2019-2020年高中数学 圆锥曲线综合 板块一 轨迹方程(2)完整讲义(学生版)

2019-2020年高中数学圆锥曲线综合板块一轨迹方程(2)完整讲义（学

生版）

典例分析

【例1】如图所示，平面内的定点到定直线的距离为2，定点满足，且于点是直线上的一动点，点满足：，点满足：，，建立适当的直角坐标系，求动点的轨迹方程．

【例2】如图，和是平面上的两点，动点满足：

⑴求点的轨迹方程；

⑵若，求点的坐标．

【例3】设是平面直角坐标系中的点，是经过原点与点的直线，记是直线与抛物线的异于原点的交点，

⑴已知，，，求点的坐标；

⑵已知点在椭圆上，，求证：点在双曲线上；

⑶已知动点满足，，若点始终落在一条关于轴对称的抛物线上，试问动点的轨

迹落在哪种二次曲线上，并说明理由．

【例4】已知以向量为方向向量的直线过点，抛物线：的顶点关于直线的对称点在该抛物线的准线上．

⑴求抛物线的方程；

⑵设、是抛物线上两个动点，过作平行于轴的直线，直线与直线交于点，若（为

原点，、异于原点），试求点的轨迹方程．

【例5】 已知抛物线，点在抛物线上，过点作斜率为、的两条直线，分别交抛物线于异

于点的两点，，且满足．

⑴求抛物线的焦点坐标；

⑵若点满足，求点的轨迹方程．

【例6】 已知圆的方程为．

⑴直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；

⑵过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．

【例7】 已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的

平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合． ⑴若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；

⑵若曲线22251:24025

G x ax y y a -+-++=与有公共点，试求的最小值．

【例8】 已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点．

⑴若，的坐标分别是，，求的最大值；

⑵如图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，．求线段的中点的轨迹方程．（椭圆的准线方程，其中为半焦距长，为半长轴长）

【例9】 已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点

的距离分别是和

⑴求椭圆的方程

⑵若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

【例10】 已知圆，

⑴已知不过原点的直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程；

⑵从圆外一点向圆引一切线，切点为，为坐标原点，且，求点的轨迹方程．求

的最小值以及此时对应的的坐标．

【例11】已知圆的方程为，圆内有定点，圆周上有两个动点、，使，求矩形的顶点的轨迹方程．

【例12】设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．

⑴证明；

⑵设，为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方

程．

【例13】一条变动的直线与椭圆+=1交于、两点，是上的动点，满足关系．若直线在变动过程中始终保持其斜率等于．求动点的轨迹方程，并说明曲线的形状．

【例14】长度为的线段的两个端点、分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且（为常数且）．

⑴求点的轨迹方程，并说明轨迹类型；

⑵当时，已知直线与原点的距离为，且直线与轨迹有公共点，求直线的斜率的

取值范围．