《三角形中边角关系,命题与证明》全章复习与巩固--知识讲解(提高)

《三角形中边角关系，命题与证明》

全章复习与巩固—知识讲解（提高）

撰稿：张晓新责编：孙景艳

【学习目标】

1．理解并会应用三角形三边关系定理；了解三角形中三条重要的线段并能正确的作图；能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算及证明问题；

2.了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法；

3.理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，证明的基本过程，并能判断命题的真假，掌握直接证明的格式.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、三角形的定义及分类

1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．

要点诠释：

（1）三角形的基本元素：

①三角形的边：即组成三角形的线段；

②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；

③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.

（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.

(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．

2．三角形的分类

(1)按角分类：

?

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直角三角形

三角形　锐角三角形

斜三角形　

钝角三角形

要点诠释：

①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;

②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.

(2)按边分类：

要点诠释：

①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;

②等边三角形：三边都相等的三角形.

要点二、三角形的三边关系

定理：三角形任意两边的和大于第三边.

推论：三角形任意两边的的差小于第三边.

要点诠释：

（1）理论依据：两点之间线段最短.

（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．

（3）证明线段之间的不等关系.

要点三、三角形的高、中线与角平分线

1、三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．

三角形的高的数学语言：

如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.

注意：AD 是ΔABC 的高?∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)； 要点诠释：

（1）三角形的高是线段；

（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高：

(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；

(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2、三角形的中线

三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言：

如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝

2

1

BC.

要点诠释：

（1）三角形的中线是线段；

(2)三角形三条中线全在三角形内部；

(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.

3、三角形的角平分线

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

三角形的角平分线的数学语言：

如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.

注意：AD 是ΔABC 的角平分线?∠BAD＝∠DAC＝2

1

∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 要点诠释：

（1）三角形的角平分线是线段；

（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；

（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；

（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.

要点四、命题、定理及证明

1.命题与逆命题

判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.

要点诠释：

（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题；

（2）每一个命题都可以写成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分；

（3）所有的命题都有逆命题.原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.

2.定理与逆定理

如果一个命题是真命题（正确的命题），那就可以称它为定理.如果一个定理的逆命题也是真命题，那就称它为原定理的逆定理.

要点诠释：

一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理.

3.证明

从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．

证明几何命题时，表述格式一般如下：

（1）按题意画出图形；

（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；

（3）在“证明”中写出推理过程.

要点诠释：

在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线. 【典型例题】

类型一、三角形的有关概念和性质

1.如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，?且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）

A．150° B．130° C．120° D．100°

【思路点拨】本题主要考查对三角形的高的性质、互余和互补角的性质以及小学学过的常识性的问题------三角形的内角和是180°等知识.

【答案与解析】

解:∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，

∴∠AEB=∠CDB=90°，

∵∠A=?50°，∴∠ABE=40°，

∴∠B PD=180°-∠CDB-∠ABE=180°-90°-40°=50°，?

∴∠BPC=180°-∠BPD=180°-50°=130°．

【总结升华】本题虽然是选择题型，它重点考查运用三角形的高的性质、互余、互补角的性质等知识，通过简单的推理计算来解决问题．

举一反三

【变式】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°

【答案】D.提示：锐角三角形的高都在三角形的内部，钝角三角形的高有两条在三角形的外部，应进行分类讨论．

类型二、三角形的内角和

2.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD

＝30°，则∠C的度数是多少?

【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．

【答案与解析】

解：分两种情况讨论：

（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，

∵ BD是AC边上的高(已知)，

∴∠ADB＝90°(垂直定义)．

又∵∠ABD＝30°(已知)，

∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．

又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，

∴∠ABC+∠C＝120°，

又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．

(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，

∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．

∴∠BAC＝120°．

又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，

∴∠ABC+∠C＝60°．

∴∠C＝30°．

综上，∠C的度数为60°或30°．

【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节． 举一反三

【变式】已知：如图，在ΔABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高，

BD 、CE 相交于H ，则∠BHC 的度数为 .

【答案】135°.

类型三、三角形的三边关系及分类

3.已知三角形的三边长分别是3，8，x ,若x 的值为偶

数，则x 的值有 ( )．

A ．6个

B ．5个

C ．4个

D ．3个 【答案】D ；

【解析】x 的取值范围：511x <<，又x 为偶数， 所以x 的值可以是6, 8, 10，故x 的值有3个.

【总结升华】不要忽略“x 为偶数”这一条件.

举一反三

【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成 个不同的三角形.

当x 为 时，所组成的三角形周长最大.

【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2

因为x 为整数，故x 可取6，7，8；当x=8时，组成的三角形周长最大为11).

4.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．

(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?

(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?

【答案与解析】

解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，

在△ABE中，AB+AE＞BE；

在△EOC中，OE+EC＞OC，

两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．

由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．

所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．

(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．

又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．

【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．

5.在△ABC中，∠A+∠B=∠C，∠B=2∠A，

（1）求∠A、∠B、∠C的度数；

（2）△ABC按角分类，属于什么三角形？

【思路点拨】根据三角形的内角和定理列方程组，直接求∠A、∠B、∠C的度数即可；有角的度数再根据三角形按角分类正确给与分类即可.

【答案与解析】

解：（1）根据题意得

【总结升华】几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）求解的方法叫做方程的思想；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．

举一反三

【变式】一个三角形的三个角的度数比是1：2：3，这个三角形中最小的一个角是度，按角分类，这个三角形是三角形．

【答案】30；直角.

类型四、三角形的重要线段

6. 如图13，△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE

平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，

求∠FCD的度数.

【思路点拨】由图可知∠CDF是Rt△CDF的一个内角，求∠CDF可先求出∠FCD，△CDB为直角三角形，所以可以求出∠BCD，而∠FCD=∠BCE－∠BCD.

【答案与解析】

在△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，由三角形的内角和定理得：

∠BCA=180°-72°-40°=68°

又CE平分∠ACB，

∴∠BCE=∠BCA=34°，

在中，CD⊥AB于D，∠B = 72°

∴∠BCD= 90°- 72°= 18°

∴∠FCD=∠BCE－∠BCD=34°-18°=16°.

即∠FCD =16°.

【总结升华】这是三角形内角和定理在直角三角形中的应用，直角三角形两个锐角互余，所以在直角三角形中，已知一个锐角的大小，就可以求出另一个锐角的度数.

举一反三

【变式】如图14，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．

【答案】∠DAE=35°