高考数学专题复习：数学函数解题技巧方法总结

高中数学函数知识点总结

1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？

()()

例：函数的定义域是

y x x x =

--432

lg ()()()（答：，，，）022334

函数定义域求法：

● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ● 正切函数x y tan = ???

??∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且

● 余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ●

反三角函数的定义域

函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是

，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，

值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，

值域是 (0, π) .

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 3. 如何求复合函数的定义域？

[]的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。 []

（答：，）a a -

复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。

例 若函数)(x f y =的定义域为??

?

???2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。

分析：由函数)(x f y =的定义域为??

?

???2,21可知：221≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。

解：依题意知：

2log 2

1

2≤≤x

解之，得 42≤≤x ∴ )(log 2x f 的定义域为{}

42|≤≤x x

4、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数y=x

1

的值域

2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

.1

12..2

22

22222

b

a y 型：直接用不等式性质k+x bx

b. y 型,先化简，再用均值不等式

x mx n

x 1 例：y 1+x x+x

x m x n c y 型 通常用判别式

x mx n x mx n

d. y 型

x n

法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉

x x 1（x+1）（x+1）+1 1

例：y （x+1）1211

x 1x 1x 1

=

=++==≤

''

++=++++=+++-===+-≥-=+++

4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例 求函数y=6

54

3++x x 值域。

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例 求函数y=11+-x x e e ，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 1

1cos y θθ

-=+的值域。

22

2

110

11

2sin 11|sin |||1,

1sin 22sin 12sin 1(1cos )

1cos 2sin cos 14sin()1,sin()41sin()11

4即又由知解不等式，求出，就是要求的答案

x x x e y y e y e y y y y y y y

y x y x y y x y

y θθθθθθθ

θθθθθ-+=?=>-+-+=?=≤+--=?-=++-=+++=++=

+++≤≤+

6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=+-25

x log

3

1-x （2≤x ≤10）的值域

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。

例 求函数y=x+1-x 的值域。

8 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例：已知点P （x.y ）在圆x 2+y 2=1上，

2

,(2),2

(,20, (1)

的取值范围 (2)y-2的取值范围

解:(1)令则是一条过(-2,0)的直线. d 为圆心到直线的距离,R 为半径)

(2)令y-2即也是直线d d y

x x y

k y k x x R d x b y x b R +==+-≤=--=≤

例求函数y=

)

2(2

-x +

)

8(2

+x 的值域。

解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。

由上图可知：当点P在线段AB上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10

故所求函数的值域为：[10，+∞）

例求函数y=13

6

2+

-x

x+ 5

4

2+

+x

x的值域

解：原函数可变形为：y=)2

0(

)3

(2

2-

-+

x+)1

0(

)2

(2

2+

++

x

上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当

点P为线段与x轴的交点时， y

m in

=∣AB∣=)1

2(

)2

3(2

2+

++=43，故所求函数的值域为[43，+∞）。

注：求两距离之和时，要将函数

9 、不等式法

利用基本不等式a+b≥2ab，a+b+c≥3abc

3（a，b，c∈R+），求函数的最值，其题型特征解析

式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方

等技巧。

例：

3

3

()1

3

()

3

2

x(3-2x)(0

x x+3-2x

=x x(3-2x)

(应用公式abc时，应注意使3者之和变成常数）

a b c

+

??≤=

++

≤

10.倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况

3

3

2

(0)

1111

33

33

2

22

x

=x x

(应用公式a+b+c时，注意使者的乘积变成常数）

x

x

x x x x

abc

+>

++≥??=

≥

例 求函数y=

3

2

++x x 的值域

2011

202

2012

时，时，=00y x y y x y y =

+≠==+≥?<≤

+=∴≤≤

多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯

我当年的错误，与到手的满分失之交臂 (

)

如：，求f

x e x f x x +=+1().

令，则t x t =+≥10 ∴x t =-21 ∴f t e t t

()=+--2

1

21 ()∴f x e x x x

()=+-≥-2

1

210

6. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域）

()

()

如：求函数的反函数f x x

x x

x ()=+≥-

()()

（答：）f x x x x x -=->--

110()

在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看

这个例题：

(2004.全国理)函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ B ） A ．y=x 2－2x +2(x <1)

B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)

C ．y=x 2－2x (x <1)

D ．y=x 2－2x (x ≥1)

当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想， 一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：

原函数定义域为 x 〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.

我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？ 7. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质： 1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y ） 2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x ） 3、 反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（x,y ）和点（y ，x ）关于直线y=x 对称 ①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设的定义域为，值域为，，，则y f(x)A C a A b C f(a)=b f 1=∈∈?=-()b a [][]

∴====---f f a f b a f f b f a b 111()()()()，

由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如

（04. 上海春季高考）已知函数)24(log )(3+=x

x f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 8 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 判断函数单调性的方法有三种： (1)定义法：

根据定义，设任意得x 1,x 2，找出f(x 1),f(x 2)之间的大小关系

可以变形为求

1212

()()

f x f x x x --的正负号或者12()()f x f x 与1的关系

(2)参照图象：

①若函数f(x)的图象关于点(a ，b)对称，函数f(x)在关于点(a ，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）

②若函数f(x)的图象关于直线x ＝a 对称，则函数f(x)在关于点(a ，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数） (3)利用单调函数的性质：

①函数f(x)与f(x)＋c(c 是常数)是同向变化的

②函数f(x)与cf(x)(c 是常数)，当c ＞0时，它们是同向变化的；当c ＜0时，它们是反向变化的。 ③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）

④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘） ⑤函数f(x)与

1

()

f x 在f(x)的同号区间里反向变化。

⑥若函数u ＝φ(x)，x[α，β]与函数y ＝F(u)，u ∈[φ(α)，φ(β)]或u ∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y ＝F[φ(x)]是递增的；若函数u ＝φ(x),x[α，β]与函数y ＝F(u)，u ∈[φ(α)，φ(β)]或u ∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y ＝F[φ(x)]是递减

的。（同增异减）

－1

()

如：求的单调区间y x x =-+log 12

22

（设，由则u x x u x =-+><<22002 ()且，，如图：log 12

2

11u u x ↓=--+

当，时，，又，∴x u u y ∈↑↓↓(]log 0112

当，时，，又，∴x u u y ∈↓↓↑[)log 1212

∴……）

9. 如何利用导数判断函数的单调性？

()在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于a b f x f x '()()≥0

零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？f x '()≤0

[)如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大a f x x ax a >=-+∞013()值是（ ） A. 0

（令f x x a x a x a '()=-=+??

???-?? ?

??≥333302

则或x a x a

≤-

≥

33

由已知在，上为增函数，则

，即f x a

a ()[)13

13+∞≤≤

∴a 的最大值为3）

10. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）

若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-?? 若总成立为偶函数函数图象关于轴对称f x f x f x y ()()()-=??

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0=

如：若·为奇函数，则实数f x a a a x x ()=

+-+=22

21

（∵为奇函数，，又，∴f x x R R f ()()∈∈=000

即

·，∴）a a a 22

21

0100+-+== 又如：为定义在，上的奇函数，当，时，，f x x f x x

x

()()()()-∈=+1101241

()求在，上的解析式。f x ()-11

()()（令，，则，，x x f x x

x ∈--∈-=+--1001241()

又为奇函数，∴f x f x x x x

x

()()=-+=-+--241214

()

又，∴，，）f f x x x x x

x

x

x ()()()00241

100241

01==-+∈-=+∈??

?????

11.判断函数奇偶性的方法

一、 定义域法

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. 二、 奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)(x f -，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)

1 偶函数 f(-x)f(x)

1 奇函数f(-x)

==- 三、 复合函数奇偶性

12. 你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数（），在定义

T T ≠0函数，T 是一个周期。）

()如：若，则

f x a f x +=-()

（答：是周期函数，为的一个周期）f x T a f x ()()=2

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这

个函数周期2t. 推导：()()0()(2)()(2)0f x f x t f x f x t f x t f x t ++=?

=>=+?+++=?

，

同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a 对称。 如：

()()()()()

()(2)(2)(2)

()(2)2,222,()(22)()(22)

,()2||(,,,f x x a x b f a x f a x f b x f b x f x f a x f a x f b x f x f b x t a x b x t b a f t f t b a f x f x b a f x b a a b ==+=-+=-=-??=>=>-=-??=-??

=--=+-=+-=+--又如：若图象有两条对称轴，即，令则即所以函数以为周期因不知道的大小关系为保守起见我加了一个绝对值

13. 你掌握常用的图象变换了吗？

f x f x y ()()与的图象关于轴对称- 联想点（x,y ）,(-x,y)

f(g) g(x) f[g(x

)]

f(x)+g(

x) f(x)*g(x) 奇 奇 奇 奇

偶 奇 偶 偶 非奇非偶

奇 偶 奇 偶 非奇非偶 奇 偶

偶

偶

偶

偶

f x f x x ()()与的图象关于轴对称- 联想点（x,y ）,(x,-y) f x f x ()()与的图象关于原点对称-- 联想点（x,y ）,(-x,-y) f x f x y x ()()与的图象关于直线对称-=1 联想点（x,y ）,(y,x) f x f a x x a ()()与的图象关于直线对称2-= 联想点（x,y ）,(2a-x,y) f x f a x a ()()()与的图象关于点，对称--20 联想点（x,y ）,(2a-x,0)

将图象左移个单位右移个单位y f x a a a a y f x a y f x a =>?→????????>=+=-()()()()()00上移个单位下移个单位b b b b y f x a b y f x a b

()()()()>?→

????????>=++=+-00

（这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。） 注意如下“翻折”变换：

()|()|x ()(||)y f x f x f x f x ??→??→把轴下方的图像翻到上面

把轴右方的图像翻到上面 ()如：f x x ()log =+21

()作出及的图象y x y x =+=+log log 2211

y=log 2x

14. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

()（）一次函数：10y kx b k =+≠ (k 为斜率，b 为直线与y 轴的交点)

()()（）反比例函数：推广为是中心，200y k x k y b k x a

k O a b =≠=+-≠'() 的双曲线。

()（）二次函数图象为抛物线302442

2

2y ax bx c a a x b a ac b a

=++≠=+?? ???+-

顶点坐标为，，对称轴--?? ???=-b a ac b a x b

a 24422

开口方向：，向上，函数a y ac b a

>=-0442

min

a y ac

b a

<=-0442，向下，max

1212122,,|||

|b x a

b c

x x x x x x a a a -±=

+=-?=-=

根的关系：

2212121212()()

()()(m n ()()()(,2()()()(,)(,)

f x ax bx c f x a x m n f x a x x x x x x f x a x x x x h x h x h =++=-+=--=--+二次函数的几种表达形式：一般式顶点式，（，）为顶点是方程的个根）函数经过点（

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax bx c x x y ax bx c x 212200++=>=++，时，两根、为二次函数的图象与轴? 的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。ax bx c 200++><()

②求闭区间［m ，n ］上的最值。

2

max (),min ()2max (),min ()

2224min ,max max((),())

4m,n 0b

n f f m f f n a b

m f f n f f m a b

n m a

c b a f f f m f n a

a <-==>-==<-<-==>区间在对称轴左边（） 区间在对称轴右边（） 区间在对称轴边 （） 也可以比较和对称轴的关系，距离越远，值越大

(只讨论的情况）

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

如：二次方程的两根都大于ax bx c k b a k f k 2

0020

++=?≥->>????????()

一根大于，一根小于k k f k ?<()0

0m n 22()0

()0m n ()()0

b m n a

f m f n f m f n ?≥???<-

?>???<在区间（，）内有根在区间（，）内有1根 ()（）指数函数：，401y a a a x =>≠ ()（）对数函数，501y x a a a =>≠log

由图象记性质！

（注意底数的限定！）

a x(a>1)

()（）“对勾函数”60y x k

x

k =+

> （均值

15. 你在基本运算上常出现错误吗？ 指数运算：，a a a a a p p

0101

0=≠=≠-(()) a

a

a a

a

a m n

m

n m n

m

n

=≥=

>-

((01

0))，

()log ()log log 00a a a M N M N M N ?=+>>对数运算：， log log log log log a

a a a n a M N M N M n

M =-=，1

对数恒等式：a x a x log =

log log log log log 1

log log m n c a a a c a x b n

b b b a m

x a

=

?==

对数换底公式：

16. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）

如：（），满足，证明为奇函数。1x R f x f x y f x f y f x ∈+=+()()()()() （先令再令，……）x y f y x ==?==-000()

（），满足，证明是偶函数。2x R f x f xy f x f y f x ∈=+()()()()() []（先令·x y t f t t f t t ==-?--=()()() ∴f t f t f t f t ()()()()-+-=+ ∴……）f t f t ()()-=

()[]

（）证明单调性：……32212f x f x x x ()=-+=

（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了 1、 代y=x ，

2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)

3、 求奇偶性，令y=—x ；求单调性：令x+y=x 1

几类常见的抽象函数

1. 正比例函数型的抽象函数

f （x ）＝kx （k ≠0）---------------f （x ±y ）＝f （x ）±f （y ） 2. 幂函数型的抽象函数

f （x ）＝x a ----------------f （xy ）＝ f （x ）f （y ）；f （y x ）＝)

()(y f x f 3.

指数函数型的抽象函数

f （x ）＝a x ------------------- f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）；f （x －y ）＝)

()

(y f x f 4.

对数函数型的抽象函数

f （x ）＝lo

g a x （a >0且a ≠1）-----f （x ·y ）＝f （x ）＋f （y ）；f （y

x

）＝ f （x ）－f （y ） 5.

三角函数型的抽象函数

f （x ）＝t gx-------------------------- f （x ＋y ）＝

)

()(1)

()(y f x f y f x f -+

f （x ）＝cot x------------------------ f （x ＋y ）＝

)

()(1

)()(y f x f y f x f +-

例1已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>0，f (－1)＝ －2求f (x )在区间[－2,1]上的值域.

分析：先证明函数f （x ）在R 上是增函数（注意到f （x 2）＝f [（x 2－x 1）＋x 1]＝f （x 2－x 1）＋f （x 1））；再根据区间求其值域.

例2已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＋2＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>2，f (3)＝ 5，求不等式 f （a 2－2a －2）<3的解.

分析：先证明函数f （x ）在R 上是增函数（仿例1）；再求出f （1）＝3；最后脱去函数符号.

例3已知函数f （x ）对任意实数x 、y 都有f （xy ）＝f （x ）f （y ），且f （－1）＝1，f （27）＝9，当0≤x ＜1时，f （x ）∈[0，1]. （1）判断f （x ）的奇偶性；

（2）判断f （x ）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明； （3）若a ≥0且f （a ＋1）≤39，求a 的取值范围. 分析：（1）令y ＝－1； （2）利用f （x 1）＝f （

21x x ·x 2）＝f （2

1x x

）f （x 2）； （3）0≤a ≤2.

例4设函数f （x ）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x 1≠x 2，使得f （x 1）≠f （x 2）；对任何x 和y ，f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）成立.求：

（1）f （0）；

(2)对任意值x ，判断f （x ）值的符号. 分析：（1）令x= y ＝0；（2）令y ＝x ≠0.

例5是否存在函数f （x ），使下列三个条件：①f （x ）>0,x ∈N ；②f （a ＋b ）＝ f （a ）f （b ），a 、b ∈N ；③f （2）＝4.同时成立？若存在，求出f （x ）的解析式，若不存在，说明理由.

分析：先猜出f （x ）＝2x ；再用数学归纳法证明.

例6设f （x ）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f （x ·y ）＝f （x ）＋f （y ），f （3）＝1，求：

（1） f （1）；

（2） 若f （x ）＋f （x －8）≤2，求x 的取值范围. 分析：（1）利用3＝1×3；

（2）利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数y ＝ f （x ）的反函数是y ＝g （x ）.如果f （a b ）＝f （a ）＋f （b ），那么g （a ＋b ）＝g （a ）·g （b ）是否正确，试说明理由.

分析：设f （a ）＝m ，f （b ）＝n ，则g （m ）＝a ，g （n ）＝b ， 进而m ＋n ＝f （a ）＋f （b ）＝ f （a b ）＝f [g （m ）g （n ）]….

例8已知函数f （x ）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件： ①

x 1、x 2是定义域中的数时，有f （x 1－x 2）＝

)

()(1

)()(1221x f x f x f x f -+；

② f （a ）＝ －1（a ＞0，a 是定义域中的一个数）； ③ 当0＜x ＜2a 时，f （x ）＜0. 试问： （1） f （x ）的奇偶性如何？说明理由； （2） 在（0，4a ）上，f （x ）的单调性如何？说明理由. 分析：（1）利用f [－（x 1－x 2）]＝ －f [（x 1－x 2）]，判定f （x ）是奇函数； （3） 先证明f （x ）在（0，2a ）上是增函数，再证明其在（2a ，4a ）上也是增函数. 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例9已知函数f （x ）（x ≠0）满足f （xy ）＝f （x ）＋f （y ）， （1） 求证：f （1）＝f （－1）＝0； （2） 求证：f （x ）为偶函数；

（3） 若f （x ）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f （x ）＋f （x －2

1

）≤0.

分析：函数模型为：f （x ）＝lo g a |x |（a ＞0） （1） 先令x ＝y ＝1，再令x ＝y ＝ －1； （2） 令y ＝ －1； （3） 由f （x ）为偶函数，则f （x ）＝f （|x |）.

例10已知函数f （x ）对一切实数x 、y 满足f （0）≠0，f （x ＋y ）＝f （x ）·f （y ），且当x ＜0时，f （x ）＞1，求证：

（1） 当x ＞0时，0＜f （x ）＜1； （2） f （x ）在x ∈R 上是减函数. 分析：（1）先令x ＝y ＝0得f （0）＝1，再令y ＝－x ； （3） 受指数函数单调性的启发： 由f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）可得f （x －y ）＝

)

()

(y f x f ， 进而由x 1＜x 2，有

)

()

(21x f x f ＝f （x 1－x 2）＞1. 练习题：

1.已知：f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ）对任意实数x 、y 都成立，则（ ） （A ）f （0）＝0 （B ）f （0）＝1 （C ）f （0）＝0或1 （D ）以上都不对

2. 若对任意实数x 、y 总有f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），则下列各式中错误的是（ ）

（A ）f （1）＝0 （B ）f （x 1

）＝ f （x ）

（C ）f （

y

x

）＝ f （x ）－f （y ） （D ）f （x n ）＝nf （x ）（n ∈N ） 3.已知函数f （x ）对一切实数x 、y 满足：f （0）≠0，f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ），且当x ＜0时，f （x ）＞1，则当x ＞0时，f （x ）的取值范围是（ ） （A ）（1，＋∞） （B ）（－∞，1） （C ）（0，1） （D ）（－1，＋∞）

4.函数f （x ）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x 1、x 2都有

f （x 1－x 2）＝

)

()(1)

()(2121x f x f x f x f +-，则f （x ）为（ ）

（A ）奇函数非偶函数 （B ）偶函数非奇函数 （C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）非奇非偶函数

5.已知不恒为零的函数f （x ）对任意实数x 、y 满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2[f （x ）＋f （y ）]，则函数f （x ）是（ ）

（A ）奇函数非偶函数 （B ）偶函数非奇函数 （C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）非奇非偶函数 参考答案：

1．A 2．B 3 ．C 4．A 5．B

函数典型考题

1.若函数)127()2()1()(2

2

+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是 （B ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 2．已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递减，求满足

22(23)(45)f x x f x x ++>---的x 的集合．

．解： ()f x 在R 上为偶函数，在(,0)-∞上单调递减

()f x ∴在(0,)+∞上为增函数 又22(45)(45)f x x f x x ---=++

2223(1)20x x x ++=++>，2245(2)10x x x ++=++>

由2

2

(23)(45)f x x f x x ++>++得 222345x x x x ++>++

1x ∴<- ∴解集为{|1}x x <-.

3.若f (x )是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数,且f （lg x ）>f (1),则x 的取值范围是（ C ）

A. (

110，1) B. (0，110

)(1，+∞) C. (

1

10

，10) D. (0，1)(10，+∞)

4.若a 、b 是任意实数，且a >b ,则 （ D ）

A. a 2>b 2

B. a b <1

C. ()lg a b - >0

D.12a ?? ???<12b

??

???

5.设a,b,c 都是正数，且346a b c ==，则下列正确的是 （B ）

(A) 11

1c a

b =

+ (B) 221C a b =+ (C) 122C a b =+ (D) 212c a b =+

6．对于函数()()2

1f x ax bx b =++-（0a ≠）．

（Ⅰ）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的零点；

（Ⅱ）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的零点，求实数a 的取值范围． 7. 二次函数2

y ax bx c =++中，0a c ?<，则函数的零点个数是（ C ） A 0个 B 1个 C 2个 D 无法确定

8．若函数()b ax x x f --=2

的两个零点是2和3,则函数()12

--=ax bx x g 的零点是（D ）

A ．1- 和2-

B ．1 和2

C ．

21和31 D ．2

1-和31

- 9．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是

奇函数又是偶函数的函数一定是()f x ＝0（x ∈R ），其中正确命题的个数是（ D ） A 4 B 3 C 2 D 1

10.已知函数f(x 2-3)=lg 6

22

-x x

,

(1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性；

(3)求f(x)的反函数; (4)若f[)(x φ]=lgx,求)3(φ的值。

解：（1）∵f(x 2-3)=lg

3

)3(3)3(2

2--+-x x ,∴f(x)=lg 33

-+x x ,又由0622>-x x 得x 2-3>3,∴ f(x)的定义域为（3，+∞）。 （2）∵f(x)的定义域不关于原点对称，∴ f(x)为非奇非偶函数。

（3）由y=lg ,33-+x x 得x=

110)110(3-+y y , x>3,解得y>0, ∴f -1(x)=)0(1

10)110(3>-+x x x (4) ∵f[)3(φ]=lg

3lg 3)3(3)3(=-+φφ,∴33

)3(3

)3(=-+φφ，解得φ(3)=6。

11.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（ C ）

（A ）y=2x x e e -+（B ）y=lg x

x

+-11（C ）y=-x 3 （D ）y=x

零点问题