全国各地中考数学试题分类汇编考点 二次函数的应用(几何)
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二次函数的应用(几何)1
一、选择题
1.(2011安徽,10,4分)如图所示,P是菱形ABCD的对角线AC上一动点,过P垂直
于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点,设AC=2,BD=1,AP=x,△AMN的面积为y,则y关于x的函数图象的大致形状是()
A.B.C.
D.
【答案】C
2. (
2011山东威海,12
,3分)如图,
在正方形ABCD中,AB=3cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动,同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动,到达B点时运动同时停止,设△AMN的面积为y
(cm2),运动时间为x(秒),则下列图象中能大致反映y 与x之间的函数关系的是()
【答案】B
3. (2011甘肃兰州,14,4分)如图,正方形ABCD的边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为S,AE为x,则S关于x的函
数图象大致是
A .
B .
C .
D .
【答案】B 4.
二、填空题
1. 2. 3. 4. 5.
三、解答题
1. (2011浙江省舟山,24,12分)已知直线3+=kx y (k <0)分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,线段OA 上有一动点P 由原点O 向点A 运动,速度为每秒1个单位长度,过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ,设运动时间为t 秒.
(1)当1-=k 时,线段OA 上另有一动点Q 由点A 向点O 运动,它与点P 以相同速度
同时出发,当点P 到达点A 时两点同时停止运动(如图1). ① 直接写出t =1秒时C 、Q 两点的坐标;
② 若以Q 、C 、A 为顶点的三角形与△AOB 相似,求t 的值. (2)当4
3
-
=k 时,设以C 为顶点的抛物线n m x y ++=2)(与直线AB 的另一交点为D (如图2), ① 求CD 的长;
② 设△COD 的OC 边上的高为h ,当t 为何值时,h 的值最大?
F
G
(第24题图2)
(第24题图1)
【答案】(1)①C (1,2),Q (2,0). ②由题意得:P (t ,0),C (t ,-t+3),Q (3-t ,0), 分两种情形讨论:
情形一:当△AQC ∽△AOB 时,∠AQC=∠AOB =90°,∴CQ ⊥OA , ∵CP ⊥OA ,∴点P 与点Q 重合,OQ =OP ,即3-t =t ,∴t=1.5.
情形二:当△ACQ ∽△AOB 时,∠ACQ=∠AOB =90°,∵O A=O B=3,∴△AOB 是等腰直角三角形,∴△ACQ 是等腰直角三角形,∵CQ ⊥OA ,∴AQ=2CP ,即t =2(-t +3),∴t=2.∴满足条件的t 的值是1.5秒或2秒.
(2) ①由题意得:C (t ,-34t +3),
∴以C 为顶点的抛物线解析式是2
3()34
y x t t =--+, 由2
33()3344
x t t x --
+=-+,解得x 1=t ,x 2=t 3
4-;过点D 作DE ⊥CP 于点E ,则
∠DEC=∠AOB =90°,DE ∥OA ,∴∠EDC=∠OAB ,∴△DEC ∽△AOB ,∴
DE CD
AO BA
=, ∵AO =4,AB =5,DE =t -(t-34)=34.∴CD =3
5
15
4416
DE BA AO ⨯⨯==.
②∵CD =1516,CD 边上的高=341255⨯=.∴S △COD =115129
21658
⨯⨯=.∴S △COD 为定值;
要使OC 边上的高h 的值最大,只要OC 最短. 因为当OC ⊥AB 时OC 最短,此时OC 的长为
12
5
,∠BCO =90°,∵∠AOB =90°,∴∠COP =90°-∠BOC =∠OBA ,又∵CP ⊥OA ,∴Rt △PCO ∽Rt △OAB ,
∴OP OC BO BA =,OP =12
3
36
5525
OC BO BA ⨯⨯==,即t =3625,∴当t 为3625秒时,h 的值最大. 2. (2011广东东莞,22,9分)如图,抛物线2517
144
y x x =-+
+与y 轴交于点A ,过点A
的直线与抛物线交于另一点B ,过点B 作BC ⊥x 轴,垂足为点C (3,0). (1)求直线AB 的函数关系式;
(2)动点P 在线段OC 上,从原点O 出发以每钞一个单位的速度向C 移动,过点P 作⊥x 轴,交直线AB 于点M ,抛物线于点N ,设点P 移动的时间为t 秒,MN 的长为s 个单位,求s 与t 的函数关系式,并写出t 的取值范围;
(3)设(2)的条件下(不考虑点P 与点O ,点G 重合的情况),连接CM ,BN ,当t 为何值时,四边形BCMN 为平等四边形?问对于所求的t 的值,平行四边形BCMN 是否为菱形?说明理由.
【解】(1)把x=0代入2517
144
y x x =-
++,得1y = 把x=3代入2517144
y x x =-++,得5
2y =,
∴A 、B 两点的坐标分别(0,1)、(3,5
2
)
设直线AB 的解析式为y kx b =+,代入A 、B 的坐标,得
1
5
32
b k b =⎧⎪
⎨+=⎪⎩,解得112b k =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以,1
12
y x =
+ (2)把x=t 分别代入到112y x =
+和2517
144y x x =-++ 分别得到点M 、N 的纵坐标为112t +和2517
144
t t -++
∴MN=2517144t t -++-(112t +)=2515
44
t t -+
即2515
44
s t t =-+
∵点P 在线段OC 上移动,
∴0≤t ≤3.
(3)在四边形BCMN 中,∵BC ∥MN
∴当BC=MN 时,四边形BCMN 即为平行四边形 由2
5155
4
42
t t -+
=,得121,2t t ==