平面图形直观图地画法

平面图形直观图的画法

先观察下面的图形，总结投影变化规律。

投影规律：

1.平行性不变;但形状、长度、夹

角会改变；

2.平行直线段或同一直线上的两

条线段的比不变

3.在太阳光下，平行于地面

的直线在地面上的投影长不变

表示空间图形的平面图形，叫做

空间图形的直观图

画空间图形的直观图，一般都要

遵守统一的规则，

1．斜二测画法

我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面多边形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．

2．平面图形直观图的画法

斜二测画法的步骤：

(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝_45°(或135°)_，它们确定的平面表示_水平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成_平行

于x′轴或y′轴的线段．

(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变_，_垂直于x轴的线段，长度为原来的_一半_．

注意点：

1．斜二测画法中的“斜”和“二测”分别指什么？

提示：“斜”是指在已知图形的xOy平面内垂直于x轴的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半。

2．圆的斜二测画法，其图形还是圆吗？

提示：不是圆，是一个压扁了的“圆”，即椭圆。

3．立体图形直观图的画法

由于立体图形与平面图形相比多了一个z轴，因此，用斜二测画法画立体图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．平行于x 轴和z轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．

例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图

解：

第一步：在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，对称轴MN 所在的直线为Y轴，两轴交于点O。画相应的X’轴和Y’轴，两轴交于点O’，使∠x’Oy’=45°

第二步：以O’点为中心，在X’上去A’D’=AD，在y’轴上去M’N’=0.5MN。以点N’为中心，话B’C’平行于x’轴，并且等于BC，再以M’为中心，画E’F’平行于X’轴，并且等于EF。

第三步：连接A’B’,C’D’,E’F’,F’A’。

的直观图A’B’C’D’E’F’

总结画法规则：

1、在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z

轴，使∠xoz=900,且∠yoz=900；

2、画直观图时把它们画成对应的x’轴、y’轴和z’轴,它们交于O’,

并使∠x’oy’=450(或1350),∠x’oz’=900, x’轴和y’轴所确定

的平面表示水平平面。

3、已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴、y’轴或z’轴的线段。(即平行性不变）。

4、已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半(即横不变纵折半）。

是为斜二测画法。

平面图形直观图的画法

基本步骤：

（1）建系；

（2）画轴；

（3）作平行线段（横不变纵减半）；

（4）连线；

（5）擦去辅助线（也可保留辅助线）；

课堂检测：

1关于斜二测画法的下列结论：

（1）三角形的直观图还是三角形；

（2）平行四边形的直观图还是平行四边形；

（3）正方形的直观图还是正方形；（

（4）菱形的直观图还是菱形

其中正确的是（）

A（1）（2） B（1）（3） C（3）（4） D（1）（2）（3）（4）2 下列说法中正确的是（）

A水平放置的矩形的直观图可能是梯形

B水平放置的梯形的直观图可能是平行四边形

C水平放置的平行四边形的直观图可能是矩形

D水平放置的菱形的直观图不可能是平行四边形

重要规律：在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点，原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．

对于直观图，除了了解其画图规则外，还要了解原图形面积S与其直

观图面积S′之间的关系S′＝

2

4

S，能进行相关问题的计算．

已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图

△A′B′C′的面积为 ( )

A.

3

4

a2 B.

3

8

a2 C.

6

8

a2 D.

6

16

a2

解析：如图①、②所示的实际图形和直观图．

由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝1

2

OC＝

3

4

a，

在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68

a. ∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616

a 2. 答案：D

将直观图还原为平面图

把一个水平放置的平面图形的直观图，通过逆向思维，逆

用斜二测画法规则可还原为原来的图形．

例题2、如图是一梯形OABC 的直观图，其直观图面积为S ，求梯形OABC 的面积．

【思路点拨】 还原→求原图形的高→求原图形的面积

【解】 设O ′C ′＝h ，则原梯形是一个直角梯形且高为2h .C ′B ′＝CB ，O ′A ′＝OA .

过C ′作C ′D ⊥O ′A ′于D ，则C ′D ＝22

h .

由题意知12

C ′

D (C ′B ′＋O ′A ′)＝S ， 即24

h (C ′B ′＋O ′A ′)＝S .

又原直角梯形面积为

S ′＝12

·2h (CB ＋OA ) ＝h (C ′B ′＋O ′A ′)＝4S 2

＝22S ， 所以梯形OABC 的面积为22S .

注意：由直观图还原为平面图形时，注意平行y ′轴的线段，要变为2倍长度．

如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的

一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝

6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形

是

( )

A ．正方形

B ．矩形

C ．菱形

D ．一般的平行四边形

解析：将直观图还原得?OABC ，则

∵O ′D ′＝2O ′C ′＝22(cm )，

OD ＝2O ′D ′＝42(cm )，

C ′

D ′＝O ′C ′＝2(cm )，∴CD ＝

2(cm )，

OC ＝CD 2＋OD 2＝22422＝6(cm )，

OA ＝O ′A ′＝6 (cm )＝OC ，

故原图形为菱形．

答案：C

立体图形直观图的画法

斜二测画法的步骤：

（1）在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于o 点．画直观图时，把它画成对应的x ′轴、y ′轴，使

，它确定的平面表示水平平面。

（2）已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴或y ′轴的线段．

（3）已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不 变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．

例：用斜二测画法画长,宽,高分别是

4cm,3cm,2cm 的长方体ABCD-A ’B ’C ’D ’的直观图

解：

第一步：画轴。画x 轴，y 轴，z 轴，三轴交

于点O ，使得∠xOy=45°，∠xOz=90°

第二步：画底面。以O 为中心，在x 轴上取

线段MN ，使得MN=4cm ，在y 轴上取线段PQ ，

使得PQ=1.5cm ；分别国电M.N 作y 轴的平

行线，过点P,Q 作x 轴的平行线，作出平行

四边形ABCD

()

x Oy =45135''∠

或

第三步：画侧棱，过点A,B,C,D,分别作z轴

的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长

的线段AA’,BB’,CC’,DD’。

第四步：成图，连接A’,B’,C’,D’去掉辅

助线，即可画出直观图

总结基本步骤：

（1）画轴；

（2）画底面；

（3）画侧棱；

（4）成图；

总结：

斜二测画法的规则；关键是“平行性不变；横不变纵折半”。