《数据模型决策》复习(作业)题

《数据模型决策》复习(作业)题

《数据模型决策》复习（作业）题

二、分析、建模题

1、（广告策划）一家广告公试司想在电视、广播及杂志做广告，其目的是尽可能多地招徕顾客。下面是市场调查结果：

这家公司希望广告费用不超过800（千元），还要求：（1）至少有二百万妇女收看广告；（2）电视广告费用不超过500（千元）；（3）电视广告白天至少播出3次，最佳时间至少播出2次；（4）通过广播、杂志做的广告各重复5到10次。

试建立该问题的数学模型，并用软件求解。

解：

设变量X1, X 2, X 3, X 4为白天、最佳时间、无线电广播、杂志次数

目标函数maxZ=400 X1+900X2+500 X 3+200 X 4

约束条件s.t

40 X 1+75 X 2+30 X 3+15 X 4≤800

40X1+400X2+200X3+100X4≥800

40X1+75X2≤500

X1≥3

X2≥2

,

X3≥5

X3≤10

X4≥5

X4≤10

X i≥0 i=1,2,3,4

软件求解

2、（指派问题）分配甲、乙、丙、丁四人分别去完成A、B、C、D 四项工作。已知每人完成各项工作

的时间如下表所示。规定每项工作只能由一人去单独完成，每个人最多承担一项工作。如何分配工作，使完成四项工作总的耗时为最少？建立线性规划数学模型（不求解）。

解：

设变量X11,X12,X13,X14为甲参加1，2，3，4工作，X X22,X23,X24为乙参加1，2，3，4工作，

21,

X31,X32,X33,X34为丙参加1，2，3，4工作，X41,X42,X43,X44为丁参加1，2，3，4工作

目标函数maXZ=10X11+5X12+15X13,+20X14 +2X21+10X22+5X23+15X24+

3X31+15X32+14X33+13X34 +15X41+2X42+7X43+6X44

约束条件s.t

X11+X12+X13, +X14=1

X21+X22+X23+X24=1

X31+X32+X33+X34=1

X41+X42+X43+X44=1

X i,j≥0 i=1,2,3,4 j=1,2,3,4

软件求解

3、昼夜运营的公交线路每天各时间区段内所需要

的司机和乘务员人数如下表：

设司机和乘务员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作8小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员。建立该问题的线性规划数学模型，并用软件求解。

解：

设变量X1,X 2,X 3,X 4,X 5,X 6为班次人数

目标函数minZ= X1+X 2+X 3+X 4+X 5+X 6

约束条件s.t

X1+X 6≥60

X 1+X2≥70

X 2+X 3≥60

X 3+X 4≥50

X 4+X 5≥20

X 5+X 6≥30

X i ≥0 i=1,2,3,4,5,6

4、一家百货商场对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？用软件求解。

解：

设X i i=1,2,3,4,5,6，7为星期一至星期天每天所需休息人数，建立数学模型

目标函数： Min X1 + X2 + X3 + X4+ X5+ X6+ X7 约束条件s.t

X1 + X2 + X3 + X4 + X5≥31

X2 + X3 + X4 + X5 + X6≥15

X3 + X4 + X5 + X6 + X7≥24

X4 + X5 + X6 + X7+X1 ≥25

X5 + X6 + X7 + X1 + X2 ≥19

X6 + X7+ X1 + X2 + X3 ≥31

X7+ X1 + X2 + X3 + X4≥28

X i≥0 i=1,2,3,4,5,6，7

5、（投资问题）某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：

项目A：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%，此项投资金额不限。

项目B：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于

次年末回收本利115%，但要求第一年投资最低金额为40万元，第二、三、四年不限；

项目C：第三年初需要投资，到第五年末能回收本利128％，但规定最低投资金额为30万元，最高金额为50万元；

项目D：第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定其投资额或为10万元的整数倍，最高金额为40万元。

据测定每万元每次投资的风险指数如右表：

a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？

b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在280万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？

解：

a）

确定决策变量：连续投资问题

设X i,j≥0 i=1,2,3,4 ,5 j=1,2,3,4 表示第i年初投资于A(j=1), B(j=2), C(j=3), D(j=4)项目金额。建立如下决策变量

约束条件s.t.

第一年A，B项目年未可收回投资，故第一年全部资金投入，有X11+ X12=200

第二年B次年收回投资，故第二年年初资金为 1.06 X11，有X21+ X22+ X24=1.06 X11

第三年年初资金为1.06 X21+1.15 X12，有X31+ X32+ X33=1.06 X21+1.15 X12

第四年年初资金为 1.06 X31+1.15 X22，有X41+ X42 =1.06 X31+1.15 X22

第五年年初资金为 1.06 X41+1.15 X32，有X51=1.06 X41+1.15 X22

B,C,D投资限制：

X12≥40

X33≥30

X33≤50

X24≤40

X24=10y y=1,2,3,4

X i,j≥0 i=1,2,3,4 ,5 j=1,2,3,4

目标函数及模型

MaxZ=1.06 X51+1.15 X42+1.28 X33+1.4 X32

约束条件s.t

X11+ X12=200

X21+ X22+ X24=1.06 X11

X31+ X32+ X33=1.06 X21+1.15 X12

X41+ X42 =1.06 X31+1.15 X22

X51 =1.06 X41+1.15 X22

X12≥40

X33≥30

X33≤50

X24≤40

X24=10y y=1,2,3,4

X i,j≥0 i=1,2,3,4 ,5 j=1,2,3,4

b）

所设变量与问题a)同，目标函数为风险最小，有MinZ= X11+ X21+ X31+ X41+X51+ 2.5(X12+X22+ X32+ X42)+ 4X33+5.5X24

增加约束条件，使得第五年年末拥有资金的本利在280万元，

1.06 X51+1.15 X42+1.28 X33+1.4 X32≥280

目标函数

MinZ= X11+ X21+ X31+ X41+X51+ 2.5(X12+X22+ X32+ X42)+ 4X33+5.5X24

约束条件s.t

X11+ X12=200

X21+ X22+ X24=1.06 X11

X31+ X32+ X33=1.06 X21+1.15 X12

X41+ X42 =1.06 X31+1.15 X22

X51 =1.06 X41+1.15 X22

1.06 X51+1.15 X42+1.28 X33+1.4 X32≥280

X12≥40

X33≥30

X33≤50

X24≤40

X24=10y y=1,2,3,4

X i,j≥0 i=1,2,3,4 ,5 j=1,2,3,4

6、（目标规划）一工艺品厂商手工生产某两种工艺品

A、B，已知生产一件产品A需要耗费人力2工时，生产一件产品B需要耗费人力3工时。A、B产品的单位利润分别为250元和125元。为了最大效率地利用人力资源，确定生产的首要任务是保证人员高负荷生产，要求每周总耗费人力资源不能低于600工时，但也不能超过680工时的极限；次要任务是要求每周的利润超过70000元；在前两个任务的前提下，为了保证库存需要，要求每周产品A和B的产量分别不低于200和120件，因为B产品比A产品更重要，不妨假设B完成最低产量120件的重要性是A完成200件的重要性的1倍。

如何安排生产，并用软件求解。

目标规划中引入偏差变量，其作用是允许约束条件不

被精确满足。

解：本题有3个不同优先权的目标，用P1，P2，P3表示从高到低的优先权。

对应P1有两个目标，每周总耗费人力资源不能低于600工时，但也不能超过680工时的极限；

对应P2，有一个目标，次要任务是要求每周的利润超过70000元；

对应P3有一个目标，为了保证库存需要，要求每周产品A和B的产量分别不低于200和120件

目标线性规划

Min P1(d1+)+P1(d2-)+P2(d3-)+ P3(d4-)+P3(2d5-)

s.t.

2 x1+

3 x2-d1++ d1-=680

2 x1+

3 x2- d2++d2-=600

250 x1+125 x1- d3-+d3+=7000

x1– d4++d4-=200

x2– d5++d5-=120

x1, x2,d1+,d1,d2+,d2-,d3-,d3+,d4+,d4-,d5+,d5-≥0

三、求解题

1、设某商业银行有10亿元资金，其中一部分用于贷

款（L）,贷款利率6%（不易流通），另一部分用于购买证券，证券利率4%（易流通）。银行要求在下列约束下使总盈利最大：

（1）流动投资至少保持在25%；（2）老客户的贷款额至少为8000万元。

建立该问题的数学模型，并用图解法求解。

MaxZ=0.06 x1+0.04x2

s.t.

x1+x2≤10

x1≥0.8

x2≥0.25(x1+x2)

x1,x2≥0

2、表1-表2分别给出了各产地和各销地的产量和销

量，以及相应的单位运价。（1）建立该运输问题的数学模型；（2）试用软件求最优解。

表1

表2

产销量平衡

x ij i=1,2,3 j=1,2,3,4表示从产地i到销地j 则有

产地A1 到销地B1, B2, B3, B4运价为:4 x11+ x12+4 x13+6 x14

产地A2 到销地B1, B2, B3, B4运价为:3 x21+2 x22+5 x23+0 x24

产地A3 到销地B1, B2, B3, B4运价为:1 x31+7 x32+5 x33+1 x34

s.t.

x11+ x12+x13+x14 =8

x21+ x22+x23+x24 =8

x31+ x32+x33+x34=4

x11 + x21 +x31 =6

x12 + x22 + x32 =5

x13 +x23 +x33=6

x14 + x24 + x34=3

x ij≥0 i=1,2,3 j=1,2,3,4

[例题]：在一项关于软塑料管的实用研究中，工程师们想估计软管所承受的

平均压力。他们随机抽取了9个压力读数，样本均值和标准差分别为3.62kg 和0.45。假定压力读数近视服从正态分布，试求总体平均压力的置信度为0.99时的置信区间。 解： 因为，

)1(~--n t n

S X μ

， 所以，αμαα-=??

?

?

??????????-≤-≤--1)1()1(22n t n S X n t P

于是，总体平均压力μ的α-1置信区间为，

??

????-+--

)1(),1(22n t n s x n t n s x αα 由题意知，9=n

，62.3=x ，45.01=-n s ，99.01=-α

3554.3)8()1(005.02

==-t n t α，

代入上式，得总体平均压力μ的99%置信区间为

??

?????+?-3554.3945.062.3,3554.3945.062.3

=[3.12, 4.12]

[例题]：一个银行负责人想知道储户存入两家银行的钱数，他从两家银行各抽取了一个由25个储户组成的随机样本。样本均值如下：第一家4500；第二家3250元。根据以往资料数据可知两个总体服从方差分别为2500和3600的正态分布。试求总体均值之差的置信度为0.95时的置信区间。 解：

因为，

)

1,0(~)

()(2

22

1

21

2121N n n X X σ

σ

μμ+

---，

所以，ασσμμαα-=???

?

?

?????????≤+---≤-1)()(22

2

212121212

z n n X X z P 于是，21μμ-的α-1置信区间为，

()()???

?????++-+--222

121221222121221,n n z x x n n z x x σσσσαα 由题意知，2521==n n ，

45001=x ，3250

2=x ，25002

1=σ，

3600

2

2=σ，95.01=-α

96.1025.02

==z z α，代入上式，得21μμ-的95%置信区间为

[1219.4, 1280.6]

[例题]：某厂生产日光灯管。以往经验表明，灯管使用时间为1600h ，标准差为70h ，在最近生产的灯管中随机抽取了55件进行测试，测得正常使用时间为1520h 。在0.05的显著性水平下，判断新生产的灯管质量是否有显著变化。 解：

1600:=μo H ，1600:≠μa H

在Ho 成立条件下，

)1,0(~N n

X σ

μ

-，

于是，在α显著性水平下，Ho 的拒绝域为，

???

????

???????-≤-???????????????≥-=22αασ

μσμz n x z n x V ，

由题意知，70=σ，55=n ，1520=x ，05.0=α，96.1025.02

==z z α，

因为，

48.855

701600

1520-=-=

-n

x σ

μ

<－1.96，所以拒绝Ho 。

即样本数据表明日光灯管的质量有显著性改变（显著性水平0.05）。 如果问是否显著提高或降低，则需做单侧假设检验。

做单侧检验，1600:≤μo H ，1600:>μa H 检验统计量取值为，

48.855

701600

1520-=-=

-n

x σ

μ

在α显著性水平下，Ho 的拒绝域则为，

ασ

μ

z n

x >-

由题意，显然不能拒绝Ho 。

如果换一个方向做单侧检验，1600:≥μo H ，1600:<μa H 检验统计量取值为，

48.855

701600

1520-=-=

-n

x σ

μ

在α显著性水平下，Ho 的拒绝域变成为，

ασ

μ

z n

x -<-

由题意，拒绝Ho 。即认为质量不比以前好（显著性水平0.05）。 假设检验和区间估计

联系是：二者都属于推断统计——利用样本的数据得到样本统计量（statistic），然后做出对总体参数（parameter）的论断。

区别是：用统计量推断参数时，如果参数未知，则这种推断叫参数估计——用统计量估计未知的参数；如果参数已知（或假设已知），需要利用统计量检验已知的参数是否靠谱，此时的统计推断即为假设检验。

《数据模型与决策》复习题及参考答案

四、简答

1．运筹学的计划法包括的步骤。

答：观察、建立可选择的解、用实验选择最优解、确定实际问题。

2．运筹学分析与解决问题一般要经过哪些步骤?

答：一、观察待决策问题所处的环境二、分析和定义待决策的问题三、拟订模型四、选择输入数据五、求解并验证解的合理性六、实施最优解3．运筹学的数学模型有哪些优缺点?

答：优点：（1）．通过模型可以为所要考虑的问题提供一个参考轮廓，指出不能直接看出的结果。（2）．花节省时间和费用。（3）．模型使人们可以根据过去和现在的信息进行预测，可用于教育训练，训练人们看到他们决策的结果，而不必作出实际的决策。（ 4）．数学模型有能力揭示一个问题的抽象概念，从而能更简明地揭示出问题的本质。（5）．数学模型便于利用计算机处理一个模型的主要变量和因素，并易于了解一个变量对其他变量的影响。模型的缺点（1）．数学模型的缺点之一是模型可能过分简化，因而不能正确反映实际情况。（2）．模型受设计人员的水平的限制，模型无法超越设计人员对问题的理解。（3）．创造模型有时需要付出较高的代价。

4．运筹学的系统特征是什么? 答：运筹学的系统特征可以概括为以下四点：一、用系统的观点研究功能关系二、应用各学科交叉的方法三、采用计划方法四、为进一步研究揭露新问题

5、线性规划数学模型具备哪几个要素？答：（1）.求一组决策变量x

i 或x

ij

的值（i =1，

2，…m j=1，2…n）使目标函数达到极大或极小；（2）.表示约束条件的数学式都是