高级中学数学抽象函数常见题型及解法教案设计.doc

高中数学抽象函数常见题型及解法教案设

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抽象函数常见题型及解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题是函数内容的难点之一,其性质常常是隐而不漏,但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，对函数性质通过代数表述给出.抽象函数的相关题目往往是在知识网络的交汇处设计,高考对抽象函数的要求是考查函数的概念和知识的内涵及外延的掌握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能.为了扩大读者的视野,特就抽象函数常见题型及解法评析如下.

一、函数的基本概念问题

1.抽象函数的定义域问题

例１已知函数)(2x f 的定义域是[1,2],求)（x f 的定义域．

解：由）（2x f 的定义域是[1，２],是指1≤x ≤2，所以１≤x2≤４,

即函数）(x f 的定义域是[1，4].

评析：一般地，已知函数[（）]f x ?的定义域是A ，求)（ｘf 的定义域问题,相当于已知［（)]f ｘ?中ｘ的取值范围为Ａ,据此求)(ｘ?的值域问题．

例2 已知函数）(x f 的定义域是［-1,２],求函数)]3(［log 2

1x f -的定义域．解:由）(xｆ的定义域是[-1，2],意思是凡被f作用的对象都在[-1，２]中，由此易得

－1≤log２1(3-x)≤2 ?(

2

1）2≤3-ｘ≤(21)1-?１≤x ≤411．∴函数）]3([log21x f -的定义域是［1，4

1１]. 评析:这类问题的一般形式是:已知函数)（x f 的定义域是A ，求函数）)(（x f?的定义域．正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键.一般地，若函数)（x ｆ的定义域是Ａ,则x必须是A中的元素，而不能是A 以外的元素，否则,)(xｆ无意义．因此,如果)(0x f 有意义，则必有x ０∈A ．所以,这类问题实

质上相当于已知)(ｘ?的值域是A ,据此求x 的取值范围,即由）(x ?∈A 建立不等式,解出x 的范围．例2和例1形式上正相反.

2.抽象函数的值域问题

例４设函数f (x) 定义于实数集上,对于任意实数x 、y，f(ｘ+ ｙ）

＝f （x）f （ｙ)总成立，且存在x 1≠x 2，使得f（ｘ１)≠ｆ( ｘ2）,求函数f（x)

解:令x =y=０，得f(0)=ｆ2(0)，即有f （0）＝0或f(0)=1．若f （0) = 0,则f(x）=ｆ(x + ０) =f （x)f

(0) = 0,对任意ｘ∈Ｒ均成立,这与存在实数x 1≠x 2,使得f(x

1)≠f (x2)成立矛盾.故ｆ（0)≠0,即

ｆ（0) = 1.

由于f (x + y)=f(x)ｆ(ｙ)对任意x、y ∈R均成立，因此,对任意x∈R ，有

f (ｘ）=f（2x +2x ) =ｆ(２ｘ)f （2x) = [f （2

x)]2≥０．下面只需证明,对任意ｘ∈R ,f (0)≠0即可．

设存在x0∈R ,使得ｆ( x 0）= 0，则ｆ(0) =f (x 0－x０)＝f ( x 0）ｆ(-x０) =0，

这与ｆ(0)≠0矛盾，因此,对任意ｘ∈R，ｆ（x）≠０.

所以f （x)>０.

评析：在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的赋值,这是一般向特殊转化的必要手段．

3．抽象函数的解析式问题

例５设对满足ｘ≠0，x ≠１的所有实数x，函数f (x)满足f (x)

x １-)＝１+x，求ｆ(ｘ)的解析式. 解：在f (x) +f (x x 1-) =1＋x ，(1) 中以x

x 1－代换其中x,得：

f (x x 1-) +f (－1

1-ｘ) ＝x x-12，⑵再在(1)中以－11-x 代换x ，得：ｆ(-11－x ) +f（x)＝１

2－-ｘx,⑶(1)－(2）+ ⑶化简得：f(x)＝）

1(2１23ｘ-x xｘ-－．评析:如果把x 和x

ｘ1-分别看作两个变量,怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键.通常情况下,给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”,进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略.

二、寻觅特殊函数模型问题

1.指数函数模型

例６设）(x f 定义于实数集R 上，当x ＞０时，)（x f ＞1,且对于任意实数x 、y ，有f （ｘ+y) =）(x f ·)(y f，同时ｆ（1)= ２，解不等式f (3x -x2）>4．

联想：因为a y x+＝ a x ·a ｙ(a >0,a ≠１),因而猜测它的模型函数为)(ｘ f = a x(a ＞０，a ≠１)（由f (1) =2,还可以猜想)（x f ＝２x).

思路分析:由）2（f=)1１(+ｆ＝)1(f·)１(f=4，需解不等式化为 f （3ｘ－ｘ2)＞）2（f ．这样,证明函数)（x ｆ的(由）(x f = 2x ，只证明单调递增)成了解题的突破口．

解:由f（x+y）=f(ｘ) ·f （ｙ)中取x =y= 0,得f (0）=ｆ２(０)，若f (0) = ０,令x ＞0，ｙ＝０，则f (x）=0，与ｆ(x)>1矛盾．∴ｆ(0)≠0，即有f (0) = 1 .

当ｘ＞０时,f (ｘ)＞1>0 ,当x <0 时，-x >0，f(－ｘ)＞1>0, 而f(x) ·f (－ｘ）=f (0）= 1，

∴f (x)=

)

(1x f -＞０.

又当x =0 时，f (0）=1>０，∴x ∈R ,ｆ(ｘ)>0 ．

设-∞０，f （x 2－x 1）>1.

∴ f （x2)=f [ x １＋（x 2－x1)] =ｆ(x 1)f ( x 2-x 1)>f(ｘ1）．

∴y =f（x) 在R 上为增函数

又∵f (1) = ２,∴f(３x -x 2)>ｆ（１) ·f (1) =f (1 ＋１）=ｆ(２）,由f (x)的单调递增性质可得：

3ｘ－x 2＞2,解得1

２.对数函数模型

例7 已知函数)(ｘf 满足:⑴f(2

１) =１；⑵函数的值域是[－1，1];⑶在其定义域上单调递减；⑷()f ｘ＋()ｆy =f （x·y) 对于任意正实数x 、y 都成立.解不等式)(1ｘf -·）1１(1x

ｆ-－≤2１. 联想：因为lo

g a （x ·ｙ) = ｌog ａx ＋lｏg ａy ，而log ２１２1＝１，y= lｏg 2

１x在其定义域［－１,１]内为减函数,所以猜测它的模型函数为)(x f = ｌog２1x且）

(1x f

-的模型函数为)（1ｘf -=(2

1)x . 思路分析:由条件⑵、⑶知,)(xｆ的反函数存在且在定义域[－1，1]上递减,由⑴知)1(１-ｆ=2１.剩下的只需由)(1x f -的模型函数性质和运算法则去证明)(11xｆ-·)（21x f －=１１2（)f x x -＋，问题就能解决了．

解:由已知条件⑵、⑶知，f （x)的反函数存在，且ｆ

1－（1）=21，又在定义域[－1，1]上单调递减.

设y 1=f １-(x1)，y ２=f １-(x 2),则有ｘ1=f（y １)，

x 2＝f ( y2)，

∴x 1＋x 2＝ｆ(y 1) +ｆ( y ２）＝f（ｙ１y 2),即有y1y２=f

１－（x1＋x 2）．

∴）(1１x f -·）(21ｘf －=1１2（)f x ｘ-＋,

于是，原不等式等价于:

???????????≤-≤-≤≤-≤-+≤-≤-+--.１111,1１，11１１,)１（）１１（１１x x x x f ｘx ｆ??????

??????≤-≤-≤≤－≤-+≤-≥-＋.１111，11，１111,1１1ｘx x x x x ?x = 0. 故原不等式的解集为｛0｝．

解这类问题可以通过化抽象为具体的方法,即通过联想、分析，然后进行类比猜测，经过带有非逻辑思维成份的推理，即可寻觅出它的函数模型,由这些函数模型的性质、法则来探索此类问题的解题思路.

３．幂函数模型

例8 已知函数)(x f 对任意实数x、ｙ都有)(xy f=)(x f ·）(y f ，且)１(－f =１，)27(ｆ=9,当０≤ｘ<１时,0≤）(x f <1时.

⑴判断)(ｘf 的奇偶性；

⑵判断）(x f 在［0，+∞）上的单调性,并给出证明；

⑶若a ≥0且)1(+ａf ≤39,求a 的取值范围.

联想:因为n x ·n ｙ=

(x ·y）ｎ，因而猜测它的模型函数为)(xｆ=n x （由)27(ｆ=9,还可以猜想)(ｘ f = x 32)．

思路分析:由题设可知）(x f 是幂函数y = x 32的抽象函数,从而可猜想）(x f 是偶函数,且在[0，＋∞)上是增函数.

解：⑴令y =-1，则)(x f -=)(xｆ·）1(-f ，

∵)1(-ｆ=1，∴)(x f －=）（x f ,即）(x ｆ为偶函数．

⑵若x ≥0,则()ｆｘ

=f

＝ｆ

·f

=[ｆ]2≥0.

设0≤x１<ｘ2,则0≤2

1x x ＜1，

摘

要

高中学生的创新能力是贯穿于整个数学教学活动中的，要善于引导学生进行发现问题,分析问题,解决问题，并能够总结问题,从而在此基础上,培养学生的数学创新能力,为终身的学习打下良好的基础。本文重点论述了高中数学创新能力与高中数学教学,主要从以下四个方面着手：教师要更新教学观念；教师要在教学活动中突出对学生的创新能力培养;教师应当创造一个活泼轻松的教学环境;教师应充分保护学生的学习兴趣和创新兴趣。?

关键词

高中数学

创新能力

教学观念

教学环境??

高中学生的数学创新能力贯穿于高中整个数学教学过程之中，在数学教学过程中,教师应注重培养学生的创新能力，使学生能够独立的分析问题，思考问题,解决问题并能够延伸问题，达到举一反三的目的。教师不仅仅要传授给学生知识,更重要的是要培养学生的创新能力,而数学创新能力的培养有利于学生养成良好的数学思维品质和严密的思维逻辑能力。

首先教师要更新教学观念。??

高中数学是一门极灵活的学科,而不只是几个概念,原理和公式而已。高中数学教师应当更新教育观念，教师既不是传授知识的机器，学生也不是被动接受知识的容纳器。教师要从教学的“指挥者”转向“引导者”，由重教学的“结论”转向教学的“过程”，由重教师“教”转向重学生“学”。教师在教学过程中，应当引导学生逐步的发现问题,分析问题，解决问题,并启发学生的思维,让学生通过一个问题能够发现其中的规律并加以总结归纳。

?

在教学过程中，教师要树立师生平等、民主的观念。美国纽约道尔顿学校的校长理查德.

布卢姆索联系中国和美国学校教育的实际指出，在美国的学校里,教师是在学生圈子中的，甚至在课堂上你分辨不出哪个是老师;而在中国,老师常常是站在全班学生的面前，成为学生门的中心。而在美国,大多数教师总是鼓励学生提出问题,共同研究,解决问题，假如把老师问倒了,老师非但不会不高兴,反而会表扬这个学生,这样一来，学生受到鼓励,学习上更加自主，学习效果更加良好。我们可以吸取国外好的教学方式,先进的教学观念，因此对老师来说,建立一种民主化的观念是非常重要的;老师甚至也要向学生学习，从学生身上吸取智慧力量。??

其次教师要在教学活动中突出对学生的创新能力培养。??

中学阶段是青少年成长的关键时期，学生心理和生理发育趋

于成熟,具有一定的独立思考能力与判断能力,思想活跃,接纳信息量大,求知欲强,可塑性较大,为培养创新能力提供了心理和生理基础，因此,在高中数学教学中要突出对学生的创新能力的培养,活跃学生的思维，这样一来，能够有效地提高学生的学习效率。

?

努力提高学生的自学能力是创新能力培养的基础。自学是一种重要的学习方式，人的一生毕竟是有限的，能够得到教师指导的阶段更是有限的，许多知识必须靠学生自学,积极思考，主动学习,才能够获得新的知识。所以教师应当倡导学生自学，并给予一定的指导,提高学生的自学能力和创新能力,让学生在自学中发现问题,并能够自主解决。在发现问题的过程中，教师还应当引导学生进行逆向思考，传统的思维定势有时候并不能有效的解决问题，可如果换个角度或从对立面来看,可能就可以获得解决的方案。因此，教师还应当培养学生逆向思维的能力，引导学生打破传统的、固定的思维的束缚，从不同的角度深入探索和挖掘问题的本质，得出正确的答案。

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