画图的一些算法

https://www.360docs.net/doc/7212884060.html,/cugFirst/computer_graphics/class/course

一生成直线的DDA算法

数值微分法即DDA法(Digital Differential Analyzer)，是一种基于直线的微分方程来生成直线的方法。

1直线DDA算法描述

设(x1，y1)和(x2，y2)分别为所求直线的起点和终点坐标，由直线的微分方程得：

可通过计算由x方向的增量△x引起y的改变来生成直线，也可通过计算由y方向的增量△y 引起x的改变来生成直线：

2直线DDA算法思想

选定x2－x1和y2－y1中较大者作为步进方向(假设x2－x1较大)，取该方向上的增量为一个象素单位(△x=1)，然后利用式(2－1)计算另一个方向的增量(△y=△x·m=m)。通过递推公式(2－2)至(2－5)，把每次计算出的(x i+1，y i+1)经取整后送到显示器输出，则得到扫描转换后的直线。之所以取x2－x1和y2－y1中较大者作为步进方向，是考虑沿着线段分布的象素应均匀，这在下图中可看出。

另外，算法实现中还应注意直线的生成方向，以决定Δx及Δy是取正值还是负值。

3直线DDA算法实现

1、已知直线的两端点坐标：(x1，y1)，(x2，y2)

2、已知画线的颜色：color

3、计算两个方向的变化量：dx=x2－x1 dy=y2－y1

4、求出两个方向最大变化量的绝对值：steps=max(|dx|，|dy|)

5、计算两个方向的增量(考虑了生成方向)：xin=dx/steps yin=dy/steps

6、设置初始象素坐标：x=x1,y=y1

7、用循环实现直线的绘制：

for(i=1；i<=steps；i++)

{

putpixel(x，y，color)；/*在(x，y)处，以color色画点*/

x=x+xin；

y=y+yin

}

4直线DDA算法特点

该算法简单，实现容易，但由于在循环中涉及实型数的运算，因此生成直线的速度较慢。5直线DDA算法程序

#include

void DDALine(int x1, int y1, int x2, int y2, int color)

{

float increx，increy,x,y;

int steps,i;

if(abs(x2－x1)>abs(y2－y1))

steps= abs(x2－x1);

else

steps= abs(y2－y1);

increx=(float)(x2－x1)/steps;

increy=(float)(y2－y1)/steps;

x=x1;

y=y1;

for(i=1;i<=steps;i++)

{

putpixel(x，y，color); //在(x，y)处，以color色画点

x+=increx;

y+=increy;

}

}

二生成直线的Bresenham算法

从上面介绍的DDA算法可以看到，由于在循环中涉及实型数据的加减运算，因此直线的生成速度较慢。在生成直线的算法中，Bresenham算法是最有效的算法之一。Bresenham 算法是一种基于误差判别式来生成直线的方法。

1 直线Bresenham算法描述

它也是采用递推步进的办法，令每次最大变化方向的坐标步进一个象素，同时另一个方向的坐标依据误差判别式的符号来决定是否也要步进一个象素。

我们首先讨论m=△y/△x，当0≤m≤1且x1

有两种Bresenham算法思想，它们各自从不同角度介绍了Bresenham算法思想，得出的误差判别式都是一样的！

2直线Bresenham算法思想：

由于象素坐标的整数性，数学点(x i，y i)与所取象素点(x i，y ir)间会引起误差(εi)，当x i列上已用象素坐标(x i，y ir)表示直线上的点(x i，y i)，下一直线点B(x i+1，y i+1)，是取象素点C(x i+1，y ir)，还是D(x i＋1，y(i+1)r)呢？设A为CD边的中点，正确的选择：若B点在A点上方，选择D点；否则，选C点。

用误差式描述为：

ε(xi+1)=BC-AC=(y(i+1)-yir)-0.5 (2－8')

求递推公式：

ε(x(i+2))=(y(i+2)-y(i+1)r)-0.5 = y(i+1)+m-y(i+1)r-0.5 (2－9') 当ε(xi+1)≥0时，选D点，y(i+1)r = yir+1

ε(x(i+2))= y(i+1)+m-yir-1-0.5=ε(x(i+1))+m-1 (2－10') 当ε(xi+1)﹤0时，选C点，y(i+1)r = yir

ε(x(i+2))= y(i+1)+m－yir-0.5=ε(x(i+1))+m (2－11') 初始时：

ε(x(s+1))=BC-AC=m-0.5 (2－12')

为了运算中不含实型数，同时不影响不等式的判断，将方程两边同乘一正整数。

令方程两边同乘2·Δx，即d=2·Δx·ε，则：

初始时：

d = 2·Δy-Δx(2－13')

递推式：

当d≥0时：{ d=d+2·(Δy－Δx)；

(2－14')

y++；

x++；

}

否则：{ d=d+2·Δy；

x++；}

3 直线Bresenham算法实现

条件：0≤m≤1且x1

1、输入线段的两个端点坐标和画线颜色：x1，y1，x2，y2，color；

2、设置象素坐标初值：x=x1，y=y1；

3、设置初始误差判别值：p=2·Δy-Δx；

4、分别计算：Δx=x2-x1、Δy=y2-y1；

5、循环实现直线的生成：

for(x=x1；x<=x2；x++)

{ putpixel(x,y,color) ；

if(p>=0)

{ y=y+1；

p=p+2·(Δy-Δx)；

}

else

{ p=p+2·Δy；

}

}

4 直线Bresenham算法完善

现在我们修正(2-16)公式，以适应对任何方向及任何斜率线段的绘制。如下图所示，线段的方向可分为八种，从原点出发射向八个区。由线段按图中所示的区域位置可决定xi+1和yi+1的变换规律。

容易证明：当线段处于①、④、⑧、⑤区时，以|△x|和|△y|代替前面公式中的△x和△y，当线段处于②、③、⑥、⑦区时，将公式中的|△x|和|△y|对换，则上述两公式仍有效。

6直线Bresenham算法特点

由于程序中不含实型数运算，因此速度快、效率高，是一种有效的画线算法。

7 直线Bresenham算法程序

三 圆的生成

这里仅讨论圆心位于坐标原点的圆的扫描转换算法，对于圆心不在原点的圆，可先用平移变换，将它的圆心平移到原点，然后进行扫描转换，最后再平移到原来的位置。

有几种较容易的方法可以得到圆的扫描转换，但是效率都不高。例如：直角坐标法和极坐标法：

1、直角坐标法

圆的直角坐标方程为 x2+y2=R2 若取x 作为自变量，解出y ，得到

(2－17)

我们可以先扫描转换四分之一的圆周。让自变量x 从0到R 以单位步长增加，在每一步时可解出y ，然后调用画点函数即可逐点画出圆。但这样做，由于有乘方和平方根运算，并且都是浮点运算，算法效率不高。而且当x 接近R 值时(圆心在原点)，在圆周上的点（R ，0）附近，由于圆的斜率趋于无穷大，使得圆周上有较大的间隙。 2、极坐标法

假设圆周上一点P （x ，y ）处的半径与x 轴的夹角为θ，则圆的极坐标方程为

x=Rcosθ y=Rsinθ

(2－18)

利用下面将要介绍的圆周上点的对称性，那么自变量θ的取值范围就是(0，45°)。这个方法涉及三角函数计算和乘法运算，计算量较大。因此，也不是一种有效的方法。

3．1 圆的八分对称性

圆心位于原点的圆有四条对称轴x=0、y=0、x=y和x=－y，见下图。从而若已知圆弧上一点P(x，y)，就可以得到其关于四条对称轴的七个对称点，这种性质称为八分对称性。因此只要能画出八分之一的圆弧，就可以利用对称性的原理得到整个圆弧。下面的函数CirclePoints()用来显示P(x，y)及其七个对称点。

void CirclePoints(x,y,color)

int x,y,color;

{

putpixel(x,y,color);

putpixel(x,－y,color);

putpixel(－x,y,color);

putpixel(－x,－y,color);

putpixel(y,x,color);

putpixel(y,－x,color);

putpixel(－y,x,color);

putpixel(－y,－x,color);

}

圆的八分对称性

注意：

当圆心不在原点时，只须在putpixel()函数中加上平移量x0、y0（圆心坐标）即可。

例如

当x0=300，y0=200时，则：

…

putpixel(x0+x，y0+y，color)；

putpixel(x0+x，y0-y，color)；

putpixel(x0-x，y0+y，color)；

putpixel(x0-x，y0-y，color)；

putpixel(x0+y，y0+x，color)；

putpixel(x0+y，y0-x，color)；

putpixel(x0-y，y0+x，color)；

putpixel(x0-y，y0-x，color)；

…

3．2 中点算法生成圆

中点画圆算法在一个方向上取单位间隔，在另一个方向的取值由两种可能取值的中点离圆的远近而定。实际处理中，用决策变量的符号来确定象素点的选择，因此算法效率较高。

一、中点画圆算法描述

设要显示圆的圆心在原点(0，0)，半径为R，起点在(0，R)处，终点在(，)处，顺时针生成八分之一圆，利用对称性扫描转换全部圆。

为了应用中点画圆法，我们定义一个圆函数

任何点(x，y)的相对位置可由圆函数的符号来检测：

F(x，

y)

<0点(x，y)位于数学圆内

=0点(x，y)位于数学圆上

>0点(x，y)位于数学圆外

(2－20)

如下图所示，图中有两条圆弧A和B，假定当前取点为Pi(xi，yi)，如果顺时针生成圆，那么下一点只能取正右方的点E(x(i+1)，yi)或右下方的点SE(x(i+1)，y(i-1))两者之一。

中点画线算法

假设M是E和SE 的中点，即，则：

1、当F(M)<0时，M在圆内(圆弧A)，这说明点E距离圆更近，取点E为下一象素点；

2、当F(M)>0时，M在圆外(圆弧B)，表明SE点离圆更近，应取SE点；

3、当F(M)=0时，在E点与SE点之中随便取一个即可，我们约定取SE点。

二、中点画圆算法思想

因此，我们用中点M的圆函数作为决策变量di，同时用增量法来迭代计算下一个中点M的决策变量di+1。

(2－21)

下面分两种情况来讨论在迭代计算中决策变量d(i+1)的推导。

1、见图（a），若di<0，则选择E 点，接着下一个中点就是，这时新的决策变量为：

(2－

22)

（a）(di<0) 中点画线算法

式(2－22)减去(2－21)得：

d(i+1)=di+2xi+3 (2－23)

2、见图（b），若di≥0，则选择SE 点，接着下一个中点就是，这

时新的决策变量为：

(2－24)

（b）(di≥0) 中点画线算法

式(2－24)减去(2－21)得：

d(i+1)=di+2(xi-yi)+5 (2－25)

我们利用递推迭代计算这八分之一圆弧上的每个点，每次迭代需要两步处理：

（1）用前一次迭代算出的决策变量的符号来决定本次选择的点。

（2）对本次选择的点，重新递推计算得出新的决策变量的值。

剩下的问题是计算初始决策变量d0，如下图所示。对于初始点(0，R)，顺时针生成八分之一圆，下一个中点M的坐标是，所以：

(2－26)

生成圆的初始条件和圆的生成方向

三、中点画圆算法实现

1、输入：圆半径r、圆心(x0，y0)；

2、确定初值：x=0，y=r、d=5/4-r；

3、While(x<=y)

{

·利用八分对称性，用规定的颜色color画八个象素点(x，y)；

·若d≥0

{

y=y-1；

d=d+2(x-y)+5)；

}

否则

d=d+2x+3；

·x=x+1；

}

四、中点画圆算法完善

在上述算法中，使用了浮点数来表示决策变量d 。为了简化算法，摆脱浮点数，在算法中全部使用整数，我们使用e=d-1/4代替d 。显然，初值d=5/4-r 对应于e=1-r 。决策变量d<0对应于e<-1/4。算法中其它与d 有关的式子可把d 直接换成e 。又由于e 的初值为整数，且在运算过程中的迭代值也是整数，故e 始终是整数，所以e<-1/4等价于e<0。因此，可以写出完全用整数实现的中点画圆算法。

要求：写出用整数实现的中点画圆算法程序，并上机调试，观看运行结果。

2.2.3 正负算法生成圆

正负法是利用平面曲线将平面划分成正负区域，对当前点产生的圆函数进行符号判别，利用负反馈调整以决定下一个点的产生来直接生成圆弧。 一、正负画圆算法描述

设要显示圆的圆心在原点(0，0)，半径为R ，初始点的坐标为(0，

R)，顺时针生成八分之一圆，令：F(x ，y)=x2+y2-R2 则圆的方程为：

F(x ，y)=0

(2-27)

当点(x ，y)在圆内时，则F(x ，y)<0； 当点(x ，y)在圆外时，则F(x ，y)>0； 当点(x ，y)在圆上时，则F(x ，y)=0； 二、正负画圆算法思想

现以下图的AB 弧为例，来说明正负画圆法(顺时针生成圆)。

假设当前点为Pi(xi，yi)，取下一个点Pi+1(xi+1，yi+1)的原则是：

1、当F(xi，yi)≤0时：取xi+1= xi+1，yi+1= yi。即向右走一步，从圆内走向圆外。对应图(a)中的从Pi到Pi+1。

2、当F(xi，yi)>0时：取xi+1= xi，yi+1= yi-1。即向下走一步，从圆外走向圆内。对应图(b)中的从Pi到Pi+1。

由于向圆内或向圆外走取决于F(xi，yi)的正负，因此称为正负法。

下面分两种情况求出F(xi，yi)的递推公式：

(1) 当F(xi，yi)≤0时，向右走，取xi+1=xi+1，yi+1=yi，则

F(xi+1，yi+1) =F(xi+1，yi)

=(xi+1)2+yi2-R2

(2-28)

=(xi2+yi2-R2)+2xi+1

= F(xi，yi)+2xi+1

(2) 当F(xi，yi)>0时，向下走，取xi+1=xi，yi+1=yi-1，则

F(xi+1，yi+1) =F(xi，yi-1)

=xi2+(yi-1)2-R2

(2-29)

=(xi2+yi2-R2)-2yi+1

= F(xi，yi)-2yi+1

初始时，x=0，y=R，故

F(0，R)=(02+R2)-R2=0 (2-30)

公式(2-28)、(2-29)和(2-30)就构成正负画圆算法的核心。

给象素坐标(x，y)及F赋初始值后，进入循环画点；

画点后，根据F的符号进行F值的递推和下一个点的获取，直到x>y为止。

同前面介绍的一样，利用圆的八分对称性，循环一次，画八个点。

三、正负画圆算法实现

注意：初值不同、圆的生成方向不同时，当前点和下一个点的获取原则是不同的，见下图。

例如，初始点(R，0)，逆时针生成圆，从图（b）可知：

若当前点Pi在圆内，则下一点Pi+1(xi，yi+1)，即向上走一步；

若当前点Pi在圆外，则下一点Pi+1(xi-1，yi)，即向左走一步；

(a) 顺时针生成圆(b) 逆时针生成圆

五、正负画圆算法特点

物理意义清楚，程序中只含整数运算，因此算法速度快。