专题卷概率统计答案

专题卷：概率与统计

1、某印刷厂的打印机每5年需淘汰一批旧打印机并购买新机，买新机时，同时购买墨盒，每台新机随机购买第一盒墨150元，优惠0元；再每多买一盒墨都要在原优惠基础上多优惠一元，即第一盒墨没有优惠，第二盒墨优惠一元，第三盒墨优惠2元，……，依此类推，每台新机最多可随新机购买25盒墨．平时购买墨盒按零售每盒200元． 公司根据以往的记录，十台打印机正常工作五年消耗墨盒数如下表：

以这十台打印机消耗墨盒数的频率代替一台打印机消耗墨盒数发生的概率，记ξ表示两台打印机5年消耗的墨盒数．

(1)求ξ的分布列；

(2)若在购买两台新机时，每台机随机购买23盒墨，求这两台打印机正常使用五年在消耗墨盒上所需费用的期望． 解：(1)50,49,48,47,46,45,44=ξ

由题设可知，一台打印机在5年内消耗墨盒数为22，23，24，25的概率分别为10

1

,52,52,101， 且每台打印机消耗墨盒数发生的事件是相互独立事件。因此

111122(44),(45)2101010010525

12226112217

(46)2,(47)22105552510105550

12226212

(48)2,(49)2105552551025111

(50)1010100p p p p p p p ξξξξξξξ==

?===??===??+?===??+??=

==??+?===??=

==?=

故ξ的分布列为

(2) 记y 表示在题设条件下，购买2台新机使用五年在消耗墨盒上所需的费用 （单位：元）

若在购买两台新机时，每台机随机购买23盒墨，则需付款

2223150462230163942??

??-??+?= ???

则()()1

26176639463942006394220010025255025Ey ??=?++++?++??

???

()()21

6394320063944200661425100

++??

++??=

2、某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1,2,3,4,5的五批疫苗，供全市所辖的,,A B C 三个区市民注射，每个区均能从中任选其中一个批号的疫苗接种. （1）求三个区注射的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；

（2）记,,A B C 三个区选择的疫苗批号的中位数为X ，求 X 的分布列及期望. 试题解析：

(1) P ( 三个区注射的疫苗批号恰好两个区相同)= 222

5323

12

525

C C A ??=. (2) 设三个区选择的疫苗批号的中位数为X 所有可能取值为1,2,3,4,5.

()()

2213

33333314141331

1,251255125

C C C A P X P X +?+?+?======，

()()2113213322333333

14143731

3,451255125

C C C A C C A P X P X +?+??+?+?======， ()2331413

55125

C P X +?===.

所以 X 的分布列：

即X 的期望： 1331373113123453125125125125125

EX =?

+?+?+?+?=.

3、已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒DNA 来确定是否感染.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止.方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA ，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒DNA ，则在另外一组中逐个进行化验.

（1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率.

（2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要体验费多少元？ 解：（1）方案乙所需化验恰好为2次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒DNA ，再从另一组中

任取一个样品进行化验，则恰含有病毒DNA 的概率为6

1

113363

5=?C C C ，第二种，先化验一组，结果病毒，再从中

逐个化验，恰第一个样品含含有病毒的概率为6

1

1133625=?C C C ，所以依据方案乙所需化验恰好为2次的概率为

3

16161=+。

（2）设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能的取值为1,2,3,4,5,对应的化验费用为η元,则

()()11106P P ξη====

， ()()511218656P P ξη====?=， ()()54113246546P P ξη====??=， ()()54311

43065436P P ξη====???=，

()()54321

53665433

P P ξη====???=

则其化验费用η的分布列为

所以11111771018243036666633E η=?+?+?+?+?=（元）.所以甲方案平均需要化验费773

元

4、2017年4月1日，国家在河北省白洋淀以北的雄县、容城、安新3县设立雄安新区，这是继深圳经济特区和上海浦东新区之后又一具有全国意义的新区，是千年大计、国家大事。多家央企为了配合国家战略支持雄安新区建设，纷纷申请在新区建立分公司.若规定每家央企只能在雄县、容城、安新3个片区中的一个片区设立分公司，且申请其中任一个片区设立分公司都是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司.向雄安新区申请建立分公司的任意4家央企中，

(1)求恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率；

(2)用X 表示这4家央企中在“雄县”片区建立分公司的个数，用Y 表示在“容城”或“安新”片区建立分公司的个数，记ξ＝|X －Y |，求ξ的分布列.

解：(1)法一 依题意，每家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为13，去另外两个片区建立分公司的概率为2

3

，

这4家央企恰有2家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为

P ＝C 2

4

2

2

3

113

1）（）（-＝827

. 法二 所有可能的申请方式有34种，恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的方式C 2

4·22种，从而恰有2家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为：P ＝C 24·2

2

34

＝827

. (2)由独立重复试验概率得：P (X ＝k )＝C k

4

k

k

--43

113

1）（）（(k ＝0，1，2，3，4)， 随机变量ξ的所有可能取值为0，2，4.

P (ξ＝0)＝P (X ＝2)＝827，P (ξ＝2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (X ＝0)＋P (X ＝4)＝17

81.

所以随机变量ξ的分布列为：

5、襄阳农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：

襄阳农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.

（1）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；

（2）若选取的是12月1日与12月5日这两组数据，情根据12月2日至12月4日的数据，求y 关于x 的线性回

归方程???y

bx a =+； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过1颗，则认为得到的线性回归方程是

可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？

注： ()()()

11

2

22

11

?n

n

i i i

i

i i n

n

i i

i i x y nx y x x y y b

x n x x x ====-?-?-==

-?-∑∑∑∑， ??a y b x =-?.

试题解析：（1）恰好是不相邻的2天数据的概率是2

543

15

C -

=. （2）由数据得：

3

1

1126133212261014i i

i x y

==?+?+?=∑；

()1111312123x =

++=， ()1

263226283

y =++=， 3312281008x y ?=??=； ∴ 1n

i i i x y nx y =-?=∑ 3

131014100828i i i x y x y =-?=-=∑，

3

2

2221

111312434i

i x

==++=∑，

22

3312432x =?=； ∴ 3

2

2

221

1

3n

i

i i i x n x x x ==-?=-?=∑∑ 4344322-=，

∴ 122

1?n

i i i n

i i x y nx y b

x n x ==-?=-?∑∑

3

132

2

1

36323i i

i i i x y x y x x

==-??===-?∑∑；

28?28?31a

y bx =-=-?=-.故y 关于x 的线性回归方程38y x =-. （3）当10x =时， 38310822?y

x =-=?-=， 22231-≤； 当8x =时， 383?8816y

x =-=?-=， 16161-≤，故得到的线性回归方程是可靠的.

6、某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()y g 与尺寸()x mm 之间近似满足关系式b y ax =（,a b 为大于0的常数），现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：

（1）根据所给数据，求y 关于x 的回归方程；

（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间,

97e e ??

???

内时为优等品，现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望.

附：对于一组数据()()()1122,,,,...,n n v v v μμμ，其回归直线v μαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为

122

1

,,???n

i i i n i i v nv v v nv μμβαμβ==∑-?==-∑-.

试题解析：（1）对(,0)b y ax a b =>，两边取自然对数得ln ln ln y b x a =+，令

ln ,ln i i i i v x u y ==，

得ln u bv a =+， 1

2

22

124.618.3

75.36,0.271660.54224.6101.4?66n

i i i n

i i v u nvu

b

v nv ==-?

?∑-====??

∑--? ?

??， 18.3124.6ln 16?6?2a u bv =-=-?=，得?a

e =，故所求回归方程为12

y ex =. （2）由

12

12

,97y ex e e e x x x ??

==∈ ???

，解得4981,58,68,78x x <<=，即优等品有3件.

所以， ()199130123202020202

E ξ=?

+?+?+?=

7、人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人的听力在0～25 dB (分贝)之间，并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图如图：

(1)现从听力测试值为(0,10]的同学中任意抽取4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望；

(2)在(1)中抽取的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发声情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4.测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1234,,,,a a a a (其中1234,,,,a a a a 为1,2,3,4的一个排列)．若Y 为两次排序偏离程度的一种描述，

1234Y 1234a a a a =-+-+-+-，求Y ≤2的概率．

解：(1)由频率分布直方图知，50名同学中听力测试值为(0,10]的同学人数为50×(0.016＋0.024)×5＝10，其中听力

非常优秀的同学人数为4，听力优秀的人数为6.则X 的可能取值为0,1,2,3,4.

P(X ＝0)＝C 46C 410＝114， P(X ＝1)＝C 14·

C 3

6C 410＝821

，

P(X ＝2)＝C 24·C 26C 410＝37，P(X ＝3)＝C 34·C 16C 410＝435，P(X ＝4)＝C 44

C 410＝1210.

所以X 的分布列为

E(X)＝0×114＋1×821＋2×37＋3×435＋4×1

210＝1.6.

(2)序号1234,,,,a a a a 的排列总数为A 44＝24，

当Y ＝0时，12341,2,3,4a a a a ====只有1种情况．

当1234Y 12342a a a a =-+-+-+-=时，1234,,,,a a a a 的取值情况有

3

种，分别

12341,2,4,3a a a a ====；12341,3,2,4a a a a ====；12342,1,3,4a a a a ====.

故P(Y ≤2)＝424＝16.

8、甲乙两家快递公司其“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪

100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元

（1）设甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式为()(),f n g n ，求

()(),f n g n ；

（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图: 若将频率视为概率，回答下列问题：

①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；

②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.

（2）①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X （单位：元），由条形图得X 的可能取值为100,106,118,130，

()()()10103040

1000.2,1060.3,1180.4,100100100

P X P X P X +==

=======

()10

1300.1100

P X ==

=， 所以X 的分布列为：

②乙快递公司的“快递小哥”日平均送单数为： 420.2440.4460.2480.1500.145?+?+?+?+?=， 所以乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为70451115+?=（元）， 由①知，甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元. 故推荐小赵去乙快递公式应聘.

9、2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年,有关部门为宣传垃圾分类知识,面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查,每位市民仅有一次参与机会,通过抽样,得到参与问卷调查中的1000人的得分数据,其频率分布直方图如图所示:

(1)由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(,210)N μ,μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表),利用该正态分布,求(50.594)P Z <<. (2)在(1)的条件下,有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案;

①得分不低于μ可获赠2次随机话费,得分低于μ则只有1次;

②每次赠送的随机话费和对应概率如下:

现有一位市民要参加此次问卷调查,记X (单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X 的分布列. 附

14.5≈, 若2(,)Z N μδ,则()0.6826P Z μδμδ-<<+=,(22)0.9544P Z μδμδ-<<+=.

(1)

,

,

, ,

,

,

(2)

,

X 的可能取值为为

,

,

,

,

的分布列为:

10、微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：

（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的22?列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？ 附： ()

()()()()

2

2n ad bc k a b c d a c b d -=

++++，

（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X 人，超过10000步的有Y 人，设

X Y ξ=-，求ξ的分布列及数学期望．

（Ⅰ）

()2

24014126840

3.84120202218

11

K ??-?=

=

.

58

E ξ=