AR模型谱估计算法分析

信息量准则在AR模型谱估计算法分析

绪论

雷达杂波的建模与仿真,是雷达目标环境模拟中的重要组成部分,杂波建模的好坏将直接影响到最终模拟效果。统计建模是目前较为成熟和常用的杂波建模方法,在建立统计性模型时,杂波通常用相关非高斯分布随机过程来描述,其主要模拟方法有三种:外部模型法、广义维纳过程的零记忆非线性变换法(ZMNL)和球不变随机过程法（SIRP)。使用这三种方法的前提都是要先产生具有指定功率谱特性的相关高斯随机过程。

相对于杂波的空间相关性,杂波在时间上的相关性由其功率谱特性来描述。地面雷达环境杂波的功率谱主要用高斯谱或n 次方谱来描述,分析这两种分布特性不难发现,杂波功率大部分集中在半功率点或特征频率范围内,具有一定程度的极值函数特征, 因此,可以用有限阶自回归(AR)过程模拟近似。也就是说,可以将杂波看成是一个具有指定功率谱特性的自回归随机过程。这样,相关高斯杂波的模拟问题就转换为对给定功率谱求解其AR 模型的参数和阶数问题。

AR 模型定阶准则可以分为两类: 线性代数法和信息量准则法。线性代数法需要计算矩阵的秩, 计算量大,不易于工程实时实现。文献[1]给出了一种修正的LEVISON算法来确定AR阶数,得到的阶数与实际AR 阶数较为接近,但前提是需要事先选择一个取值理想的收敛因子,这给实际工作带来了不确定性。信息量准则法是设定一个与AR阶数、线形预测误差方差相关的性能指标,选择使这个性能指标达到最小的阶数,依此作为定阶原则来确定AR 阶数。它的优点是计算量小,易于实现,不需要选择不确定性因素,而且这种基于信息量准则的方法具有明确的物理意义。

采用模型仿真相关高斯序列，具有灵活性强，效率高的优点，但如何选择合适的阶数一直是模型谱估计中的关键问题。本文从介绍功率谱的估计原理入手分析了经典谱估计和现代谱估计两类估计方法的原理，根据现代谱估计中的线性预测自回归模型法(AR模型法)估计功率谱的原理，讨论了Levlnsion-Durbin算法和四种基于信息量准则的AR模型定阶准则：AIC、FPE、CAT和MDL，计算AR模型参数、估计功率谱并利用进行了实例计算和分析。

一、功率谱估计现状

信号处理的核心，说到底就是如何保证在信号受到干扰产生失真的情况下，正确恢复原有信号，提取有用信息。而功率谱(简称谱)估计就是信号处理的一个重要分支；以傅立叶变换为基础谱估计一般称为的传统(或经典)谱估计方法，传统谱估计法又可以分为直接法和间接法，后来由于FFT的出现，直接法和间接法往往被结合起来使用。不论是数据加窗还是自相关函数加窗，在频率域都会发生“泄露”现象，即功率谱主瓣的能量泄露到旁瓣中去，这样，弱信号的主瓣很容易被强信号的旁瓣淹没或畸变，造成谱的模糊与失真。为了克服经典谱估计的缺点，近年来在实现高分辨率谱估计技术方面取得了很大的进展，提出了许多功率谱估计的参数方法，也就是现代谱估计的基本方法。其基本思想是在进行谱估计过程对所观测的有限数据以外的数据不作任何确定性假设。

谱估计的现代方法主要是以随机过程的参数模型为基础的，因此，也可以将其称为参数模型方法或简称模型方法。通常，由于有用信号与噪声的频谱特性不同，因此谱估计方法成为一种在噪声背景下提取有用信号(正弦信号)的有效方法。谱估计的方法主要有非参数化方法和参数化方法，或称为经典谱估计方法和现代谱估计方法。经典谱估计方法的优点是方法简便、计算效率高，其不足是频率分辨率低。现代谱估计方法具有频率分辨率高的优点，因此又被称为高分辨率谱估计方法。近年来，现代谱估计理论和技术的研究一直十分活跃。现代谱估计的方法主要有模型法、熵谱法、最大似然法和特征分解法等四大类。

二、算法简介——Levinsion-Durbin递推算法

用线性方程组的常用算法（如高斯消元法）求解Yule-Walker方程需要运算量的数量级为3P，但若利用系数矩阵的对称性和Toeplitz性质，则可以形成一些高效算法，Levinsion-Durbin算法是其中最著名、应用最广泛的一种，这种算法的运算量数量级为2P，这是一种按阶次进行的递推算法，即首先以()0

AR和()1

AR模型参数；然后根据这些参数计算AR模型参数作为初始条件，计算()2

()3

AR模型的参数，按照上述方法依次计算()()

AR AR 的参数，直到计算

4,5,

出()

AR p的模型参数为止。这样当整个迭代计算结束后，不仅求得了所需要的阶AR模型的参数，同时还得到了所有各低阶模型的参数。

K阶Yule-Walker方程：

()()()()()()()()()

2

,1,1

0110100100

k k k k

R R R k a R R R k a R k R k R σ-=

-

的参数{}

2,1,2,a ,,,,k k k k k a a σ ，现求解k+1阶Yule-Walker 方程，为此将k 阶方程的系数矩阵增加一列和增加一行，称为下列形式的“扩大方程”：

()()()()()

()()()()()()()()

()

()()

2,1

,01111010

10101k 100

k

k k k k

R R R k R k R R R k R k a R k R k R R a R k R R R D σ+-=-+

扩大方程中的k D 由下式定义：(),,00

1,1k

k k i k i D a R k i a ==+-=∑

利用系数矩阵的特点，将扩大方程的行倒序，同时列也进行倒序，得到“预备方程”：

()()

()()

()()()()()()()()()()()()

,,1

20110

101010101k 101

k k k

k k R R R k R k D R R R k R k a R k R k R R a R k R R R σ+-=-+

将待求解的k+1阶Yule-Walker 方程的解表示成扩大方程的解和预备方程的解的线性组合形式：

1,1,1,11,,,11,1110

1

k k k k k k k k k k k k a a a a a a a γ+++++=- 或者 1,,1,1,1,2,,k i k i k k k i a a a i k γ+++-=-=

式中，是待定系数，称为反射系数。上式各项都右乘以k+1阶系数矩阵，得到：