四川省雅安市2015-2016学年八年级下期末数学试卷含答案解析

四川省雅安市2015-2016学年度下期期末检测八年级数学试卷

(解析版)

一、选择题，每小题2分，共24分．

1．下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（）

A．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 B．x2+2x+1=x（x+2）+1

C．a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b） D．a（x﹣y）=ax﹣ay

2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）

A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD C．AB=CD D．AC⊥BD

3．当x=2时，下列各式的值为0的是（）

A．B．C．D．

4．下列图形是中心对称图形的是（）

A．B． C． D．

5．不等式组的解表示在数轴上，正确的是（）

A．B．

C．D．

6．若将中的字母x、y的值分别扩大为原来的4倍，则分式的值（）

A．扩大为原来的4倍B．缩小为原来的

C．缩小为原来的D．不变

7．如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=6，BC=4，则EC的长（）

A．1 B．1.5 C．2 D．3

8．解关于x的方程：=+3会产生增根，则常数m的值等于（）A．5 B．﹣1 C．1 D．6

9．如图，已知直线y1=ax+b与y2=mx+n相交于点A（2，﹣1），若y1＞y2，则x 的取值范围是（）

A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1

10．如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）

A．3 B．C．D．4

11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；

其中正确的是（）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

12．已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（）

A．﹣6＜a＜﹣5 B．﹣6≤a＜﹣5 C．﹣6＜a≤﹣5 D．﹣6≤a≤﹣5

二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）

13．因式分解：a3﹣a=．

14．计算：（ab﹣b2）÷=．

15．已知x2﹣（m﹣2）x+49是完全平方式，则m=．

16．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=．

17．有一张一个角为30°，最小变长为4的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是．

三、解答题

18．（10分）（1）解不等式3（x﹣1）＜5x+2，并在数轴上表示解集．

（2）解方程：=﹣．

19．（6分）先化简再求值：，其中．

20．（6分）在如图所示的方格纸中，△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2的顶点及O、

P、Q都在格点上如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，试判断四边形AECF是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．

22．（8分）阅读理解：把多项式am+an+bm+bn分解因式．

解法一：am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（m+n）（a+b）

解法二：am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（m+n）（a+b）

观察上述因式分解的过程，回答下列问题：

（1）分解因式：m2x﹣3m+mnx﹣3n；

（2）已知：a，b，c为△ABC的三边，且a3﹣a2b+5ac﹣5bc=0，试判断△ABC的形状．

23．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线是AP，PQ是线段BC的垂直平分线，PN⊥AB于N，PM⊥AC于M．

求证：BN=CM．

24．（8分）由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．

（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？

（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76

万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？

25．（10分）已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D不与B，C重合）△ADF是以AD为边的等边三角形过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF

（1）如图1，若△ABC的边长是2，求△ADF的最小面积；

（2）如图1，求证：△AFB≌△ADC'；

（3）如图2，若D点在BC边的延长线上，其它条件不变，请判断四边形BCEF 的形状，并说明理由．

雅安市2015-2016学年度下期期末检测八年级数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题，每小题2分，共24分．

1．下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（）

A．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 B．x2+2x+1=x（x+2）+1

C．a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b） D．a（x﹣y）=ax﹣ay

【考点】因式分解的意义．

【分析】依据因式分解的定义判断即可．

【解答】解：A、（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，从左边到右边的变形属于整式的乘法，故A错误；

B、x2+2x+1=x（x+2）+1，右边不是几个因式的积的形式，故B错误；

C、a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）是因式分解，故C正确；

D、（x﹣y）=ax﹣ay，从左边到右边的变形属于整式的乘法，故D错误．

故选：C．

【点评】本题主要考查的是因式分解的意义，掌握因式分解的定义是解题的关键．2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）

A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD C．AB=CD D．AC⊥BD

【考点】平行四边形的性质．

【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形对边平行以及对边相等和对角相等分别判断得出即可．

【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，

∴AB∥CD，

∴∠1=∠2，（故A选项正确，不合题意）；

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD=∠BCD，（故B选项正确，不合题意）；

AB=CD，（故C选项正确，不合题意）；

无法得出AC⊥BD，（故D选项错误，符合题意）．

故选：D．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关的性质是解题关键．

3．当x=2时，下列各式的值为0的是（）

A．B．C．D．

【考点】分式的值为零的条件．

【分析】根据分式的值为零的条件进行判断．

【解答】解：A、当x=2时，x2﹣3x+2=0，由于分式的分母不能为0，故A错误；

B、当x=2时，x﹣2=0，分式的分母为0，故B错误；

C、当x=2时，2x﹣4=0，且x﹣9≠0；故C正确；

D、当x=2时，原式=4≠0，故D错误；

故选C．

【点评】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

4．下列图形是中心对称图形的是（）

A．B． C．D．

【考点】中心对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是中心对称图形；

B、是中心对称图形；

C、不是中心对称图形；

D、不是中心对称图形．

故选：B．

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

5．不等式组的解表示在数轴上，正确的是（）

A．B． C．

D．

【考点】在数轴上表示不等式的解集．

【分析】先解不等式组求得解集，再在数轴上表示出来．

【解答】解：解不等式组得﹣1＜x≤2，所以在数轴上表示为

故选D．

【点评】不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

6．若将中的字母x、y的值分别扩大为原来的4倍，则分式的值（）

A．扩大为原来的4倍B．缩小为原来的

C．缩小为原来的D．不变

【考点】分式的基本性质．

【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．

【解答】解：将中的字母x、y的值分别扩大为原来的4倍，则分式的值缩

小为原来的，

故选：C．

【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变．

7．如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=6，BC=4，则EC的长（）

A．1 B．1.5 C．2 D．3

【考点】平行四边形的性质．

【分析】根据平行四边形的性质及AE为角平分线可知：BC=AD=DE=4，又有CD=AB=6，可求EC的长．

【解答】解：根据平行四边形的对边相等，得：CD=AB=6，AD=BC=4．

根据平行四边形的对边平行，得：CD∥AB，

∴∠AED=∠BAE，

又∠DAE=∠BAE，

∴∠DAE=∠AED．

∴ED=AD=4，

∴EC=CD﹣ED=6﹣4=2．

故选C．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．

8．解关于x的方程：=+3会产生增根，则常数m的值等于（）A．5 B．﹣1 C．1 D．6

【考点】分式方程的增根．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣1=0，

求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．

【解答】解：去分母得：x+5=m+3x﹣3，

由分式方程有增根，得到x﹣1=0，即x=1，

把x=1代入整式方程得：6=m+3﹣3，

解得：m=6，

故选D

【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

9．如图，已知直线y1=ax+b与y2=mx+n相交于点A（2，﹣1），若y1＞y2，则x 的取值范围是（）

A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1

【考点】一次函数与一元一次不等式．

【分析】观察函数图象得到当x＞2时，直线y1=ax+b都在直线y2=mx+n的上方，即有y1＞y2．

【解答】解：根据题意当x＞2时，若y1＞y2．

故选B．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

10．如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）

A．3 B．C．D．4

【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．

【分析】根据旋转前后的图形全等，即可得出△APP'等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，进行计算即可．

【解答】解：∵△ACP′是由△ABP绕点A逆时针旋转后得到的，

∴△ACP′≌△ABP，

∴AP=AP′，∠BAP=∠CAP′．

∵∠BAC=90°，

∴∠PAP′=90°，

故可得出△APP'是等腰直角三角形，

又∵AP=3，

∴PP′=3．

故选B．

【点评】此题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，另外要掌握等腰三角形的性质，难度一般．

11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；

其中正确的是（）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，∠ADC=∠

ADE，然后对各小题分析判断即可得解．

【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，

∴CD=DE，故①正确；

在Rt△ACD和Rt△AED中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴AC=AE，∠ADC=∠ADE，

∴AC+BE=AE+BE=AB，故②正确；

AD平分∠CDE，故④正确；

∵∠B+∠BAC=90°，

∠B+∠BDE=90°，

∴∠BDE=∠BAC，故③正确；

综上所述，结论正确的是①②③④共4个．

故选D．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并确定出全等三角形是解题的关键．

12．已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（）

A．﹣6＜a＜﹣5 B．﹣6≤a＜﹣5 C．﹣6＜a≤﹣5 D．﹣6≤a≤﹣5【考点】一元一次不等式组的整数解．

【分析】先解不等式组，然后根据有6个整数解，求出a的取值范围．

【解答】解：解不等式x﹣a＞0得：x＞a，

解不等式2﹣2x＞0得，x＜1，

则不等式组的解集为a＜x＜1，

∵不等式组有6个整数解，

∴﹣6≤a＜5．

故选B．

【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）

13．因式分解：a3﹣a=a（a+1）（a﹣1）．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式=a（a2﹣1）=a（a+1）（a﹣1），

故答案为：a（a+1）（a﹣1）

【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

14．计算：（ab﹣b2）÷=ab2．

【考点】分式的乘除法．

【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．

【解答】解：原式=b（a﹣b）?=ab2．

故答案为：ab2．

【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

15．已知x2﹣（m﹣2）x+49是完全平方式，则m=16或﹣12．

【考点】完全平方式．

【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．

【解答】解：∵x2﹣（m﹣2）x+49=x2﹣（m﹣2）x+72，

∴﹣（m﹣2）x=±2x?7，

解得m=16或m=﹣12．

故答案为：16或﹣12．

【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．

16．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=5．

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．

【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长．

【解答】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，

在Rt△OPD中，cos60°==，OP=12，

∴OD=6，

∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，

∴MD=ND=MN=1，

∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．

故答案为：5．

【点评】此题考查的是勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．

17．有一张一个角为30°，最小变长为4的直角三角形纸片，沿图中所示的中位

线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是8+4或16．

【考点】图形的剪拼；三角形中位线定理．

【分析】根据三角函数可以计算出BC=8，AC=4，再根据中位线的性质可得CD=AD=，CF=BF=4，DF=2，然后拼图，出现两种情况，一种是拼成一个矩形，另一种拼成一个平行四边形，进而算出周长即可．

【解答】解：由题意可得：AB=4，

∵∠C=30°，

∴BC=8，AC=4，

∵图中所示的中位线剪开，

∴CD=AD=2，CF=BF=4，DF=2，

如图1所示：拼成一个矩形，矩形周长为：2+2+4+2+2=8+4；

如图2所示，可以拼成一个平行四边形，周长为：4+4+4+4=16，

故答案为：8+4或16．

【点评】此题主要考查了图形的剪拼，关键是根据画出图形，要考虑全面，不要漏解．

三、解答题

18．（10分）（2016春?雅安期末）（1）解不等式3（x﹣1）＜5x+2，并在数轴上表示解集．

（2）解方程：=﹣．

【考点】解分式方程；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．

【分析】（1）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：（1）去括号得：3x﹣3＜5x+2，

移项合并得：2x＞﹣5，

解得：x＞﹣2.5，

；

（2）去分母得：15x﹣12=4x+10﹣3x+6，

移项合并得：14x=28，

解得：x=2，

经检验x=2是增根，分式方程无解．

【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19．先化简再求值：，其中．

【考点】分式的化简求值．

【分析】先把分子分母因式分解，再约分得到原式=x﹣1，然后把x的值代入计算即可．

【解答】解：原式=?﹣1

=x﹣1，

当x=+1时，原式=+1﹣1=．

【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

20．在如图所示的方格纸中，△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2的顶点及O、P、Q都

在格点上（2016春?雅安期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD 于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，试判断四边形AECF是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．

【考点】平行四边形的性质．

【分析】根据垂直的定义得出∠AEF=∠CFE=90°，利用内错角相等两直线平行可得AE∥CF，再根据平行四边形的性质证明△ABE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．

【解答】解：四边形AECF是平行四边形．理由如下：

∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，

∴∠AEF=∠CFE=90°，

∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行），

在平行四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABE=∠CDF，

在△ABE与△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴AE=CF，

∴四边形AECF是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明得到AE=CF是解题的关键．

22．阅读理解：把多项式am+an+bm+bn分解因式．

解法一：am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（m+n）（a+b）

解法二：am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（m+n）

（a+b）

观察上述因式分解的过程，回答下列问题：

（1）分解因式：m2x﹣3m+mnx﹣3n；

（2）已知：a，b，c为△ABC的三边，且a3﹣a2b+5ac﹣5bc=0，试判断△ABC的形状．

【考点】因式分解的应用．

【分析】（1）首先将原式前两项和后两项分组，进而提取公因式分解因式即可得出答案；

（2）首先将原式前两项和后两项分组，进而提取公因式分解因式即可得出a，b 关系，进而得出△ABC的形状．

【解答】解：（1）m2x﹣3m+mnx﹣3n

=m（mx﹣3）+n（mx﹣3）

=（mx﹣3）（m+n）；

（2）∵a3﹣a2b+5ac﹣5bc=0，

∴a2（a﹣b）+5c（a﹣b）=0，

∴（a﹣b）（a2+5c）=0，

∵a，b，c为△ABC的三边，∴a2+5c≠0，

∴a﹣b=0，∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形．

【点评】此题主要考查了分组分解法的应用，正确将原式分组是解题关键．

23．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线是AP，PQ是线段BC的垂直平分线，PN⊥AB于N，PM⊥AC于M．

求证：BN=CM．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】连接PB、PC，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PM=PN，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PB=PC，然后利用“HL”证明Rt△PMC和Rt△PNB全等，最后根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：如图，连接PB、PC，

∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB于N，PM⊥AC于M，

∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，

∵PQ是线段BC的垂直平分线，

∴PB=PC，

在Rt△PMC和Rt△PNB中，，

∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），

∴BN=CM．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

24．由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有

（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？

（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？

【考点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用．

【分析】（1）先设今年甲型号手机每台售价为x元，根据题意列出方程，解出x的值，再进行检验，即可得出答案；

（2）先设购进甲型号手机m台，根据题意列出不等式组，求出m的取值范围，即可得出进货方案．

【解答】解：（1）设今年甲型号手机每台售价为x元，由题意得，

=，

解得x=1500，

经检验x=1500是方程的解，

答：今年甲型号手机每台售价为1500元．

（2）设购进甲型号手机m台，则乙型号手机（20﹣m）台，由题意得，

，

解得：8≤m≤12，

因为m只能取整数，

所以m取8、9、10、11、12，共有5种进货方案，

方案1：购进甲型号手机8台，乙型号手机12台；

方案2：购进甲型号手机9台，乙型号手机11台；

方案3：购进甲型号手机10台，乙型号手机10台；

方案4：购进甲型号手机11台，乙型号手机9台；

方案5：购进甲型号手机12台，乙型号手机8台．

【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，要能根据题意列出不等式组，关键是根据不等式组的解集求出所有的进货方案，注意解分式方程要检验，是一道