概率论与数理统计第三、四章答案
第三章 习题参考答案
1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。 解：由习题二第2题计算结果
01
12{0}={1}=
3
3
p p p p ξξ====，
得
122
01333
E ξ=?+?= 一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===
2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。 解：方法一：先按定义计算长的数学期望
290.3300.5310.229.9E ξ=?+?+?=
和宽的数学期望
190.3200.4210.320E η=?+?+?=
再利用数学期望的性质计算周长的数学期望
(22)229.922099.8E E ζξη=+=?+?=
方法二：利用习题二地30题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望
960.09980.271000.351020.231040.0698.8
E ξ=?+?+?+?+?=3.对习题二第31题，（1）计算圆半径的期望值；（2）(2)E R π是否等于2ER π？（3）能否用2
()ER π来计算远面积的期望值，如果不能
用，又该如何计算？其结果是什么？
解（1）100.1110.4120.3130.211.6ER =?+?+?+?=
（2）由数学期望的性质有
(2)223.2E R ER πππ==
（3）因为22()()E R E R ππ≠，所以不能用2
()E R π来计算圆面积
的期望值。利用随机变量函数的期望公式可求得
222222()()(100.1110.4120.3130.2)135.4E R E R ππππ==?+?+?+?=
或者由习题二第31题计算结果，按求圆面积的数学期望
1000.11210.41440.31690.2)135.4E ηπππ=?+?+?+?=
4． 连续随机变量ξ的概率密度为
,01(,0)
()0,a kx x k a x ??<<>=??
其它
又知0.75E ξ= ，求k 和a 的值 解 由
1
010()11324
a a k
x dx kx dx a k E kx x dx a ?ξ+∞
-∞==
=+=?==
+???
解得 2,3
a k == 5．计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差（参看习题二第16题）。
解 因为奇函数在对称区域的积分为零，所以||
102x E x e dx ξ+∞
--∞==?，
同样由偶函数在对称区域积分的性质可计算
2
2
||
201()2x x D E x e dx x e dx ξξ+∞
+∞---∞
===?
?
20
|
22x x x e xe dx +∞
-+∞
-=-+=?
6题目略
解 (1)15辆车的里程均值为
1274(9050150)91.33153
++???+=≈ (2) 记ξ为从188辆汽车中任取一辆记录的里程数，则ξ的分布表如下表所示（a=188）
故51124520
103017096.1718818818847
E ξ=?+?+???+?=≈ 7题目略
解 记ξ为种子甲的每公顷产量，η为种子乙的每公顷产量，则
45000.1248000.3851000.454000.14944E ξ=?+?+?+?=
45000.2348000.2451000.354000.234959E η=?+?+?+?= 8．一个螺丝钉的重量是随机变量，期望值10g,标准差为1g,100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差个为多少（假设每个螺丝钉的重量都部首其他螺丝钉重量的影响）？
解 设i ξ为一盒中第i 个螺丝钉的重量(1,2,,100)i =???,则 题设条件为
101,i E g g ξ==且12100,,,ξξξ???相互独立。设一盒螺丝钉的重量
为随机变量100
1i
i ηξ==∑，则期望和标准差分别为
100100
11
11
100100
22
11
()1000()
[()]()10()
i i
i i
i i
i i
E E E g
D D g
ηξξ
ξξ
==
==
===
====
∑∑
∑∑
注此题不能认为100
ηξ
=,因为这意味着所有螺丝钉的重量完全一样,这是不符合实际情况的.因此
100()g
===
是错误结果。
9. 已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值。
解设ξ为5个产品中的次品数，则ξ的分布率为
5
1090
5
100
()(0,1,2,3,4,5)
k k
C C
p k k
C
ξ
-
===
于是期望值为
5
5
1090
5
0100
50
0.5
100
k k
k
C C
E k
C
ξ
-
=
=?==
∑
10．一批零件中有9个合格品和3个废品，在安装机器时，从这些零件中任取1个，如果取出的是废品就不再放回去。求在取得合格品以前，已经取出的废品数的数学期望和方差。
解设ξ为取得合格品之前取出的废品数，则ξ服从如下表所示的分布，于是
39913
01230.3
44422022010
Eξ=?+?+?+?==
222239919
()012344422022022
E ξ=?+?+?+?=
22293351
()()()0.31922101100
D E E ξξξ=-=
-=≈ 11.假定每人生日在各个月份的机会是同样的，求3个人中生日在第1个季度的平均人数。
解 设3人中生日在第1季度的人数为ξ，则ξ的分布律为
3313
()()()(0,1,2,3)44
k k k p k C k ξ-===
故平均人数为
3
330133()()444
k k k
k E k C ξ-==?=
∑‘ 12．ξ有分布函数1,0
()0x e x F x λ-?->=??，其它
，求E D ξξ及
解 ξ的密度函数为
,0
()()0,0
x e x x F x x λλ?-?>'==?≤?
+++0
1
|
x
x x
E x e
dx x e
e
dx λλλξλλλ
∞
∞
--∞
-==-+=
?
?
++2
2
2
+0
()|
2x
x x E x e
dx x e
xe dx λλλξλλ∞∞
--∞
-==-+?
?
+2
2
2
x x e dx λλλλ
∞
-=
=
?
2222
22
11()()()D E E ξξξλλλ
=-=
-=
或者利用伽马函数的性质
++0
1
11
(2)x
x E x e
dx x e d x λλξλλλλλλ
∞∞
--==
=Γ==?
?
++2
222
2
2
1
1
2
()()(3)x
x E x e
dx x e d x λλξλλλλ
λ
λ
∞
∞
--==
=
Γ=?
?
2222
22
11
()()()D E E ξξξλλλ
=-=
-=
13
．|1~()0,x x ξ?<=?
其它，求D ξ和E ξ 解 由奇函数在对称区间的积分为零知
1
0E ξ-==?
或者
1
222
2
sin cos sin |0
t
t
E t dt π
π
π
π
πξπ
π
--
-====-
=???于是
D ξ=2
()E ξ
=
2
1
-?
=2sin sin t
t π
=?220
2sin tdt ππ
?
22002
1cos 22sin 2()|0.5224
t t t dt π
π
ππ-==-=? 14．计算习题二第22题中的ξη+期望与方差。
解 由习题二第33题求得的ξη+分布可求得其数学期望和方差 2
110
()34333
E ξη+=?+?=
2
222134[()]34333
E ξη+=?+
?=
234102()()339
D ξη+=
-= 15．计算习题二第23题中的ξη-期望与方差。
解 由习题二第34题求得的ξη-分布可求得其数学期望和方差
141151()2()023********
E ξη-=-?+-?
+?+?= 2
11611585
[()]404391261227
E ξη-=?+?+?+?=
28511091
()()2718324
D ξη-=
-=
16．如果ξη和独立，不求出ξη的分布，直接从ξ的分布和η的分布能否计算出()D ξη，怎样计算？
解 由ξ与η独立，知2
ξ与2
η独立，根据数学期望的性质有
2
22)(),)()E
E E E E E ξηξηξηξη（）=(（）=( 故 2
22222[][]=)()-)()D
E E E E E E ξηξηξηξηξη（）=（）-（）(( 17.随机变量η是另一个随机变量ξ的函数,并且(0)e λξ
ηλ=>,若
E η存在,求证对于任何实数a 都有{}x p a e Ee λλξξ-≥≤?.
证明：不妨设ξ是连续型随机变量，其密度函数为()x ?，注意到当
x a ≥时，有()1(0)x a e λλ-≥>，于是
()
{}()()()()
x a a
x a a
a
p a x dx e
x dx e
e x dx e E e λλλλλξξ???+∞
+∞
+∞
----∞
≥=≤≤≤???
若ξ为离散型随机变量，则将推倒的积分换成级数求和同样成立。 18．证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.
证明 设ξ为一次试验中A 发生的次数，则ξ服从0-1分布，()p p A =则 E p ξ=
22(1)(0)(1)(1)(01)D p p p p p p p ξ=-?+-?-=-≤≤
而函数(1)p p -在[0,1]上的最大值为14
，故1
4D ξ≤
19．证明对于任何常数c,随机变量ξ有
22
[()]()D E c E c ξξξ=---
证明 因为 22222
[()](2)()2()E c E c c E cE c ξξξξξ-=-+=-+
222()()2()E c E cE c ξξξ-=-+
所以两式的差为 22
()()E E D ξξξ-=
或者
2222()[()][()][()]()D D c E c E c E c E c ξξξξξξ=-=---=--- 20．(,)ξη的联合概率密度为()
(,)(,0)x y x y e x y ?-+=>，计算它们的
协方差cov(,)ξη
解 先求ξη和的边缘密度函数
()10
()(0)x y x x e dy e x ?+∞
-+-==>?
()20
()(0)x y y y e dx e y ?+∞
-+-==>?
由12(,)()()x y x y ???=知ξη与相互独立,故ξη与不相关,
即 c o v
(,)=0ξη 21.计算习题二第22题ξη与的协方差。
解 由习题二第22题的计算结果可列出其联合分布和边缘分布表(见下表)，于是
2125125
1212333333
1118
()102()433123
851
cov(,)()()()()339
E E E E E E ξηξηξηξηξη=?+?==?+?=
=?+?++?==-=-=-
，
22.计算习题二第23题ξη与的相关系数。
解 习题二第23题求出的分布表（见下表），可求得
2222222525552525
(1)02()(1)021212121212121212255275711413=,011212144123121236
711437
()0()11231212108E E D E E ξξξηη=-?
+?+?==-?+?+?==-=?+?+?==?+?+?=
，（）
23713275()108361296
711113
()0(1)()12331236D E ηξη=
-==?+-?+-?=-
132513221cov(,),361236432
221275ξηξηρ=-
-?=-=
==-
23．(,)ξη的联合概率分布如下表所示，计算ξη与的相关系数， 并判断ξη与是否独立？
解 (,)ξη的联合分布和边缘分布如下表所示
22
22323(1)010
888
3233()(1)018884111
0110
244
cov(,)()()()0,0
E E D E D E E E E ξηξξη
ξηξηξηξηρ==-?+?+?===-?+?+?===?+-?+?==-==(）（）
但(1)(2)11
1191648
p p
p =≠=，知ξη与不相互独立。 24．两个随机变量ξ与η，已知25,25,0.4D D ξηξηρ===,计算
(+D ξη）与(-D ξη）
. 解 c o v (,)=0.456=12
ξηξηρ=??
(+)2c o v (,)8()2c o v (,)
37
D D D D D D ξηξηξηξηξηξη=++=-=+-=
第四章习题解答（参考答案）
1.若每次射击靶的概率为0.7，求射击10炮，命中三炮的概率，至少命中3炮的概率，最可能命中几炮。
解: 记射击10炮的命中次数为ξ,则~(10,0.7)B ξ,所求概率为
3
3710
(3)0.70.30.009p C ξ==?=
6
4
3
(3)1(0)(1)(2)1 5.9010 1.3810 1.45100.9984
p p p p ξξξξ---≥=-=-=-==-?-?-?=
最可能的命中炮数为[100.70.7]7?+=炮.
2.在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01,求生产10件产品中废品数不超过2个的概率.
解 记废品数为ξ，则~(10,0.01)B ξ，所求概率为
2
10100(2)0.010.99
k k k
k p C ξ-=≤=?∑
0.90440.09140.0042 1.000=++=
3．某车间有20台同型号机床，每台机车开动的概率为0.8，若假定各机床是否开动彼此独立，每台机车开动时所消耗的电能为15个单位，求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率。 解 设20台机床中有ξ台开动，则~(20,0.8)B ξ，所求概率为
270
()(18)(19)(20)15
p p p p ξξξξ≥==+=+=
182********.80.2200.80.20.80.206=??+??+=
4．从一批废品率为0.1的产品中，重复抽取20个进行检查，求这20个产品中废品率不大于0.1的概率。
解 设ξ为20个产品中废品的个数，则~(20,0.1)B ξ，所求概率为
(
0.15)(3)20
p p ξ
ξ≤=≤201920.9200.10.9+1900.1=+???
183170.9+11400.10.9=0867???.
5．生产某种产品的废品率为0.1，抽取20件产品，初步检查已发现2件废品，问这20件中，废品不少于3件的概率.
解 设ξ为20件产品中废品的个数，则~(20,0.1)B ξ，所求概率为
2019218
2019
(3)(3|2)(2)
1(0.9200.10.9+1900.10.9)1(0.9200.10.9)
0.3230.5310.608
p p p ξξξξ≥≥≥=
≥-+????=-+??== 6．抛掷4颗正六面体的骰子，ξ为出现么点的骰子数目，求ξ的概率分布，以及出现么点的骰子的最可能值.
解 设ξ为4 颗骰子中出现么点的个数，则1
~(4,)6
B ξ ，即有分布律
44
11()()()()(0,1,2,3,4)66
k k k
p k p k C k ξ-====
其分布函数为
00,0()(),1(0,1,2,3)1,4
i k x F x p k i x i k x =
ξ的最可能值为 1
1[4]066
?+=
7．事件A 在每次试验中出现的概率为0.3,进行19次独立试验，求（1）出现次数的平均值和标准差；（2）最可能出现的次数。
解 设ξ为19次试验中A 出现的次数，则~(19,0.3)B ξ，故可求得 （1）190.3 5.7E ξ=?=
1.997===
(2）ξ的最可能值=[190.30.3]65?+=和（因为190.30.3?+是整数） 8．已知随机变量ξ服从二项分布, 12E ξ= , =8D ξ，求p 和n 解 题设条件为~(,)B n p ξ，且 12,(1)8np np p =-=
由此解出
1
,363
p n ==
9．某柜台上有4个售货员，并预备了两个台秤，若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤，求在一天10小时内，平均有多少时间台秤不够用。
解 按题设条件可认为在任何时间每个售货员都以1
4
的概率使用台
秤，设ξ为任何时刻要用台秤的售货员人数，则1~(4,)4
B ξ，于是任何时刻台秤不够用的概率为
3344413113(2)()()()0.054444
p C ξ>=+=≈
这个结果也可以解释为营业时间内5%的时间台秤不够用，故10个小时内大约有半小时秤不够用。
10．已知试验的成功率为p ，进行4重贝努里试验，计算在没有全部失败的情况下，试验成功不止一次的概率.
解 设ξ为4次试验中成功的次数，则~(4,)B p ξ，所求概率为
433
4
4
(1)1(1)4(1)4(1)(1|0)1(0)1(1)1(1)p p p p p p p p p p ξξξξ>----->>===->----
11．ξ服从参数为2，p 的二项分布，已知(1)p ξ≥ =5/9，那么成功率为p 的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少？
解 由题设条件~(2,)B p ξ和2
51(1)9p --=，可解出1
3
p =，再设
1~(4,)3B η，则所求概率为 4265
{1}1()381
p η≥=-=
12．一批产品20个中有5个废品，任意抽取4个，求废品数不多于2个的概率。
解 设ξ为所取的4个废品的个数，则ξ服从参数N=20,M=5,n=4的超几何分布，所求概率为
(2)1(3)(4)p p p ξξξ≤=-=-=
101938
10.968323969969
=--=≈
13．如果产品是大批的，从中抽取的数目不大时，则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算。试将下例用两个公式计算，并比较其结果。产品的废品率为0.1,从1000个产品中任意抽取3个，求废品数为1个的概率。
解 记ξ为所取3个产品中的废品数。
(1)设ξ服从参数为N=1000,M=100,n=3的超几何分布,则所求概率为
12
1009003
100013485
(1)0.2434655389
C C p C ξ===≈ (2)若~(3,0.1)B ξ，则所求概率为
2
(1)30.10.90.243p ξ==??=
两者的差异仅为0.00046.
14. 从一副扑克牌（52张）中发出5张,求其中黑桃张数的概率分布 解 设ξ为5张中黑桃的张数，由题意知ξ服从N=52,M=13,n=5的超
几何分布，即 51339
5
52
{}(0,1,2,3,4,5)k k C C p k k C ξ-=== 由此分布律可列出分布表（见下）
15. 从大批发芽率为0.8的种子中，任取10粒，求发芽数不少于8例的概率。
解 记ξ为10粒种子中发芽的种子数，则~(10,0.8)B ξ，所求概率为
8829
9101010(8)0.80.20.80.20.8p C C ξ≥=??+??+
0.3020+0.2684+0.1074=0.6778=
16．一批产品的废品率为0.001，用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率，以及不超过2件的概率。
解 记ξ为800件产品中的废品数,则~(800,0.001)B ξ，由于800n = 很大，0.001p =很小，故可用普哇松公式计算本题概率
(8000.0010.8)λ=?=
20.80.8{2}0.14382!p e ξ-=≈=
20.8
0.8{2}(10.8)0.95262!
p e ξ-≤≈++=
17．某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布，平均一件上有0.8个疵点，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元，疵点数大
于1而不多于4为二等品，价值8元，4个以上为废品。求产品为废品的概率以及产品的平均价值。 解 产品上的疵点数为ξ，则~()
p ξλ，且0.8E λ
ξ==，产品为废品
的概率为 2340.8
0.80.80.8{4}1(10.8)0.00142!3!4!
p e ξ->=-++++=
再设产品的价值为η，则η的分布律为
0.82340.8
{10}{1}(10.8)0.8088
0.80.80.8{8}{11}()0.18982!3!4!
{0}1{10}{8}0.0014
p p e p p e p p p ηξηξηηη--==≤=+===<≤=++===-=-==
故产品的平均价值为
0.8088100.189889.61E η=?+?=(元)
18.一个合订本共100页，平均每页上有两个印刷错误，假定每页上印刷错误的数目服从普哇松分布，计算该合订本中各页的印刷错误都不超过4个的概率。
解 设ξ为每页上的印刷错误数，由题设条件知~()p ξλ ，且
2E λξ==，则一页上印刷错误不超过4个的概率为
2340.8
222{4}(12)0.94732!3!4!
p e ξ-≤=++
++= 于是各页的错误都不超过4个的概率为
100
[{4}]00045p ξ≤=.
19．某型号电子管的“寿命”ξ服从指数分布，如果它的平均寿命
1000E ξ=小时，写出ξ的概率密度，并计算(1000<1200)p ξ≤.
解 因为1
1000E ξλ
=
=，故ξ的概率密度为
1200
1000
10001(1000<1200)=1000
x
p e dx ξ-≤? 10001
,0()1000
0,0x
e x x x ?-?>?
=??≤?
1200
1000
10001(1000<1200)=1000
x
p e dx ξ-≤?1 1.20.0667e e --=-=
概率论与数理统计第4章作业题解
第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数， 易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑
(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
概率论与数理统计习题集及答案
* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。
概率论与数理统计第三章课后习题答案
习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+
ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k
概率论与数理统计练习题
概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望
概率论与数理统计第二版_课后答案_科学出版社_参考答案_
习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解：根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{ 解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= （1）X ～P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=- 第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题 您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题 您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题 您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它 概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL 天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 第一章 随机变量 习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 Ω= { }1843,,,Λ (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 Ω= { }Λ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”， 如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。} 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、 10 ( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… } 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 … 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18 第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生； （4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++== 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%, 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 概率论与数理统计复习题--带答案 ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）； 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000 《概率论与数理统计》作业集及答案 概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ??? ????=n n n n o S 1001, ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6， （2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC ) 概率论与数理统计作业及解答 第一次作业 ★ 1.甲.乙.丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹?设事件ABC 分别表示甲.乙.丙 击中目标.则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示? 事件E 丸事件A, B,C 最多有一个发生｝,则E 的表示为 E =ABC ABC ABC ABC;或工 ABU AC U B C;或工 ABU ACU BC; 或工 ABACBC ；或工 ABC_(AB C ABC A BC ). (和 A B 即并AU B,当代B 互斥即AB 二'时.AU B 常记为AB) 2. 设M 件产品中含m 件次品.计算从中任取两件至少有一件次品的概率 ★ 3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只.计算以下事件的概率 A 二｛8只鞋子均不成双｝, B=｛恰有2只鞋子成双｝, C 珂恰有4只鞋子成双｝. C 6 (C 2 )6 32 C 8C 4(C 2)4 80 0.2238, P(B) 8 皆 0.5594, P(A) 8 /143 ★ 4.设某批产品共50件.其中有5件次品?现从中任取3件?求 (1) 其中无次品的概率-(2)其中恰有一件次品的概率‘ /八 C 5 1419 C ：C 5 99 ⑴冷 0.724.⑵虫产 0.2526. C 50 1960 C 50 392 5. 从1?9九个数字中?任取3个排成一个三位数?求 (1) 所得三位数为偶数的概率-(2)所得三位数为奇数的概率? 4 (1) P ｛三位数为偶数｝ = P ｛尾数为偶数｝=-, 9 ⑵P ｛三位数为奇数｝ = P ｛尾数为奇数｝ = 5, 9 或P ｛三位数为奇数｝ =1 -P ｛三位数为偶数｝ =1 -彳=5. 9 9 6. 某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码 求(1)最小号码为5的概率 ⑵ 最大号码为5的概率 记事件A =｛最小号码为5｝, B=｛最大号码为5｝. 1 1 2 C m C M m C m m(2M - m -1) M (M -1) 6 — C 16 143 P(C)二 C 8 CJC 2 ) 30 0.2098. 143 C 16 . 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥= 10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域）《概率论与数理统计》在线作业
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第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
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§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19《概率论与数理统计》浙江大学第四版课后习题答案
概率论与数理统计作业与解答
概率论与数理统计教程(魏宗舒)第七章答案