北京市2019年中考数学专题练习题精选-提分专练(六)特殊四边形相关的计算与证明

提分专练(六) 特殊四边形相关的计算与证明

(18年 21题,17年 20题)

|类型1| 平行四边形的判定+线段长度

1.[2017·通州一模]如图T6-1,四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E,AB=BC,F为四边形ABCD外一点,且∠FCA=90°,∠CBF=∠DCB.

图T6-1

(1)求证:四边形DBFC是平行四边形;

(2)如果BC平分∠DBF,∠F=45°,BD=2,求AC的长.

2.[2017·石景山二模]如图T6-2,四边形ABCD是矩形,点E在AD边上,点F在AD的延长线上,且BE=CF.

图T6-2

(1)求证:四边形EBCF是平行四边形;

(2)若∠BEC=90°,∠ABE=30°,AB=,求ED的长.

3.[2015·西城一模]如图T6-3,在四边形ABCD中,BD垂直平分AC,垂足为F,E为四边形ABCD外一点,且∠ADE=∠BAD,AE⊥AC.

图T6-3

(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;

(2)如果DA平分∠BDE,AB=5,AD=6,求AC的长.

4.[2018·房山一模]如图T6-4,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是BC,AB的中点,连接DE并延长至点F,使EF=2DE,连接CE,AF.

图T6-4

(1)证明:AF=CE;

(2)若∠B=30°,AC=2,连接BF,求BF的长.

|类型2| 菱形的判定+线段长度

5.[2018·顺义一模]如图T6-5,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,点E为CD的中点,射线BE交AD的延长线于点F,连接CF.

图T6-5

(1)求证:四边形BCFD是菱形;

(2)若AD=1,BC=2,求BF的长.

6.[2018·平谷一模]如图T6-6,在?ABCD中,BF平分∠ABC交AD于点F,AE⊥BF于点O,交BC于点E,连接EF.

图T6-6

(1)求证:四边形ABEF是菱形;

(2)连接CF,若∠ABC=60°,AB=4,AF=2DF,求CF的长.

7.[2018·门头沟一模]如图T6-7,在矩形ABCD中,连接AC,AC的垂直平分线交AC于点O,分别交AD,BC于点E,F,连接CE和AF.

图T6-7

(1)求证:四边形AECF为菱形;

(2)若AB=4,BC=8,求菱形AECF的周长.

8.[2018·西城一模]如图T6-8,在△ABD中,∠ABD=∠ADB,分别以点B,D为圆心,AB长为半径在BD的右侧作弧,两弧交于点C,分别连接BC,DC,AC,记AC与BD的交点为O.

图T6-8

(1)补全图形,求∠AOB的度数并说明理由.

(2)若AB=5,cos∠ABD=,求BD的长.

|类型3| 菱形的判定+图形面积

9.[2018·延庆一模]如图T6-9,Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D,F分别是AC,AB的中点,CE∥DB,BE∥DC.

图T6-9

(1)求证:四边形DBEC是菱形;

(2)若AD=3,DF=1,求四边形DBEC面积.

10.[2018·大兴一模]如图T6-10,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且DE=OC,CE=OD.

图T6-10

(1)求证:四边形OCED是菱形;

(2)若∠BAC=30°,AC=4,求菱形OCED的面积.

11.[2018·怀柔一模]直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D是斜边BC上一点,且AB=AD,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E,交AB的延长线于点F.

图T6-11

(1)求证:∠ACB=∠DCE;

(2)若∠BAD=45°,AF=2+,过点B作BG⊥FC于点G,连接DG.依题意补全图形,并求四边形ABGD的面积.

12.[2018·海淀一模]如图T6-12,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AE∥BD,BE∥AC,OE=CD.

图T6-12

(1)求证:四边形ABCD是菱形;

(2)若AD=2,则当四边形ABCD的形状是时,四边形AOBE的面积最大,最大值是.

|类型4| 矩形的判定+线段计算

13.[2018·石景山一模]如图T6-13,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD=2,CE⊥AD于点E.

图T6-13

(1)求证:AE=CE;

(2)若tan D=3,求AB的长.

14.[2018·丰台一模]已知:如图T6-14,菱形ABCD,分别延长AB,CB到点F,E,使得BF=BA,BE=BC,连接AE,EF,FC,CA.

(1)求证:四边形AEFC为矩形;

(2)连接DE交AB于点G,如果DE⊥AB,AB=4,求DE的长.

图T6-14

15.[2018·通州一模]如图T6-15,在平行四边形ABCD中,DB⊥AB,点E是BC边的中点,过点E作EF⊥CD,垂足为F,交AB的延长线于点G.

图T6-15

(1)求证:四边形BDFG是矩形;

(2)若AE平分∠BAD,求tan∠BAE的值.

16.[2017·朝阳一模]如图T6-16,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,过点A作BC的平行线,过点B作AD的平行线,两直线交于点E.

图T6-16

(1)求证:四边形ADBE是矩形;

(2)连接DE,交AB于点O,若BC=8,AO=,求cos∠AED的值.

参考答案1.解:(1)证明:∵AC⊥BD,∠FCA=90°,

∴BD∥CF.

∵∠CBF=∠DCB,∴DC∥BF.

∴四边形DBFC是平行四边形.

(2)由(1)得四边形DBFC是平行四边形,

∴CF=BD=2.

过点C作CH⊥BF于点H,∵∠F=45°,∴CH=.

∵BC平分∠DBF,∴CH=CE=,

∵AB=BC,BD⊥AC,

∴AC=2CE=2.

2.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=∠CDF=90°,AB=DC,AD=BC.

在Rt△BAE和Rt△CDF中,

∴Rt△BAE≌Rt△CDF.

∴∠1=∠F.∴BE∥CF.

又∵BE=CF,

∴四边形EBCF是平行四边形.

(2)∵在Rt△BAE中,∠2=30°,AB=,

∴AE=AB·tan∠2=1,

BE==2,∠3=60°.

在Rt△BEC中,BC===4.∴AD=BC=4.

∴ED=AD-AE=4-1=3.

3.解:(1)证明:∵∠ADE=∠BAD,

∴AB∥ED.

∵BD垂直平分AC,垂足为F,

∴BD⊥AC,AF=FC.

又∵AE⊥AC,

∴∠EAC=∠DFC=90°,

∴AE∥BD,

∴四边形ABDE是平行四边形. (2)如图,连接BE交AD于点O.

∵DA平分∠BDE,

∴∠ADE=∠1.

又∵∠ADE=∠BAD,

∴∠1=∠BAD,∴AB=BD,

∴?ABDE是菱形.

∴AD⊥BE.

∵AB=5,AD=6,

∴BD=AB=5,OA=AD=3.

在Rt△OAB中,OB==4.

∵S△ABD=AD·OB=BD·AF,

∴6×4=5AF,

解得AF=4.8.

∵BD垂直平分AC,∴AC=2AF=9.6.

4.解:(1)证明:∵D,E分别是BC,AB的中点, ∴DE为△ABC的中位线,

∴DE∥AC,AC=2DE.

又∵EF=2DE,

∴EF=AC,

∴四边形ACEF为平行四边形,

∴AF=CE.

(2)∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,

∴BC=2,DE=1,∠EDB=90°.

∵D为BC中点,

∴BD=.

又∵EF=2DE,

∴EF=2.

∴DF=3.

在Rt△BDF中,由勾股定理得

BF==2.

5.解:(1)证明:∵BD=BC,E是CD的中点, ∴∠1=∠2.

∵AD∥BC,∴∠2=∠3,

∴∠1=∠3,∴BD=DF.

∵BD=BC,∴DF=BC.

又∵DF∥BC,

∴四边形BCFD是平行四边形.

又∵BD=BC,

∴?BCFD是菱形.

(2)∵∠A=90°,AD=1,BD=BC=2,

∴AB==.

∵四边形BCFD是菱形,

∴DF=BC=2,

∴AF=AD+DF=3,

∴BF===2.

6.解:(1)证明:∵BF平分∠ABC,

∴∠ABF=∠CBF.

∵?ABCD,∴AD∥BC.

∴∠AFB=∠CBF.

∴∠ABF=∠AFB.

∴AB=AF.

∵AE⊥BF,

∴∠ABF+∠BAO=∠CBF+∠BEO=90°.∴∠BAO=∠BEO.

∴AB=BE.

∴AF=BE.

∴四边形ABEF是平行四边形.

∴?ABEF是菱形.

(2)∵AD=BC,AF=BE,

∴DF=CE.

∴BE=2CE.

∵AB=4,

∴BE=4.

∴CE=2.

过点A作AG⊥BC于点G.

∵∠ABC=60°,AB=BE,

∴△ABE是等边三角形.

∴BG=GE=2.∴AF=CG=4.

∴四边形AGCF是平行四边形.

∴?AGCF是矩形.

∴AG=CF.

在Rt△ABG中,∠ABC=60°,AB=4,

∴AG=2.

∴CF=2.

7.解:(1)证明:∵EF是AC的垂直平分线,

∴AO=OC,∠AOE=∠COF=90°,

∵四边形ABCD是矩形,

∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.

在△AEO和△CFO中,

∵∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF,

∴△AEO≌△CFO(ASA),∴OE=OF.

又∵OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形,

又∵EF⊥AC,∴平行四边形AECF是菱形.

(2)设AF=x,∵EF是AC的垂直平分线,

∴AF=CF=x,BF=8-x,

在Rt△ABF中,由勾股定理得:AB2+BF2=AF2,即42+(8-x)2=x2, 解得x=5,∴AF=5,

∴菱形AECF的周长为20.

8.解:(1)补全的图形如图所示.

∠AOB=90°.

理由:由题意可知BC=AB,DC=AB.

∵在△ABD中,∠ABD=∠ADB,

∴AB=AD,

∴BC=DC=AD=AB,

∴四边形ABCD为菱形,

∴AC⊥BD,

∴∠AOB=90°.

(2)∵四边形ABCD为菱形,

∴OB=OD.

在Rt△ABO中,∠AOB=90°,AB=5,

cos∠ABD=,

∴OB=AB·cos∠ABD=3,

∴BD=2OB=6.

9.解:(1)证明:∵CE∥DB,BE∥DC,

∴四边形DBEC是平行四边形.

在Rt△ABC中,

∵D是AC的中点,∠ABC=90°,∴BD=DC, ∴四边形DBEC是菱形.

(2)∵F是AB的中点,D是AC的中点,

∴BC=2DF=2,∠AFD=∠ABC=90°,

在Rt△AFD中,AF==

=2.

∴S△DBC=BC×BF=×2×2=2,

∴S菱形DBEC=2S△DBC=4.

10.解:(1)证明:∵DE=OC,CE=OD, ∴四边形OCED是平行四边形.

∵四边形ABCD是矩形,

∴AC=BD,OC=AC,OD=BD.

∴OC=OD.

∴平行四边形OCED是菱形.

(2)在矩形ABCD中,

∠ABC=90°,∠BAC=30°,AC=4,

∴BC=2.

∴AB=DC=2.

如图,连接OE,交CD于点F.

∵四边形OCED为菱形,

∴F为CD中点.

∵O为BD中点,

∴OF=BC=1.

∴OE=2OF=2.

∴S菱形OCED=OE·CD=×2×2=2.

11.解:(1)证明:∵AB=AD,

∴∠ABD=∠ADB.

∵∠ADB=∠CDE,∴∠ABD=∠CDE.

∵∠BAC=90°,∴∠ABD+∠ACB=90°.∵CE⊥AE,∴∠DCE+∠CDE=90°.

∴∠ACB=∠DCE.

(2)补全图形,如图所示:

∵∠BAD=45°,∠BAC=90°,

∴∠BAE=∠CAE=45°,∠F=∠ACF=45°.∵AE⊥CF,BG⊥CF,

∴AD∥BG.

∵BG⊥CF,∠BAC=90°且∠ACB=∠DCE, ∴AB=BG.

∵AB=AD,∴BG=AD,

∴四边形ABGD是平行四边形.

∵AB=AD,

∴平行四边形ABGD是菱形.

设AB=x,则BG=GD=AD=x,

∴BF=BG=x.

∴AB+BF=x+x=2+,

∴x=.

过点B作BH⊥AD于H,

∴BH=AB=1.

∴S四边形ABGD=AD×BH=.

12.解:(1)证明:∵AE∥BD,BE∥AC, ∴四边形AEBO是平行四边形.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴DC=AB.

∵OE=CD,∴OE=AB.

∴平行四边形AEBO是矩形.

∴∠BOA=90°,∴AC⊥BD,

∴平行四边形ABCD是菱形.

(2)正方形;2.

13.解:(1)证明: (法一)

过点B作BH⊥CE于H,如图.

∵CE⊥AD,

∴∠BHC=∠CED=90°,