浅析特征函数、母函数的概念教学及其应用

浅析特征函数、母函数的概念教学及其应用

申广君

（安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241003）

[摘 要] 正确认识和理解基本概念是学好概率论的前提和基础。本文浅析了对特征函数、母函数的概念的认识和理解，并举例说明了它们在解决问题中的应用。 ［关键词 特征函数 母函数 应用

［中图分类号］O174 ［文献标识码］A 概率论是研究随机现象统计规律的一门数学分科，用随机变量来描述随机现象，使得概率论从研究定性的事件及其概率扩大为研究定量的随机变量及其分布，从而扩充了研究概率论的数学工具，特别是便于使用经典分析工具，使得概率论真正成为一门数学学科。分布函数是用来完整地描述随机变量分布规律（取值及取值规律）的最基本的方法，特征函数是概率论中的一个重要分析工具，它和分布函数之间存在一一对应的关系，可以使用特征函数来分析研究随机变量，并且可以大大简化有关随机变量的一些计算和证明，然而在研究仅取非负整数值的随机变量时，以母函数代替特征函数比较方便。可是在教学过程中发现，不少学生对特征函数和母函数的概念没有正确认识，甚至出现一些错误的认识和理解，从而导致计算的盲目性。本文主要探讨了对特征函数与母函数的概念的认识和理解，并通过实例介绍了它们的一些应用，以期对学习概率论能起到一定的指导作用。 一、特征函数

（一）特征函数的定义及性质

设X 是一个实值随机变量，其分布函数为)(x F ，则称itX

e

的数学期望itX

Ee

为随机变

量X 或其分布函数)(x F 的特征函数，记为)(t X ?，即)()(x dF e Ee

t itX itX

X ?+∞∞

-==?，其

中1-=i ， R t ∈。

分析 按照定义，特征函数是一个实变量的复值函数。由于对任意实数R t ∈，都有

1)(sin )(cos ||22=+=tX tX e itX ，所以任何随机变量的特征函数总是存在的。并且它能把

寻求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算，还能把求分布的各阶原点矩（积分运算）转换成微分运算，特别地它能把寻求随机变量序列的极限分布转换成一般的函数极限问题。下面介绍特征函数的主要性质 性质1 如果随机变量n X X X ,...,,21相互独立，则有∏==∑

=n

i X X t t i n

i i

1

)()(1

??

。

分析 特征函数的这一性质在证明随机变量列的极限问题时将发挥重要作用，然而这一性质的逆不成立。在教学中我们举如下例子来说明逆不成立，以此来加深学生对此性质的理解。

例1设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为

??

???<<-+=.,01||,1||)],(1[41

),(22其他；

y x y x xy y x p ，

可以证明Y X +的特征函数等于Y X ,的特征函数的乘积，但是X 与Y 并不相互独立。 性质2 如果随机变量X 有n 阶（原点）矩，则它的特征函数可微分n 次，并且有

n k i EX k X k k ,...,2,1),0()()

(=-=? 成立。

分析 性质2表明，如果已知随机变量的特征函数，且其矩存在，则可以通过对特征函数微分来求得随机变量的矩，这比由分布函数通过积分求矩要简单的多。 （二）特征函数的应用举例

1求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算

在概率论中，独立随机变量和的问题占有“中心”地位，用卷积公式去处理独立随机变量和的问题是常用的方法但相当复杂，然而可以很方便的运用特征函数相乘求得独立随机变量和的特征函数，由此大大简化了处理独立随机变量和的难度。

例2 设随机变量j X 服从二项分布),(p n B j ， j=1,…,m, 且相互独立，求证∑=m

j j

X

1

服

从二项分布),(

1

p n B m

j j ∑=。

分析 可以使用卷积公式通过复杂的计算证明二项分布的上述可加性（例如，参见文献[1]）, 现在用特征函数方法可以很方便地证明二项分布的可加性。

证明 因为j X 服从二项分布),(p n B j ，它的特征函数为

.,...,2,1,)()(m j q pe t j

j

n it

X =+=? 由于m X X ,...,1相互独立，所以，根据性质1有∑=m

j j

X 1

的特征函数为∑+==∑==∏=m

j j

j m

j j

n it

m

j X X q pe t t 1

1

)

()()(1

??

，由唯一性定理知

∑=m

j j

X

1

服从二项分

布),(

1

p n B m

j j ∑=。

2.求分布的各阶原点矩（积分运算）转换成微分运算

例3 利用特征函数的方法求伽玛分布Ga （λα,）的数学期望和方差。

解 因为伽玛分布Ga （λα,）的特征函数及其一、二阶导数为αλ

?--=)1()(it

t ，

;)0(,)1()(/1/λα?λλα?αi

it i t =-=--

;)1()0(,)1()1()(2

//222//

λ

αα?λλαα?α+-=-+=--it i t 所以，根据性质2有 λ

α?=

=

i

EX )

0(/，22

///))0(()0(λα??=+-=DX .

3.求随机变量序列的极限分布转换成一般的函数极限问题

例4 （辛钦大数定律）]2[ 设,...2,1,=n X n 是独立同分布的随机变量列。如果n X 的数学期望存在，a EX n =（与n 无关），则对任意的0>ε，有

1)|1(|lim 1

=<-∑=∞→εn

k k n a X n P 。 证明 由于1)|1(|lim 1=<-∑=∞→εn k k n a X n P 等价于∑==n

k k n X n Y 1

1以分布收敛于a 。再

根据连续性定理，只要证 )()(∞→→n e t iat

Y n ?。设)1(≥n X n 的共同的特征函数为

)(t ?。根据性质2，ia iEX ==1/)0(?，从而 )(t ?有泰勒展开式

)(1)()0()0()(/

t o iat t o t t ++=++=???。所以∑==n k k n X n Y 1

1的特征函数为

n n n t o n iat n t )](1[)]([++=?。故有iat n n e n

t =∞→)]([lim ?，即)()(∞→→n e t iat Y n ?。

二、 母函数

1 母函数的概念及其性质

]

3[

设随机变量X 的分布列为,...)2,1,0)((===k k X P p k ，其中

10

=∑∞

=k k

p

，称

∑∞

===0

)(k k k X

s p Es s P 为随机变量X 的母函数。

性质3 非负整数值随机变量的分布列由其母函数唯一确定。 性质4 独立随机变量之和的母函数等于它们母函数的乘积。 2. 母函数的应用举例

例5 从装有号码为1，2，3，4，5，6的小球的袋中，有放回地抽取5个球，求所得号码总和为15的概率。

解 令i X 为第i 次取得的小球的号码，且i X 相互独立，521...X X X X +++=为所取球号码的总和。

i X 的母函数为 )...(6

1

)(62s s s s P i +++=

，根据性质4有，X 的母函数为556555625)1()1(6

)...(61)(---=+++=s s s s s s s P ，所求概率为)(s P 展开式的15

s 的

系数，因此56

651

)15(==X P 。

分析 针对上述古典概型问题，很多教科书都使用排列、组合的方法来求解，计算比较复杂，而且在有些复杂场合排列、组合的方法难以凑效。从例5的求解中可以看到，利用母函数求取非负整数值随机变量的概率问题比较简便。关于利用母函数方法求解古典概率问题，读者可参见文献[4],[5]等。

[参考文献]

[1]茆诗松，程依明，濮晓龙. 概率论与数理统计教程[M]. 北京：高等教育出版社，2004.

[2]丁万鼎，刘寿喜 等. 概率论与数理统计[M]. 上海：上海科学技术出版社，1987. [3]王志刚. 应用随机过程[M]. 合肥：中国科学技术大学出版社，2009. [4]朱松涛，唐秋晶. 利用母函数方法求解古典概率问题[J]. 济宁师专学报, 1997(3): 13-15.

[5]农吉夫. 概率母函数在求非负整数值随机变量分布的应用[J].大学数学, 2009(4):203-206.