模拟低通滤波器设计

模拟低通滤波器设计

模拟低通滤波器指标：

由参数A p 、A s 、Ωs （阻带截止频率），和Ωp(通带截止频率)给出 (Ωs=2πfs Ωp=2πfp ) 设计目标：确定滤波器阶次N 和截止频率Ωc 。 要求： （1） 在 Ω=Ωp ，-10lg|H a(j Ω)|2=A p, 或

（2） 在Ω=Ωs ，-10lg|H a(j Ω)|2=A s,

或

解出N ：

（N 四舍五入）

为了在Ωp 精确地满足指标要求， 要求：

或者在Ωs 精确地满足指标要求，要求：

巴特沃斯滤波器的设计:

巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数定义为

式中，N 为正整数，代表滤波器的阶数。 注：

巴特沃斯低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特性。随着Ω由0增大，|H a(j Ω)|2单调减小，N 越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄。 在幅度平方函数式中代入Ω=s/j, 可得

H a(s )H a(-s )的极点为 k =1, 2, …, 2N

??

??????ΩΩ+-=N c p p A 2)/(11

lg 10?

?????ΩΩ+-=N c s s A 2)/(11

lg 10[

]???

?

??

??ΩΩ--=)/lg(2)

110/()110(lg 10/10/s p A A s

p

N c ΩΩ=

c

ΩΩ=N

c a j H 22

)/(11|)(|ΩΩ+=ΩN

c a

a j s s H s H 211)()(???

? ??Ω

+=-π??

????-+Ω=Ω-=N k j

c c N k e

j s 2122121

)()1

(

为形成稳定的滤波器，H a(s )H a(-s )的2N 个极点中只取S 左半平面的N 个极点为H a(s )的极点，而右半平面的N 个极点构成H a(-s )的极点。 H a(s )的表示式为

【例 1】 设计一个模拟低通巴特沃斯滤波器，指标如下：

(1) 通带截止频率：Ωp=0.2π；通带最大衰减：A p=7 dB 。 (2) 阻带截止频率：Ωs=0.3π；阻带最小衰减：A s=16dB 。 解：

由Ωp ，得 ：

由Ωs ，得：

在上面两个Ωc 之间选Ωc=0.5。

最后可得（级联型） ：

【例 2】导出三阶（N =3）巴特沃斯模拟低通滤波器的系统函数。 设Ωc ＝2 rad/s 。 【解】 幅度平方函数是

令Ω2=-s 2即s =j Ω，则有

各极点: k =1, 2, …, 6

由s 1, s 2, s 3三个极点构成的系统函数为 :

∏=-Ω=N k k

N

c

a s

s s H 1

)

()(??3

79.2)3.0/2.0lg(2)]110/()110lg[(6.17.0==???

???--=ππN 4985.01

10

2.06

7

.0=-=π

c Q 5122

.01

10

3.06

6

.1=-=π

c Q )

25.05.0)(5.0(125

.0)(2

+++=s s s s H a 6

2

)

2/(11

|)(|Ω+=

Ωj H )

2/(11

)()(6

6s s H s H a a -=-π???

???-+=612212k j k e

s 3

12223

12312223123

160

53

543

4323

21j e

s e s j e s j e s e s j e

s j j j j j j +====-==--==-==+-==ππππ

π3

1233

2

()()()()8

1488

c a H s s s s s s s s s c Ω=

---=

+++

切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的设计：

切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅度平方函数为：

( )

式中，ε为小于1的正数，它是表示通带波纹大小的一个参数， ε越大，波纹也越大。Ωc 为通带截止频率，也是滤波器的某一衰减分贝处的通带宽度（这一分贝数不一定是3dB 。也就是说， 在切比雪夫滤波器中，Ωc 不一定是 3 dB 的带宽）。CN (x )是N 阶切比雪夫多项式，定义为 |x |≤1(通带) |x |>1(阻带)

4 脉冲响应不变法

【例 】 设模拟滤波器的系统函数为

利用脉冲响应不变法将H a(s )转换成H (z )。

【解】 直接得到数字滤波器的系统函数为

设T =1，则有

模拟滤波器的频率响应H a(j Ω) 为:

数字滤波器的频率响应H (ej ω)为: )/(11|)(|2

22

c N a C j H ΩΩ+=Ωε???

?

?=)arccos cosh()arccos cos()(hx N x N x C N 11010

/2-=p A ε2

2

11()41

3

3

a H s s s s s =

=-

++++131

1

331

2

14()

()111()T

T

T

T

T

T

T

T T Tz e e

H z z e

z e

z e

e z e

-------------=

-

=

---++1

1

2

0.3181 ()10.4177 0.01831 z

H z z

z

---=

-+2

2

()()34a a s j H j H s j =ΩΩ==-Ω+Ω

（）20.3181()()10.41770.01831j j j j j z e e H e H z e e

ωω

ω

ωω

---===-+

脉冲响应不变法基本原理

其中：

模拟滤波器的数字化

由脉冲响应不变法的变换原理将H a(s )直接转换为数字滤波器H (z )。

假设：模拟滤波器的系统函数H a(s )只有单阶极点，且假定分母的阶次于分子的阶次，则：

Ha(s)---- 采样：

Z 变换：

为使滤波器增益不随T 变化，令：

则有:

此时:

【例 】设计一个数字低通滤波器， 指标如下：

【解】首先将数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标，即：

???=+=ω

Ω

σj re z j s ()()

()()

()

a a Z a H s h t h nT h n H z ?????→????→=???→拉普拉斯逆变换

等间隔采样

变换

11

2()()sT

a s a z e

k k H z H s jk H s j k T

T T π∞

∞

==-∞

=-∞?

?=-Ω=

- ???∑

∑???Ω==?T

e r T

ωσ1

()N

k k

a k H s s A s ==

-∑

∑=-==N

k t

s k

a a t u e

A s H F t h k 11

)

()]([)(1

1

()()()()()

k k N

N

s nT

s T

n

a k k k k h n h nT A e

u n A e

u n ====

=∑

∑10

1

11

1

1

()()()()1k k k N

s T

n

n

k n n k N

N

s T

n

k k k k

n s T

H z h n z

A e

z A e

e

z

A z ∞

∞

--=-∞==∞

--====

=

==

-∑

∑∑

∑

∑∑()()

a h n Th nT =1

1()1k

k

s N

k T T H e z A z -==-∑()2a j a k H e

H j H j k T T j T ω

ωπω∞

=-∞

??=

-≈ ???

???

??∑p s 0.2 1dB

0.35 10dB

p s ωπαωπα====

其中T 为采样周期。这里假设T=1。

代码如下： T=1;

%采样周期

Wp=0.2*pi/T ; Rp=1;

Ws=0.35*pi/T ;

Rs=10;

[N,Wc] = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's');

[B,A]=butter(N, Wc, ‘s’); % 求H a(s ) [Bz,Az] = impinvar(B,A,1/T); % 求H (z )

[c,b,a]=dir2par(Bz,Az) % 由直接型转化为并联型 结果为：

c = 0

b = 0.7719 -0.0680 -0.7719 0.2398

a = 1.0000 -0.8774 0.2136 1.0000 -1.0410 0.5276

双线性变换法

例题：设计巴特沃斯低通数字滤波器，其技术指标如下：

【解】：考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：

这里，假设 T=1s 。 （1）确定参数

p s 0.2rad/s 1dB 0.35rad/s 10dB

p

p s

s R T

T R T

T

ωπωπΩ===Ω=

=

=0.2 p rad ωπ=0.3 s rad ωπ= 1 dB

p A =15 dB s A =20.65 /2p

p tg rad s T ωΩ==2

1.019 /2

s

s tg

rad s

T ωΩ=

= 1 dB

p A =15 dB

s A =/10/10lg (101)/(101) 5.306

2lg(/)p s A A p s N ??

??--????=

=??ΩΩ??

取： （2） 求出极点（左半平面）

（3） 构造系统函数

（4）将 变换成数字滤波器：

6

N

=0.7662/c rad s

Ω=

121221,2,...,6

k j

N k c s e

k π-??+????

=Ω=6

6

1

()()c

a k k H s s s =Ω=-∏

()a

H s 1

1

2111

2

1

2

1

2

()()

1

1

(1 1.2680.7051)(1 1.0100.358)

1

(10.90440.2155)

a z s T z H z H s z

z z z z

z ---=?

+------==?

-+-+?

-+