新《计算机算法设计与分析》课程设计

用分治法解决快速排序问题及用回溯法解决0-1背包问题

一、课程设计目的：

《计算机算法设计与分析》这门课程是一门实践性非常强的课程，要求我们能够将所学的算法应用到实际中，灵活解决实际问题。通过这次课程设计，能够培养我们独立思考、综合分析与动手的能力，并能加深对课堂所学理论和概念的理解，可以训练我们算法设计的思维和培养算法的分析能力。

二、课程设计内容：

1、分治法：

（2）快速排序；

2、回溯法：

（2）图的着色。

三、概要设计：

●分治法—快速排序：

分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同。递归地解这些子问题，然后将各个子问题的解合并得到原问题的解。分治法的条件：

（1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；

（2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；（3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

（4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

抽象的讲，分治法有两个重要步骤：

（1）将问题拆开；

（2）将答案合并；

●回溯法—0-1背包问题

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回溯法的基本思想是确定了解空间的组织结构后，回溯法就是从开始节点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始节点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的或节点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前的扩展结点就成为死结点。换句话说，这个节点，这个结点不再是一个活结点。此时，应往回（回溯）移动至最近一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归的在解空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间中以无活结点为止。

四、详细设计与实现：

分治法—快速排序

快速排序是基于分治策略的另一个排序算法。其基本思想是，对于输入的子数组[]r p a :,按以下三个步骤进行排序：

（1）、分解(divide) 以元素[]p a 为基准元素将[]r p a :划分为三段[]1:-q p a ，[]q a 和，[]r q a :1+使得[]1:-q p a 中任何一个元素都小于[]q a ，而[]r q a :1+中任何一个元素大于等于[]q a ，下标q 在划分过程中确定。

（2）、递归求解(conquer) 通过递归调用快速排序算法分别对[]1:-q p a 和[]r q a :1+进行排序。

（3）、合并(merge) 由于[]1:-q p a 和[]r q a :1+的排序都是在原位置进行的，所以不必进行任何合并操作就已经排好序了。

算法实现题: 现将数列{12 21 31 45 36 76 66 46 30 7 89 20 2 5 99 47 23 54 51 73}进行快速排序。

源程序如下：

#include

using namespace std;

#define size 20

int partition(int data[],int p,int r)

{

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quick_sort(data,0,n-1);

printf("排列后的数列为：\n");

for(i=0;i

printf( "%d ",data[i]);

printf("\n");

return 0;

}

运行结果如下：

图1

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图5

●回溯法—0-1背包问题

●回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。它在包含问题的

所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。

算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。

二、算法框架：

1、问题的解空间：应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的解空间。

问题的解空间应到少包含问题的一个（最优）解。

2、回溯法的基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点

（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成

为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。换句话说，这个结点不再是一个活结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。

运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：

（1）针对所给问题，定义问题的解空间；

（2）确定易于搜索的解空间结构；

（3）以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；

3、递归回溯：由于回溯法是对解空间的深度优先搜索，因此在一般情况下

可用递归函数来实现回溯法。

1 问题描述

对于0-1背包问题回溯法的一个实例，n=4，c=7，p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1].这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4].以物品为单位价值的递减序装入物品。先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装入0.2的物品2.由此可得到一个解为x=[1,0,2,1,1],其相应的价值为22.尽管这不是一个可行解，但可以证明其价值是最有大的上界。因此，对于这个实例，最优值不超过22. 回溯法的基本思想是按深度优先策略，从根节点出发搜索解空间树，算法搜索至解空间的任一点时，先判断该结点是否包含问题的解，如果肯定不包含，则跳过以该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯，否则，进入该子树，继续按深度优先进行搜索。

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