9.1 二次根式和它的性质(1)
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9.1 二次根式和它的性质(1)
一、学习目标
1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a
二、学习重点、难点
重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
课前预习案
(一)复习:
(1)已知x 2 = a ,那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。
(2)4的算术平方根为2
,用式子表示为 =__________;
正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;
式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
(二)预习课本解决问题
1、式子a 表示什么意义?
2、什么叫做二次根式?
3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么?
4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么?
5、如何确定一个二次根式有无意义?
课内探究
(一)自主学习
自学课本第112页例1前的内容,完成下面的问题:
1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么?
3,16-,34)0(3≥a a ,12+x ,)0(1<-a a
4
2、计算 :
(1)面积为4的正方形,可求得边长为2,即 4 , 可写成 (2)面积为9的正方形,可求得边长为3,即9, 可写成 (3)面积为5的正方形,可求得边长为 ,可写成
(4)面积为17的正方形,可求得边长为 ,可写成
(5)面积为3
1的正方形,可求得边长为 ,可写成 (6)=2)0(
根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , )0()(2≥=a
a a 的意义是 。 3、当a 为正数时,指a 的 ,而0的算术平方根是 ,
负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式
中,字母a 必须满足 ,
才有意义。
(二)合作探究 1、自学课本第112页例题1后,模仿例题的解答过程合作完成练习 : x 取何值时,下列各二次根式有意义?
①43-x ③
2、(1)若有意义,则a 的值为___________. (2)若在实数范围内有意义,则x 为( )。
A.正数
B.负数
C.非负数
D.非正数 (三)展示反馈 (学生自己总结)
(四)精讲点拨
________)(2=a x
--214
)4(2=9
)3(2=
(五)拓展延伸
1、(1)在式子x
x +-121中,x 的取值范围是____________. (2)已知42-x +y x +2=0,则x-y = _____________.
(3)已知y =x -3+23--x ,则x y = _____________。
2、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a=2)(a ,利用此公式可以
把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式:
5 0.35
(2)在实数范围内因式分解
72-x 4a 2-11
(六)达标测试
A 组
(一)填空题: 1、 =________; 2、 在实数范围内因式分解:
(1)x 2-9= x 2 - ( )2= (x+ ____
)(x-____)
(2) x 2 - 3 = x 2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x- _____)
(二)选择题:
1、计算
( ) A. 169 B.-13 C±13 D.13
2、已知的值不能确定
253???? ??的值为2)13(-0,x =则为( )
3、下列计算中,不正确的是 ( )。 A. 3= 2)3( B. 0.5=2)5.0( C .2)3.0(=0.3 D. 2)75(=35
B 组
(一)选择题:
1、下列各式中,正确的是( )。
A. =
B.
C.
D.
2、 如果等式2)(x -= x 成立,那么x 为( )。
A x ≤0; B.x=0 ; C.x<0; D.x ≥0
(二)填空题:
1、 若20a -=,则 2a b -= 。
2、分解因式:
4 4x -x 24+= ________.
3、当x= 时,代数式
其最小值是 。
4
949+=+4994?=?2424-=-653625=
二次根式的概念与性质1
二次根式的概念与性质1 一.选择题(共30小题) 1.下列式子:①;②;③;④;⑤;⑥, 其中一定是二次根式的有() A.5个B.4个C.3个D.2个 2.下列判断正确的是() A.带根号的式子一定是二次根式 B.一定是二次根式 C.一定是二次根式 D.二次根式的值必定是无理数 3.下列各式中①;②;③;④;⑤一定是二次根式的有() A.1个B.2个C.3个D.4个 4.下列各式中,二次根式有() ①②③④ A.1个B.2个C.3个D.4个 5.下列各式中:①;②;③;④.其中,二次根式的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个 6.在式子,,,,(x≤0)中,一定是二次根式的有() A.1个B.2个C.3个D.4个 7.x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件() A.B.C.D. 8.若有意义,则x满足条件是() A.x≥﹣3且x≠1B.x>﹣3且x≠1C.x≥1D.x≥﹣3 9.式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是()
A.x<2B.x≥2C.x=2D.x<﹣2 10.如果代数式有意义,那么x的取值范围是() A.x≠3B.x<3C.x>3D.x≥3 11.使二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围在数轴上表示为()A.B. C.D. 12.二次根式中,字母a的取值范围是() A.a B.a C.a D.a 13.使式子+成立的x的取值范围是() A.x≥﹣2B.x>﹣2C.x>﹣2,且x≠2D.x≥﹣2,且x≠2 14.若式子有意义,则实数m的取值范围是() A.m>﹣2B.m>﹣2且m≠1C.m≥﹣2D.m≥﹣2且m≠1 15.代数式+中x的取值范围在数轴上表示为() A.B. C.D. 16.下列说法正确的个数有() ①代数式的意义是a除以b的商与1的和; ②要使y=有意义,则x应该满足0<x≤3; ③当2x﹣1=0时,整式2xy﹣8x2y+8x3y的值是0; ④地球上的陆地面积约为14900万km2,用科学计数法表示为1.49×108km2. A.1个B.2个C.3个D.4个 17.使代数式有意义的整数x有()
二次根式定义与性质
二次根式定义及性质 教学内容: 1.学习目标:理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由;理解并掌握下列结论:, ,,并利用它们进行计算和化简. 2.重点:;,及其运用. 3.难点:利用,,解决具体问题. 知识点一:二次根式的概念 一般地,我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 知识点二:二次根式的性质 1.; 2.; 3.; 4. 积的算术平方根的性质:; 5. 商的算术平方根的性质:. 知识点三:代数式 形如5,a,a+b,ab,,x3,这些式子,用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).
经典例题透析 类型一:二次根式的概念 例1、下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式: 、、、(x>0)、、、、、(x≥0,y≥0).思路点拨:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0.解:二次根式有:、(x>0)、、、(x≥0,y≥0); 不是二次根式的有:、、、. 例2、当x是多少时,在实数范围内有意义? 思路点拨:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,?才能有意义. 解:由3x-1≥0,得:x≥ 当x≥时,在实数范围内有意义. 总结升华:要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数. 举一反三 【变式1】x 是怎样的实数时,下列各式实数范围内有意义? (1); (2); 解:(1)由≥0,解得:x取任意实数 ∴当x取任意实数时,二次根式在实数范围内都有意义. (2)由x-1≥0,且x-1≠0,解得:x>1 ∴当x>1时,二次根式在实数范围内都有意义.
二次根式的概念与性质
二次根式的概念与性质 编稿:庄永春审稿:邵剑英责编:张杨 一、目标认知 1.学习目标: 理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由;理解并掌握下列结论: ,,,并利用它们进行计算和化简.2.重点: ;,及其运用. 3.难点: 利用,,解决具体问题. 二、知识要点梳理 知识点一:二次根式的概念 一般地,我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 要点诠释: 二次根式的两个要素:①根指数为2;②被开方数为非负数. 知识点二:二次根式的性质 1.; 2.; 3.; 4. 积的算术平方根的性质:; 5. 商的算术平方根的性质:. 要点诠释: 二次根式(a≥0)的值是非负数,其性质可以正用亦可逆用,正用时去掉根号起到化简的作用;逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式,有利于在实数范围内进行因式分解.
知识点三:代数式 形如5,a,a+b,ab,,x3,这些式子,用基本的运算符号(基本运算包 括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子 为代数式(algebraic expression). 三、规律方法指导 1.如何判断一个式子是否是二次根式? (1)必须含有二次根号,即根指数为2; (2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的,否则在实数范围内无意义. 2.如何确定二次根式在实数范围内有意义? 要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中所含字母的取值范围,可根据题意列出不等式,通过解不等式确定字母的取值范围.当二次根式 作为分母时要注意分母不能为零. 经典例题透析 类型一:二次根式的概念 1、下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式: 、、、(x>0)、、、、、(x≥0,y≥0).思路点拨:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0. 解:二次根式有:、(x>0)、、、(x≥0,y≥0); 不是二次根式的有:、、、. 2、当x是多少时,在实数范围内有意义? 思路点拨:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,?才能有意义.解:由3x-1≥0,得:x≥ 当x≥时,在实数范围内有意义.
二次根式的概念及性质
第十六章二次根式 16. 1 二次根式 第1课时 二次根式的概念和性质 :?< 1. 二次根式的概念和应用. 2. 二次根式的非负性. 重点 二次根式的概念. 难点 二次根式的非负性. 一、情景导入 师:(多媒体展示)请同学们看屏幕 电视节目信号的传播半径 r/km 与电视塔高h/km 之间有近似关系r = yj 2Rh(R 为地球半径).如 果两个电视塔的高分别为 h i km , h 2 km ,那么它们的传播半径之比为多少?同学们能化简这个式 子吗? 由学生计算、讨论后得出结果 ,并提问. 生:半径之比为亠2Rh ;,暂时我们还不会对它进行化简. 师:那么怎么去化简它呢?这要用到二次根式的运算和化简.如何进行二次根式的运算?如 何进行二次根式的化简?这将是本章所学的主要内容. 二、新课教授 活动1:知识迁移,归纳概念 (1) 17的算术平方根是 __________ ; (2) 如图,要做一个两条直角边长分别为 7 cm 和4 cm 的三角形,斜边长应为 ____________ c m ; 2 (3) —个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m ,则它的宽为 _________________ m ; (4) 面积为3的正方形的边长为 ____________ ,面积为a 的正方形的边长为 ___________________ ; (5) 一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间 t(单位:s)与开始落下时的高度 h(单位: m)满足关系h = 5『.如果用含有h 的式子表示t ,则t= ______________ . 【答案】(1).17 (2) 65 (3).65 (4) 3 a ⑸- ;'5 活动2:二次根式的非负性 (多媒体展示) _ (1) 式子.a 表示的实际意义是什么?被开方数 a 满足什么条件时,式子."a 才有意义? (2) 当a >0时,百 ___________ 0;当a = 0时,需 ___________ 0;二次根式是一个 ____________ . 【答案】(1)a 的算术平方根,被开方数a 必须是非负数 (2) > = 非负数 老师结合学生的回答,强调二次根式的非负性. 当a >0时,,a 表示a 的算术平方根,因此a > 0; 当a = 0时,,a 表示0的算术平方根,因此,-/a = 0. 也就是说,当a > 0时,? a 》0. ,这是东方明珠电视塔. (多媒体演示)用含根号的式子填空.
最新二次根式的有关概念及性质资料
二次根式的有关概念及性质 一、二次根式的有关概念: 1.二次根式:式子(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式; (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式,因被开方数中 含有4是可开得尽方的因数,又如,,..........都不是最简二次根式,而, ,5,都是最简二次根式。 3.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根 式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式,因为=2,=3, 它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,则说这两 个代数式互为有理化因式。如与,a+与a-,-与+,互为有理化因式。 二、二次根式的性质: 1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数,即:()2=a(a≥0);
3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值,即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即=· (a≥0,b≥0)。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,即= (a≥0,b>0)。 三、例题: 例1.x为何值时,下列各式在实数范围内才有意义: (1)(2)(3) (4)+(5)(6)+ 分析:这是一组考察二次根式基本概念的问题,要弄清每一个数学表达式的含义,根据分式和根式成立的条件去解,即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。 解:(1)∵6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。 (2)∵x2≥0, ∴x2+3>0, ∴x取任意实数原式都有意义。 (3) ∵∴ ∴当x<3且x≠-3时,原式有意义。 (4) ∵∴ ∴当-≤x<时,原式有意义。
青岛版数学八年级下册9.1《二次根式和它的性质》教案
《二次根式和它的性质》教案1 教学内容 二次根式的概念及其运用. 教学目标 a≥0)的意义解答具体题目.提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题. 教学重难点关键 1 a≥0)的式子叫做二次根式的概念. 2 a≥0)”解决具体问题. 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们独立完成下列三个问题: 问题1:已知反比例函数y=3 x ,那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是 ___________. 问题2:如图,在直角三角形ABC中,AC=3,BC=1,∠C=90°,那么AB边的长是______ ____. A C 问题3:甲射击6次,各次击中的环数如下:8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S2,那么S=_________. 老师点评: 问题1:横、纵坐标相等,即x=y,所以x2=3.因为点在第一象限,所以x 求点的坐标 . 问题2:由勾股定理得AB 问题3:由方差的概念得S 二、探索新知
a ≥0)的式子叫做二次根 式, (学生活动)议一议: 1.-1有算术平方根吗? 2.0的算术平方根是多少? 3.当a <0 下列式子,哪些是二次根式,、1x x >0、 -1x y +x ≥0,y ≥0). ;第二,被开方数是正数或0. x >0)、(x ≥0,y ≥0);不是二次根 1x 1x y +. 例题解析 例1 当x 在实数范围内有意义? 分析:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x -1≥0才能有意义. 解:由3x -1≥0,得:x ≥13 当x ≥13在实数范围内有意义. 例2 计算 (1);)(215 (2);)-(2830. (3). 223)-( 三、应用拓展 当x 11x +在实数范围内有意义? 11x +在实数范围内有意义,必须同时满足中的≥0和
二次根式及其性质
二次根式及其性质(2) 鄌郚镇中学 郑全河 教学目标: 1. 会根据 ,以及 进行化简。 2. 知道什么是最简二次根式,会辨别最简二次根式。 3. 掌握二次根式乘、除法运算法则,会熟练进行计算,并将结果写为最简二次根式。 重点、二次根式的性质及运算法则 难点、(1) 化简的分类讨论。 (2)熟练进行二次根式的乘、除法运算及将二次根式化为最简二次根式。 教学过程: 一、观察与思考: 当a ≥0时,a 2的算术平方根是多少?由此你能得到一个怎样的等式? 当a ≥0时, =a 例3 化简: (1)16, (2)2)5(- 解:16=4 2)5(-=5 想一想,当a ≥0时, 表示a 的算术平方根,因此有 , 二、交流与发现: 计算下列各式,观察结果,你有什么发现? [1] 94? 94? [2] 2516? 2516? [3] 4936? 4936? [4] 8164? 8164? [5] 121100? 121100? 这就是说,积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积[注:在本章中,如果没有特别说明,所有字母都表示非负数。] 探一探 用你发现的规律填空[判断是否相等]: ab a b a 0b 0=≥≥( ,)
32?____________ 6 52?____________ 10 例4 化简 8116? ; 324b a 解:8116?= 324b a = 三、二次根式的性质 的化简: (1) 对于 的化简,注意对被开方数 ,需考察它的正负数,若a 为非负数,即 ,则 ;若a 为负数,则 。显然这和绝对值的化 简是一致的,所以对这一性质,也可以记出中间过程 。 (2)公式 与公式 的比较 ①公式 的左边是对a 先进行开平方再平方,a 是被开方数,所以必须有 的条件,否则 在实数范围内无意义;而公式 的左边 是对a 先平方再开平方, 是被开方数,所以a 取任何实数,总有 ,因此公式 在实数范围内总有意义。 ②只有在 时, 四、交流与发现: 计算下列各式,观察结果,你有什么发现? 小结:一般的, 这就是说,商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 例5 化简 解:(让同学上黑板演示) 跟踪练习: 阶段小结:(1)怎样形式才算是最简二次根式? ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。 注:对最简二次根式可作如下理解: ①被开方数不含分母。 ()()2925210031y x 972)1()2 81(2)025x x >
二次根式性质1
怀柔区第四中学教案(2017-2018学年第一学期) 教学过程 预设问题: 1、什么是二次根式? 2、二次根式应该满足的条件? 3、二次根式的性质? 一、创设情境,导入新课 看教材51页后填空: 二次根式的定义: 二次根式应满足两个条件: (1)形式上必须是a 的形式。(2)被开方数必须是 数。 例1.判断下列各式哪些是二次根式,并说明理由。 ⑴ 3.0 ⑵ 3- ⑶ 2 )21(- ⑷ ()223≥-a a
⑸ 12+a ⑹ 3+a ⑺ a ⑻()02?-x x 二自探、合探 看教材51页总结二次根式有意义的条件是什么?并且总结所学过的知识中代数式关于和有意义有关的知识点。 二次根式有意义具备的条件: 代数式有意义应考虑以下三个方面:(1)二次根式的被开方数为非负数。 (2)分式的分母不为0。 (3)零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 例2.当x 是怎样实数时,下列各式在实数范围内有意义? ⑴ 2-x ⑵x -21 ⑶13-+-x x ⑵ ⑷2x ⑸3x (6)12+x 练习:教材52页,练习第二题。 思考:(1)常见的非负数有:a a a ,,2 (2)几个非负数之和等于 0,则这几个非负数都为0. 拓展:已知:0242=-++b a ,求a,b 的值。 三、学生展示与评价 要使二次根式有意义,必须满足被开方数要大于或等于0. 四、再探 (a ≥0)是一个什么数呢? 老师点评:根据学生讨论和上面的练习,我们可以得出 (a ≥ 0)是一个非负数. 做一做:根据算术平方根的意义填空: ()2=_______; )2=_______;(2 =______;)2=_______ ; (2=______;( 2=_______; )2=_______.
二次根式的概念及性质练习题
二次根式的概念及性质练习题 班级 姓名 一.判断题(对的打“∨”,错的打“×”) (1x 的取值范围是x<0 ( ) (2中字母x 的取值范围是x ≤3 4 ( ) (3)当x=-1 ( ) (4)当a=-4( ) (5)2= —12 ( );(6—1 2 ( ) (7)2= —1 2 ( );(8)(2 =2×1 2=1 ( ) 二、填空题: 1.b ≥3)s ≥0)a (0≥a )的代 数式,叫做_______. 2.当x______ 时, 3 x 的取值范围是_______ .
4. (7) 2 =________;(8 +( 2=________. (10 . 5.当x=-2 _______. 6.当a取______ 时, 7.当x取______ 8.当m=-2 值为________. 9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm,则直角三角形的斜边长是_______ 10、若正方形的面积是(b-3)cm2,则正方形的边长是_________。 三、选择题: 1.下列各式中,哪一个是二次根式() A . ( ( ()( () ( ()( 2 2 3 1_____,2______,3_____, 4_____,5____,6____. === ===
2 .使代数式2 x +有意义的x 的取值范围是( ) A .x ≠-2; B .x ≤12且x ≠-2; C .x<12 且x ≠-2; D .x ≥1 2且x ≠-2 3.下列各式中一定成立的是( ) A =3+4=7 B C .( 2 D =1-13=2 3 四、求下列二次根式中字母的取值范围: 五、计算:(1 -(12)2; (2) ( 3) 4时x 的值. ( )( )( )123( 4
二次根式的概念及性质练习卷
二次根式的概念及性质练习卷 姓名 一.判断题(对的打“∨”,错的打“×”) (1 x 的取值范围是x<0 ( ) (2 中字母x 的取值范围是x ≤34 ( ) (3)当x=-1 ( ) (4)当a=-4 ( ) (5) 2= —12 ( );(6 —12 ( ) (7) )2= —12 ( );(8)( 2=2×12=1 ( ) 二、填空题: 1. b ≥3) s ≥0) a (0≥a )的代数式,叫做_______. 2.当x______ 时, 3 x 的取值范围是_______ . 4. (7) 2 ; (8 ( 2=________. (10 . 5.当x=-2 _______. 6.当a 取______ 有意义.7.当x 取______ 8.当m=-2 ________. ( ( ()( ()( ( )(2231_____,2______,3_____,4_____,5____,6____. ======
9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm ,则直角三角形的斜边长是_______ 10、若正方形的面积是(b-3)cm 2,则正方形的边长是_________。 三、选择题: 1.下列各式中,哪一个是二次根式 ( ) A B C D 2 x 的取值范围是( ) A .x ≠-2; B .x ≤12且x ≠-2; C .x<12且x ≠-2; D .x ≥12 且x ≠-2 3.下列各式中一定成立的是( ) A B C .( 2 D 13=23 四、求下列二次根式中字母的取值范围: 五、计算:(1 -(12)2; (2) (3) 4时x 的值. x-4│—│7-x │. ( )( )( )123( 4
二次根式性质教案
新课** “二次根式性质 ” 教 学 案 例 学校名称: 五中 课程名称:数学 内容主题:二次根式 性质 教材版本: 人教版 教师姓名:孟丽花 简介: 容出自人教版九年级数学本课内(上)第二十一章第一节。采用“先学后导---自主合作---问题评价”的教学模式,运用自主、合作、探究的教学方法,通过生生、小组、师生互动,从而突出重点,突破难点,完成教学目标。体现了学生是学习的主人,使学生在尝试、探索、思考、交流与合作中培养分析、归纳、总结的能力。
授课年级九年级学 科 数学主 题 二次根式性质任课 教师 孟丽花 课型问题解决课课时 1 授课日期 教材分析 本节内容“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。本节主要学习二次根式的性质,它是二次根式相关内容的发展,又是后面二次根式的基础,本节起到承上启下的作用。 学生分析 本节内容学生通过自学就能完成,学生自主、合作、交流,教师作为引路人,真正明确本节的内容。学生比较容易掌握。个别学生需进行个性化指导。 设计理念 新课程有效课堂教学明确倡导,学生是学习的主人,在学生自学文本的基础上动手实践、自主探究、合作交流,来倡导新的学习观,让他们完成二次根式性质知识研究。教师从过去知识的传授者转变为学生的自主性、探究性、合作性学习活动的设计者和组织者,与学生零距离接触共同探究。在教学过程中教师设置开放的、面向实际的、富有挑战性的问题情境,使学生在尝试、探索、思考、交流与合作中培养分析、归纳、总结的能力,把“要我学”变成“我要学”,通过开放式命题,尝试从不同角度寻求解决问题的方法,养成良好的学习习惯,掌握学习策略,并根据活动中示范和指导培养学生大胆阐述并讨论观点,说明所获讨论的有效性,并对推论进行评价。从而营造一个接纳的、支持的、宽容的良好氛围进行学习。
二次根式定义及性质
二次根式定义及性质教学内容:
并利用它们进行计算和化简? 2. 重点:—「汕「?厂—,厂—5及其运用. 3. 难点:利用 gx θ(α≥0),(乔「二S0X°), = α?≥0) 解决具体问题 知识点一:二次根式的概念 一般地,我们把形如 丄;(a ≥ 0)?的式子叫做二次根式,“"”称为二次根号. 知识点二:二次根式的性质 1.&≥Q(a≥0); (石)=Λ (d ≥ 0) =IaI= < 3. 2. a (a ≥0) -a (a <0); 4. 积的算术平方根的性质: 5. 商的算术平方根的性质: λj'.∕?, - -Λ J I -■", ' -■; 知识点三:代数式 S 形女口 5, a , a+b , ab ,】,X , & (α≥0) 这些式子,用基本的运算符号 (基本运算包括加、减、乘、 除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式 (algebraic expression). 1.学习目标:理解二次根式的概念, 了解被开方数是非负数的理由; 理解并掌握下列结论: U- ■' ■: ■' 111, 经 典例题透析 类型一:二次根式的概念 例1、下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式: (X > 0)、 1 匚、=、二、U J i(X ≥0, y ≥ °)?
思路点拨:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“ ??厂”;第二,被开方数是正数或 例2、当X 是多少时,,-I 在实数范围内有意义? 思路点拨:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于 0,所以3X -1 ≥0, ? 义. 1 解:由 3X -1 ≥ 0,得:X ≥ j 1 当X ≥ 1时,「丄-在实数范围内有意义. 总结升华:要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数. 举一反三 【变式1】X 是怎样的实数时,下列各式实数范围内有意义? 1 解: (1)由 (M ≥ 0,解得:X 取任意实数 ???当X 取任意实数时,二次根式 ' ■'在实数范围内都有意义 (2)由 x-1 ≥ 0,且 x-1 ≠ 0,解得:X > 1 ?当X > 1时,二次根式■在实数范围内都有意义? 解:二次根式有: 匸、C i(X ≥ 0, y ≥ 0); 才能有意 J?. (X >0)、 不是二次根式的有:
《二次根式和它的性质(1)》导学案
9.1 二次根式和它的性质(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 (一)复习引入: (1)已知x 2 = a ,那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =__________; 正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______; 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)提出问题 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式? 3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么? 4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么? 5、如何确定一个二次根式有无意义? (三)自主学习 自学课本第112页例前的内容,完成下面的问题: 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3,16-,34)0(3≥a a ,12+x 2、计算 : 4
(1) 2)4( (2) (3)2)5.0( (4)2)3 1( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。 3、当a 为正数时指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负 数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式 中,字母a 必须满足 , 才有意义。 (三)合作探究 1、学生自学课本第2页例题后,模仿例题的解答过程合作完成练习 : x 取何值时,下列各二次根式有意义? ①43-x 223 x + ③ 2、(133a a --有意义,则a 的值为___________. (2 在实数范围内有意义,则x 为( ). A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 (四)展示反馈 (学生归纳总结) 1、非负数a 的算术平方根a (a≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点:一是从形式上看,应含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数a 必须是非负数。 2、式子)0(≥a a 的取值是非负数。 (五)精讲点拨 1、二次根式的基本性质(a )2=a 成立的条件是a≥0,利用这个性质可以求二次根式的平方,如(5)2=5;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式,如5=(5)2. 2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值,实际上是解所含字母的不等式。 (六)拓展延伸 2 )3(________)(2=a x --21x -
(完整版)二次根式定义及性质
二次根式定义及性质教学内容: 1.学习目标:理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由;理解并掌握下列结论: , ,,并利用它们进行计算和化简. 2.重点:;,及其运用. 3.难点:利用,,解决具体问题. 知识点一:二次根式的概念 一般地,我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 知识点二:二次根式的性质 1.; 2.; 3.; 4. 积的算术平方根的性质:; 5. 商的算术平方根的性质:. 知识点三:代数式 形如5,a,a+b,ab ,,x3,这些式子,用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式(algebraic expression). 成功在励志成才要得法 1
经典例题透析 类型一:二次根式的概念 例1、下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式: 、、、(x>0)、、、、、(x≥0,y≥0).思路点拨:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0.解:二次根式有:、(x>0)、、、(x≥0,y≥0); 不是二次根式的有:、、、. 例2、当x 是多少时,在实数范围内有意义? 思路点拨:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,?才能有意义. 解:由3x-1≥0,得:x ≥ 当x ≥时,在实数范围内有意义. 总结升华:要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数. 举一反三 【变式1】x 是怎样的实数时,下列各式实数范围内有意义? (1);(2); 解:(1)由≥0,解得:x取任意实数 ∴当x 取任意实数时,二次根式在实数范围内都有意义. (2)由x-1≥0,且x-1≠0,解得:x>1 ∴当x>1时,二次根式在实数范围内都有意义. 成功在励志成才要得法 2
(完整版)1.2二次根式的性质教案
1.2.1 二次根式的性质 教案 教学目标: 1、经历二次根式的性质:()() 02≥=a a a (0)-(0)a a a a a ≥?==? 的发现过程,体验归纳、猜想的思想方法。 2、了解二次根式的上述两个性质。 3、会运用上述两个性质进行有关计算。 重点与难点: 本节教学重点:是理解二次根式的上述两个性质;教学难点:是灵活运用上述两个性质进行有关计算。 教学设想:在教学中首先是进一步梳理和巩固已生成的知识,引入二次根式的性质1与平方根的关系。并从学生熟悉的知识出发先练习、再观察发现总结规律得出性质一。先练习、再观察发现总结规律得出性质二。再通过梳理知识使条理清楚,并及时练习巩固,运用二次根式的两个性质解决基础的运算问题。其间还要求规范书写知道运算程序、强调性质运用的条件,二次根式运算顺序。 教学过程: 1、动动脑筋:(利用教材中的例子)。 你能把一张三边分别为5、5、10的三角形纸片放入4×4方格内,使它的三个顶点都在方格的顶点上吗? 2、利用教材中的填空: ①图1中正方形的边长是_________。(a ) ②参考图2,完成以下填空:2 =______;2 =_________;
2 ? ?=_________。 (将教材中的直观图形[正方形]作适当拓展,启发诱导数形结合思想,目的是从熟悉的知识出发先练习、再观察发现总结规律得出性质一。) 你发现什么规律? 归纳二次根式性质1: 3、巩固新学知识,抢答: 2___=;2____=;2(3)(____=; 2(4)(____-=。 4、合作学习: ____=;3____=____=;5__-=__=;0__=。 ?= 此处的“合作学习”包含着两个过程:一是比较左右两边的式子 a 。二是比较右边的式子,得到绝对值的解答结果。 你发现什么规律?对于学生不能回答回思路不明时,则如下点拨: a 有何关系?当a ≥0_____;和a ﹤0=_____。 归纳二次根式性质2: 5、看谁的正确率高?
二次根式的概念及性质
二次根式 教学目标 1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质,并能熟练地化简含二次根式的式子; 2.熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. 教学重点和难点 重点:含二次根式的式子的混合运算. 难点:综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子. 教学过程设计 一、复习 1.请同学回忆二次根式有哪些基本性质?用式子表示出来,并说明各式成立的条件. 指出:二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的,主要应用于化简二次根式. 2.二次根式的乘法及除法的法则是什么?用式子表示出来. 指出:二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的.把两个二次根式相 除, 计算结果要把分母有理化. 3.在二次根式的化简或计算中,还常用到以下两个二次根式的关系式: 4.在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中,常运用三个可逆的式子:
二、例题 例1 x取什么值时,下列各式在实数范围内有意义: 分析: (1)题是两个二次根式的和,x的取值必须使两个二次根式都有意义; (3)题是两个二次根式的和,x的取值必须使两个二次根式都有意义; (4)题的分子是二次根式,分母是含x的单项式,因此x的取值必须使二次根式有意义,同时使分母的值不等于零.
x≥-2且x≠0. 解因为n2-9≥0,9-n2≥0,且n-3≠0,所以n2=9且n≠3,所以 例3 分析:第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式.把它们分别分解因式后,再利用二次根式的基本性质把式子化简,化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a>0. 解:因为1-a>0,3-a≥0,所以a<1,|a-2|=2-a. (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0.
《二次根式的定义和性质》教学反思
《二次根式的定义和性质》(1)教学反思 1.在实际授课中,通过以下步骤让学生认识、理解、并掌握本节知识:(1)让学生回顾了算术平方根与平方根的概念,并且通过一个思考栏目的四道题,得出二次根式的定义后又复习了算术平方根具有双重非负性;(2)通过练习掌握如何判断一个式子是否是二次根式的条件,并经过例1掌握二次根式在实数范围内有意义的条件;(3)通过练习让学生得出二次根式的两个性质,体会从特殊到一般的思维过程,进而掌握公式的一般推导方法;……,本节课大部分时间都是引导学生边学边做,让学生经历了整个学习过程。 2.在学习过程中,突出了引导学生自己得出结论,特别是二次根式的两个性质,在做完思考题之后,学生自己就初步得出了结论,而且通过其他学生的补充越来越完善。 3. 让学生自己找出性质1和性质2的区别与联系,虽然不够系统和完整,但通过这样的训练,培养了学生总结规律的能力。 4.在实际教学中,仍然存在着对课堂时间把握不精确的问题,出现了前松后紧的现象,以致有深度的练习没时间完成,结束的也比较仓促。在今后教学中,应注意时间的掌控。 5.在引导学生探索求知和互动学习方面还有欠缺。新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习,在我的课堂教学中,对学生探索求知进行了引导,并且鼓励大家自己得出结论,但在互动方面做的还不够,大部分学生都是独立思考,很少与同学合作交流,今后的教学中应多培养学生合作交流的意识,这样有助于他们今后的生活和学习。
二次根式的性质(2)教学反思。 本节课大致出现了以下几种情况: 首先,预习时间不充分,大部分学生是看完了本节内容,但还没来得及思考,不了解的地方也没来得及讨论,就开始讲课,总怕预习费时过多以至于本节任务完不成。 其次,课堂活动时间也不充分,并且学生在思考问题时给予提示过多,以至于学生顺着老师的思路走,没有了自己的思考体系。 最后,课堂小结也因为时间不足,由老师代替学生来总结。这样学生一节课的知识只能零碎的不深刻的装在脑子里。 针对这些情况,我进行了以下反思: 教学任务是否完成不在于课堂上讲了多少,而在于学生学的如何。只要有利于学生积极性的调动和学生发展,固定的教学模式可以打破。也就是不按套路去引领学生走教案,这种走教案的形式看起来课堂紧凑,但却少了一种动态生成,使课堂失去了生命力。所以只要课堂上学生学的活泼、生动,重点知识掌握了,不会的问题解决了,即使设计的教学内容或书上练习没完成,如果学生对某个问题探究的欲望很强烈,教师打破教材上的时间限制,根据了学生的需要进行教学,这仍是一节好课。 (注:文档可能无法思考全面,请浏览后下载,供参考。)
16.1_二次根式及性质练习题
14. 16.1二次根式及性质 1. 16的平方根是 ___________ ,16的算术平方根是 ________ 2. 0 的平方根是 ____________ , V 7表示: _______________________________ 1. 使式子、、L4有意义的条件是 _______________________ 2. 当 __________ 时,2x 有意义。 3. 若_m — 有意义,则m 的取值范围是 。 m 1 ------------------------------ 4. 当x __________ 时,J 1 x 2是二次根式。 5. 在实数范围内分解因式: x 4 9 _____________ , x 2 20 2 ________________ 6. 若 i 4x 2 2x ,贝卩x 的取值范围是 ________________________ 。 7. 已知;x 2 2 2 x ,贝U x 的取值范围是 ____________________________ 。 若2p ap 3,则? 2 a 2 ■ a 3 2 等于(13. 在式子J x x f 1 y 2 , 2x x p 0 , 3 3^ x 2 1,x y 中,二次根式有 ( ) A. 2 个 B. 3 下列各式一定是二次根式的是 个 C. 4 个 D. 5 ) A. ~ B. 3 2m C. ■ a 2 1 D. 15. 0 0 若a b 1与a 12. o 莎盲互为相反数,则a b 2005 8.化简:x 2 2x 1 x p 1的结果是
A. 5 2a B. 1 2a C. 2a 5 D. 2a 1 ★ 16. 若a 1,贝U . 1 a化简后为() A a 1、一a 1 B. 1 a1 a . C . a 1 .1 a D. 1 a、、a 1 17.能使等式成立的x的取值范围是() A. x 2 B. x 0 C. xf 2 D. x 2 ★ 18.计算:?,2a 1 2 1 2a 2的值是() A. 0 B. 4a 2 C. 2 4a D. 2 4a 或4a 2 19.若 >x y y24y 4 0,求xy的值。 ★ 20.已知x2 3x 1 0,求:x2 122 的值
二次根式的概念及性质练习卷[1]
二次根式的概念及性质练习卷 一.判断题(对的打“∨”,错的打“×”) (1 x 的取值范围是x<0 ( ) (2 x 的取值范围是x ≤3 4 ( ) (3)当x=-1 ( ) (4)当a=-4 ( ) (5) 2= —12 ( );(6 —12 ( ) (7) )2= —12 ( );(8)( 2=2×12=1 ( ) 二、填空题: 1 b ≥3) s ≥0) 这种形如a (0≥a )的代数式,叫做_______. 2.当x______ 时,有意义. 3 是二次根式,则x 的取值范围是_______ . 4. (7) 2 =________; (8 +( )2=________. (10 . 5.当x=-2 时,二次根式_______. ( ( ()( ()( ()( 2 2 3 1_____,2______,3_____, 4_____,5____,6____. ======
6.当a 取______ 7.当x 取______ 8.当m=-2 ________. 9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm ,则直角三角形的斜边长是_______ 10、若正方形的面积是(b-3)cm 2,则正方形的边长是_________。 三、选择题: 1.下列各式中,哪一个是二次根式 ( ) A B C D 2 x 的取值范围是( ) A .x ≠-2; B .x ≤1 2且x ≠-2; C .x<12且x ≠-2; D .x ≥12 且x ≠-2 3.下列各式中一定成立的是( ) A B C .( 2 D .13=23 四、求下列二次根式中字母的取值范围: 五、计算:(1 ) -(12) ( )( ) ( ) 123( 4
最新《二次根式的概念及性质》教案资料
第1课时二次根式的概念 教学目标 1理解二次根式的概念. 2?二次根式有意义的判定. 重点难点 重点 二次根式的概念. 难点 利用?.a(a>0)的意义解答具体题目. 教学过程 一、创设情境,导入新课请同学们完成以下两个问题: 1正方形的面积为S,则正方形的边长为_____________ . 2. 一个直角三角形的一条直角边为__________ 1,斜边为2,则另一直角边为. 出示问题,弓I导学生观察和总结式子的特点. 学生计算结果,然后观察总结式子的特点. 二、合作交流,探究新知探究1二次根式的概念 形如a(a> 0)的式子叫做二次根式. 出示问题:.3, ,s(s> 0), .a2+ 1等有什么共同特征,引导学生归纳概念,并让学生判 断逅,{刁,茶,^ 1 —a是不是二次根式. 学生交流、讨论,最后师生共同总结. 探究2 1.—1有算术平方根吗? 2. 0的算术平方根是多少? 3. 当a<0时,a有意义吗? 学生通过思考交流,最后归纳总结:只有非负数才有算术平方根. 三、运用新知,深化理解 例1下列各式中,哪些是二次根式,哪些不是二次根式? (1) 11;(2) . —5; (3) . (—7) 2; (4)释;(5)^J5A1;(6h/3—x(x< 3); (7) . —x(x> 0); (8) (a —1) 2;
(9) —x2—5; (10) (a—b) 2(ab>0). 【分析】要判断一个根式是不是二次根式,一是看根指数是不是2, 二是看被开方数是不是非负数. 解:因为 ",(—7) 2, £—“ 30, 3—x(x w 3), (a—1) 2, (a —b) 2(ab> 0) 中的根指数都是2,且被开方数为非负数,所以都是二次根式.313的根指数不是2, —5,- x (x>0), ■ —x2—5的被开方数小于0,所以不是二次根式. 【方法总结】判断一个式子是不是二次根式,要看所给的式子是否具备以下条件:(1)带 二次根号“厂”;(2)被开方数是非负数. 例2求使下列式子有意义的x的取值范围. 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0且分母不等于0, 列不等式(组)求解. 解:⑴由题意得4—3x>0,解得x v4.当x v4时,丁^=有意义; 3 3寸4—3x 3 —X》0, 3 一x (2) 由题意得解得x< 3且X M 2.当x< 3且X M 2时,有意义; l x—2M 0, x—2 x + 5》0, 一一一―x+ 5 (3) 由题意得f 解得x》一5且X M0?当x》一5且X M 0时,------- 有意义. 如0, x 【方法总结】含二次根式的式子有意义的条件:(1)如果一个式子中含有多个二次根式, 那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数;(2)如果所给式子中含有分母,则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外,还必须保证分母不为零. 例 3 (1)已知a、b 满足?.2a+ 8+ |b—. 3|= 0,解关于x 的方程(a + 2)x+ b2= a— 1 ;