 2=AB 2．∴△ABC 是直角三角形． （3）作出点C 关于x 轴的对称点C′，则C′ (0，2)，OC′=2．
连接C′D 交x 轴于点M ，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC ＋MD 的值最小． 设抛物线的对称轴交x 轴于点E ． △C′OM ∽△DEM ． ∴
OM OC EM ED '
=
．∴232528
m m =-．∴m =2441． 6. （2011山东济宁，23，10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物
线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，
3）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相
切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到
什么位置时，PAC ?的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ?的最大面积.
【答案】（1）解：设抛物线为2
(4)1y a x =--.
∵抛物线经过点A （0，3），∴2
3(04)1a =--.∴14
a =. ∴抛物线为2211
(4)12344
y x x x =
--=-+. ……………………………3分 (2) 答：l 与⊙C 相交. …………………………………………………………………4分
证明：当
21
(4)104
x --=时，12x =，26x =. ∴B 为（2，0），C 为（6，0）.
∴AB =设⊙C 与BD 相切于点E ，连接CE ，则90BEC AOB ∠=?=∠. ∵90ABD ∠=?，∴90CBE ABO ∠=?-∠.
又∵90BAO ABO ∠=?-∠，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ?∽BEC ?. ∴
CE BC
OB AB =
.
∴2CE =.
∴2CE =>.…………………………6分 ∵抛物线的对称轴l 为4x =，∴C 点到l 的距离为2.
∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. ……………………………………………7分 (3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q .
可求出AC 的解析式为1
32y x =-
+.…………………………………………8分 设P 点的坐标为（m ，21234
m m -+），则Q 点的坐标为（m ，1
32m -+）.
∴221113
3(23)2442
PQ m m m m m =-+--+=-+.
∵22113327
()6(3)24244
PAC PAQ PCQ S S S m m m ???=+=?-+?=--+,
∴当3m =时，PAC ?的面积最大为27
4
.
此时，P 点的坐标为（3，3
4
-）. …………………………………………10分
x
(第23题)
7. （2011山东威海，25，12分）如图，抛物线2
y ax bx c =++交x 轴于点(3,0)A -，点(1,0)B ,交y 轴于点(0,3)E -．点C 是点A 关于点B 的对称点，点F 是线段BC 的中点，直线l 过点F 且与y 轴平行．直线y x m =-+过点C ，交y 轴于点D ． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）点K 为线段AB 上一动点，过点K 作x 轴的垂线与直线CD 交于点H ，与抛物线交于点G ,求线段HG 长度的最大值；
（3）在直线l 上取点M ，在抛物线上取点N ，使以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形，求点N 的坐标．
图① 备用图
【答案】 解：（1）设抛物线的函数表达式(1)(3)y a x x =-+ ∵抛物线与y 轴交于点(0,3)E -，将该点坐标代入上式，得1a =． ∴所求函数表达式(1)(3)y x x =-+，即2
23y x x =+-． （2）∵点C 是点A 关于点B 的对称点，点(3,0)A -，点(1,0)B ， ∴点C 的坐标是(5,0)C ．
将点C 的坐标是(5,0)C 代入y x m =-+，得5m =． ∴直线CD 的函数表达式为5y x =-+．
A x
y
B
O
C
D
(第23题)
E
P
Q
设K 点的坐标为(,0)t ，则H 点的坐标为(,5)t t -+，G 点的坐标为2
(,23)t t t +-． ∵点K 为线段AB 上一动点， ∴31t -≤≤．
∴2
2
2
341(5)(23)38()2
4
HG t t t t t t =-+-+-=--+=-++
． ∵3
312-≤-
≤， ∴当32t =-时，线段HG 长度有最大值41
4
．
（3）∵点F 是线段BC 的中点，点(1,0)B ，点 (5,0)C ， ∴点F 的坐标为(3,0)F ． ∵直线l 过点F 且与y 轴平行， ∴直线l 的函数表达式为3x =． ∵点M 在直线l 上，点N 在抛物线上 ，
∴设点M 的坐标为(3,)M m ，点N 的坐标为2
(,23)N n n n +-． ∵点(3,0)A -，点 (5,0)C ，∴8AC =． 分情况讨论：
① 若线段AC 是以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形的边，则须MN ∥AC ，且
MN ＝AC ＝8．
当点N 在点M 的左侧时，3MN n =-． ∴38n -=，解得5n =-． ∴N 点的坐标为(5,12)N -．
当点N 在点M 的右侧时，3MN n =-． ∴38n -=，解得11n =． ∴N 点的坐标为(11,40)N ．
②若线段AC 是以点A ，C ，M ，N 为顶点的平行四边形的对角线，由“点C 与点A 关于点B 中心对称”知：点M 与点N 关于点B 中心对称．取点F 关于点B 对称点P ，则点P 的坐标为(1,0)P -．过点P 作NP ⊥x 轴，交抛物线于点N ．
将1x =-代入2
23y x x =+-，得4y =-． 过点N ，B 作直线NB 交直线l 于点M ． 在△BPN 和△BFM 中，
∵90NPB MBF BF BP BPN BFM ∠=∠??
=??∠=∠=??
∴△BPN ≌△BFM ． ∴NB ＝MB ．
∴四边形点ANCM 为平行四边形． ∴坐标为(1,4)--的点N 符合条件．
∴当点N 的坐标为(5,12)-，(11,40)，(1,4)--时，以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形．
8. （2011山东烟台，26,14分）如图，在直角坐标系中，梯形ABCD 的底边AB 在x 轴
上，底边CD 的端点D 在y 轴上.直线CB 的表达式为y =－43x +16
3，点A 、D 的坐标分别为
（－4，0），（0，4）.动点P 自A 点出发，在AB 上匀速运行.动点Q 自点B 出发，在折线
BCD 上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点P 运动t （秒）时，△OPQ 的面积为s （不能构成△OPQ 的动点除外）.
（1）求出点B 、C 的坐标； （2）求s 随t 变化的函数关系式；
（3）当t 为何值时s 有最大值？并求出最大值.
（备用图2） O x
y
A
B
C
D
O x
y
A
B
C
D
（备用图1）
O
x
y
A
B
C
D
P
Q
【答案】解：（1）把y＝4代入y＝－4
3
x＋
16
3
，得x＝1.
∴C点的坐标为（1，4）.
当y＝0时，－4
3
x＋
16
3
＝0，
∴x＝4.∴点B坐标为（4，0）.
（2）作CM⊥AB于M，则CM＝4，BM＝3. ∴BC＝22
CM BM
+＝22
34
+＝5.
∴sin∠ABC＝CM
BC
＝
4
5
.
①当0＜t＜4时，作QN⊥OB于N，
则QN＝BQ·sin∠ABC＝4 5 t.
∴S＝1
2
OP·QN＝
1
2
（4－t）×
4
5
t＝－
2
5
t2＋
8
5
t（0＜t＜4）.
②当4＜t≤5时，（如备用图1），连接QO，QP，作QN⊥OB于N.
同理可得QN＝4 5 t.
∴S＝1
2
OP·QN＝
1
2
×（t－4）×
4
5
t. ＝
2
5
t2－
8
5
t（4＜t≤5）.
（3）①在0＜t＜4时，
当t＝
8
5
2
2()
5
?-
＝2时，
S最大＝
2
8
()
5
2
4()
5
-
?-
＝
8
5
.
②在4＜t≤5时，对于抛物线S＝2
5
t2－
8
5
t，当t＝－
8
5
2
2
5
-
?
＝2时，
S最小＝2
5
×22－
8
5
×2＝－
8
5
.
∴抛物线S＝2
5
t2－
8
5
t的顶点为（2，－
8
5
）.
∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大.
∴当t＝5时，S最大＝2
5
×52－
8
5
×5＝2.
③在5＜t≤6时，
在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S随t的增大而增大.
∴当t＝6时，S最大＝2×6－8＝4.
∴综合三种情况，当t＝6时，S取得最大值，最大值是4.
（说明：（3）中的②也可以省略，但需要说明：在（2）中的②与③的△OPQ，③中的底边OP和高CD都大于②中的底边OP和高.所以③中的△OPQ面积一定大于②中的△OPQ 的面积.）
9. （2011四川南充市，22，8分）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m－4,0）和B(m,0)，
与直线y =－x +p 相交于点A 和点C(2m －4,m －6).
(1)求抛物线的解析式；
（2）若点P 在抛物线上，且以点P 和A,C 以及另一点Q 为顶点的平行四边形ACQP 面积为12，求点P,Q 的坐标；
（3）在（2）条件下，若点M 是x 轴下方抛物线上的动点，当⊿PQM 的面积最大时，请求出⊿PQM 的最大面积及点M 的坐标。
【答案】解：（1）∵点A(m-4,0)和C(2m-4,m-6)在直线y =-x +p 上 ∴0(4)6(24)m p m m p =--+??
-=--+?
解得：3
1m p =??=-?
∴A(-1,0) B(3,0), C(2,-3) 设抛物线y =ax 2+bx+c =a(x-3)(x+1), ∵C(2,-3) ∴a=1
∴抛物线解析式为：y =x 2-2x-3
（2）AC=32,AC 所在直线的解析式为：y =-x -1，∠BAC=450
∵平行四边形ACQP 的面积为12. ∴平行四边形ACQP 中AC 边上的高为
2
312=22
过点D 作DK ⊥AC 与PQ 所在直线相交于点K,DK= 22,∴DN=4 ∵ACPQ,PQ 所在直线在直线ACD 的两侧，可能各有一条，
∴PQ 的解析式或为y =-x +3或y =-x -5
∴2233y x x y x ?=--?=-+?
解得：1130x y =??=?或2225x y =-??=?
223
5y x x y x ?=--?
=--?
，此方程组无解. 即P 1(3,0), P 2(-2,5)
∵ACPQ 是平行四边形 ，A(-1,0) C(2,-3) ∴当P(3,0)时，Q(6，-3) 当P(-2,5)时，Q(1，2)
∴满足条件的P,Q 点是P 1(3,0), Q 1(6，-3)或 P 2(-2,5)，Q 2(1，2) （1） 设M(t ,t 2-2t-3),(-1＜t ＜3),过点M 作y 轴的平行线，交PQ 所在直线雨点T,则T(t,-t+3)
MT=(-t+3)-( t 2-2t-3)=- t 2+t+6
过点M 作M S ⊥PQ 所在直线于点S ，
MS=
22MT=22 (
- t 2+t+6)=- 22(t-2
1)2+8225 ∴当t=
21时，M （21，-4
15），⊿PQM 中PQ 边上高的最大值为8225
10．（2011 浙江杭州，24， 12)图形既关于点O 中心对称，又关于直线AC ，BD 对称，AC
＝10，BD ＝6，已知点E ，M 是线段AB 上的动点(不与端点重合)，点O 到EF ，MN 的
距离分别为1h ，2h ．△OEF 与△OGH 组成的图形称为蝶形． (1)求蝶形面积S 的最大值；
(2)当以EH 为直径的圆与以MQ 为直径的圆重合时，求1h 与2h 满足的关系式，并求1h 的取值范围．
【答案】(1) 如图，设EF 与AC 交于点K ，由△OEF ∽△ABD ，得
AK EF AO BD =，1556
h EF
-=
， 16(5)5EF h =-，1111622(5)225S OK EF h h =??=??-，整理得216515
()522
S h =--+，当
152h =时，蝶形面积S 的最大，最大值为152
．
O D
C
B
A
y
x
S
E
R
O
A
B
M
(2) 如图，设MN 与AC 交于点L ，由(1)得16
(5)5EF h =-，则13(5)5EK h =-，23(5)5
ML h =-
由OK 2+EK 2＝OE 2，OL 2+ML 2＝OM 2，得OK 2+EK 2＝OL 2+ML 2，
2
2
221
12233(5)(5)55h h h h ????
+-=+-????????
，整理得[]1212()17()450h h h h -+-=，当点E ，M 不
重合时，120h h -≠，124517h h +=
．当OE ⊥AB 时，14534h =，所以145017
h << 2）当点,E M 重合时，则12h h =，此时1h 的取值范围为105h <<.
解法二：（1）由题意，得四边形ABCD 是菱形.
由//EF BD ，得ABD
AEF ??，1565
h EF -∴
=
，即()16
55EF h =- ()2
111166515
255522
OEF
S S EF h h h h ???∴==?=-?=--+ ???
所以当152h =
时，max 15
2
S =. （2）根据题意，得OE OM =.
如图，作OR AB ⊥于R ， OB 关于OR 对称线段为OS ，
1）当点,E M 不重合时，则,OE OM 在OR 的两侧，易知RE RM =.
534AB ==，34
OR ∴= 2
2
1533434BR ??
∴=-= ?
??
由////ML EK OB ，得
,OK BE OL BM
OA AB OA AB
== 2OK OL BE BM BR OA OA AB AB AB
∴
+=+=，即129
5517h h +=
124517h h ∴+=
，此时1h 的取值范围为145017h <<且145
34
h ≠
2）当点,E M 重合时，则12h h =，此时1h 的取值范围为105h <<.
11. (2011 浙江湖州，24，14)如图1．已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上,M 是BC 的中点．P (0，m)是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．
(1) 求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； (2) 当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；
(3) 设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足
为H （如图2）．当点P 从点O 向点C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过 的路径长．（不必写解答过程）
【答案】解：（1）由题意得CM=BM ，∵∠PMC ＝∠DMB ，∴Rt △PMC ≌Rt △DMB ，∴DB
＝PC ，∴DB ＝2－m ，AD ＝4－m ，∴点D 的坐标为（2，4－m ）.
（2）分三种情况：①若AP ＝AD ，则224(4)m m +=-，解得3
2m =.
② 若PD ＝PA ，过P 作PF ⊥AB 于点F （如图），则AF ＝FD,11
(4)22
AF FD AD m ==
=-，又OP ＝AF ，∴1(4)2
m m =-，解得4
3m =
， ③ 若DP ＝DA ，∵△PMC ≌△DMB ，∴11
(4)22
PM PD m ==-，∵222PC CM PM +=，
∴221(2)1(4)4m m -+=-， 解得122
,2
3
m m ==（舍去）. 综上所述，当△APD 是等腰三角形时，过m 的值为342
233
或或.
（3）点H 5
.
12. （2011宁波市，26，10分）如图．平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ． （1）求点E 的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求?BON 的面积的最大值，并求出此时点N 的坐标；
（4）连结AN ，当?BON 的面积的最大时，在坐标平面内使得?BOP 与?OAN 相似（点B 、O 、N 对应）的点P 的坐标．