《数学分析选讲》教学大纲

《数学分析选讲》课程教学大纲

一、《分析选讲》课程说明

课程代码：0741123110

课程英文名称：Selective Lectures of Mathematic Analysis

开课对象：数学与应用数学本科生

课程的性质：考试

学时：72

数学分析选讲是数学与应用数学专业重要的选修课,它是学生进一步学习分析数学的分支和科学研究必不可少的专业基础知识, 同时也可使其他理科专业学生进一步了解微积分学知识，是报考对数学要求较高的硕士学位研究生同学的必修课程。

本课程的前导课程为数学分析。

教学目的：

通过本课程的教学，使学生系统拓展和加深数学分析中的基本技能、基本思想和方法,主要培养学生分析论证问题的能力、抽象思维能力和科学研究的初步能力.

教学内容：

本课程主要系统拓展和加深学习极限理论, 实数的连续性, 微分中值定理的及其应用, 常数项级数和广义积分,与“一致性”有关的几个概念及判别法, 多元函数微分学,多元函数积分学，两个极限过程的换序这八个核心内容。

教学时数

教学时数：７2学时

学分数：学分

教学方式

课堂讲授,课外习作及批改. 考核方式和成绩记载说明 考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。

二、讲授大纲与各章的基本要求

第一章 函数与极限

教学要点：

本章主要研究内容为函数性质的确定；通过实例总结求数列与函数极限的方法，以及如何确定极限的存在性等。

教学时数：8学时。 教学内容： 第一节 函数

1.1 求函数的定义域与值域

1.2 由已知函数关系求函数)(x f 的表达式

1.3 确定函数的性质 1.4 函数方程

第二节 极限

2.1 极限的概念 2.2 求极限的方法

2.3 确定极限存在性的方法 考核要求：

通过本章的学习，学生应能理解函数的定义，准确地确定函数的性质；熟练掌握极限的概念及耱极限的各种常用方法；掌握判断极限存在性的常用方法。

第二章 实数的连续性

教学要点：

本章主要研究

教学时数：4学时。

教学内容：

本章主要内容为对实数的基本定理——七大定理（确界存在定理、单调有界定理、闭区间套定理、Weierstress定理、Cauchy收敛原理、有限覆盖定理、聚点定理）的内容加以复习及没证明过的定理给予补充证明，及给出例子加以说明它们的应用，同时本章介绍连续性的证明，连续性的应用，一致连续的判别等方面的内容。

第一节实数基本定理

第二节连续函数在闭区间上的性质

2.1 基本性质

2.2 介值性与连续性

2.3 判别一致连续的方法

考核要求：

通过本章的学习，学习者要理解实数的基本定理及其应用，掌握连续，一致连续概念及性质，掌握连续性的应用及一致连续的证明。

第三章微分中值定理及其应用

教学要点：

本章主要研究Roll中值定理、Langrange中值定理、Cauchy中值定理在实际问题中的应用；给出了导数的两大特性；讨论了带Langrange余项与带Peano余项的Gaylor公式在解题中的若干应用。

教学时数：8学时。

教学内容：

第一节微分中值定理的应用

1.1Roll定理

1.2Langrange定理

1.3导数的两大特性

1.4Cauchy中值定理

第二节泰勒中值定理的应用

2.1证明中值公式

2.2用Taylor公式证明不等式

2.3关于界的估计

2.4中值点的极限

2.5求无穷远处的极限

考核要求：

本章要求掌握Roll中值定理、Langrange中值定理、Cauchy中值定理在实际问题中的应用；了解利用Taylor公式证明中值公式，掌握利用Taylor公式证明不等式，掌握利用Taylor公式进行界的估计；掌握中值点的极限求法，了解求无穷远处的极限方法。

第四章常数项级数和广义积分

教学要点：

本章主要复习常数项级数的收敛的定义及其敛散性判别法，以及无穷级数的求和法；研究广义积分敛散性的判别及其求值。用有一定难度的修例子来加深这些方面的训练，使得学

生能够更好地掌握这一章内容。

教学时数：20学时。

教学内容：

第1节常数项级数的收敛判别法

1.1一般级数的收敛判别法

1.2正项级数收敛判别法

1.3任意级数收敛性的判别法

第2节无穷级数的求和法

2.1作为部分和的极限

2.2逐项微分与逐项积分法

2.3Abel方法

2.4利用微分方程的方法

2.5利用Eulor常数

2.6作为两级数的乘积

第3节广义积分的敛散性判别法

3.1根据定义判别广义积分的收敛性

3.2广义积分收敛的充要条件

3.3广义积分敛散性的比较判别法

3.4Abel判别法和Dirichlet判别法

第4节广义积分的求值法

4.1利用广义积分的定义

4.2化为已知的广义积分

4.3利用换序性

考核要求：

熟练掌握常用的判别常数项级数敛散性的判别法；能熟练地求无穷级数的和；掌握判别广义积分敛散性的常用判别法；能求具有一定难度的广义积分的和。

第五章与“一致性”有关的几个概念及判别法

教学要点：

本章主要研究函数项级数、函数列一致收敛的概念及其敛散性判别法；讨论含参变量的广义积分的一致收敛性判别法。

教学时数：4学时。

教学内容：

第一节函数项级数一致收敛及判别法

1.1一致收敛的概念

1.2判别函数项级数一致收敛或非一致收敛的常用方法

第二节含参变量的广义积分的一致收敛性

2.1M-判别法

2.2Abel判别法

2.3Dirichlet判别法

考核要求：

准确理解函数项级数收敛和一致收敛的概念；熟练掌握函数项级数的一致收敛的判别法；熟练应用判别含参变量的广义积分敛散性的三大方法。

第六章多元函数微分法

教学要点：

本章主要研究求二元函数的极限的方法，二元函数的连续性的证明及应用；偏导数的计算及可微、不可微的证明；求极值、最值的方法。

教学时数：8学时。

教学内容：

第一节多元函数的极限与连续

1.1求重极限的方法

1.2多元函数的连续性与一元函数连续性的关系

第二节偏导数与全微分

2.1偏导数与全微分的关系

2.2求偏导数的方法

2.3求极大(小)值和最大(小)值的方法,

考核要求：

通过本章的学习，准确理解二元函数极限、连续的定义、及偏导数、全微分的定义。掌握二元函数极限的计算方法；掌握二元函数连续性的证明及应用；掌握二元函数偏导数的计算及可微、不可微的证明。

第七章多元函数积分法

教学要点：

本章主要研究二重积分、三重积分的计算；第一类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲线积分、第二类曲面积分的计算；格林公式、高斯公式、斯托克司公式的应用。

教学时数：12学时。

教学内容：

第一节重积分

1.1重积分的可积性

1.2二重积分的计算方法

1.3二重积分的应用

1.4三重积分的计算方法与应用

第二节曲线积分和曲面积分

2.1曲线积分的计算方法与技巧

2.2曲面积分的计算方法与技巧

考核要求：

通过本章的学习，掌握二重积分、三重积分的计算；掌握第一类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲线积分、第二类曲面积分的计算；掌握格林公式、高斯公式、斯托克司公式的应用。

第八章两个极限过程的换序

教学要点：

本章主要研究与函数项级数有关的换序问题（包括求和与极限的换序、求和与积分的换序、求和与求导的换序）；与积分有关的换序问题；两个极限运算的换序问题；两个求导运算的换序问题。

教学时数：8学时。

教学内容：

第一节与函数项级数有关的换序问题

第二节与积分有关的换序问题

2.1积分号下取极限

2.2两个积分运算的换序

2.3积分与微分运算的换序

第三节两个求极限运算的换序及两个求导运算的换序

考核要求：

了解求和与极限、积分的换序，掌握求和与求导的换序；掌握积分号下取极限，了解两个积分运算的换序，掌握积分与微分运算的换序；了解两个求极限、两个求导运算的换充。

三、推荐教材和参考书目

1、《数学分析讲义》，陈纪修、於崇华、金路编，高等教育出版社，1999年。

2、《数学分析解题方法600例》，李世金、赵洁编，东北师范大学出版社，1992年。

3、《数学分析选讲》，刘三阳、于力、李广民编，科学出版社2007年。