初一数学绝对值的化简和有理数的计算

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第三讲：绝对值化简和有理数的计算

第一部分：化简绝对值

【知识点一】：采用零点分段讨论法

【例1】：化简

【归纳点评】虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：

1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）．

2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定．

3．在各区段内分别考察问题．

4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．

【课堂练习】：

化简|x+2|+|x-3|

第二部分：有理数的计算

一、注意事项：

①有理数的加、减、乘、除四则混合运算，一定要先把减法改成加法，除法改成乘法。这样可以防止出错。

②应注意灵活运用运算律，使计算简便化，对互为相反数其和为零的要优先解决。

③在进行有理数的加减法运算时，先观察有没有相加后为0的数，若有，先将它们结合起来；然后把同分母的数相加；若是带分数，还可以将其整数和分数部分分别结合相加；若既有小数又有分数，通常将小数化为分数（熟记一些常见的数据：0.125=____，0.25=______，0.375=____，0.75=______等）。在进行有理数混合运算时，若有公因数，一般先提出，然后运算。有时可以利用因数之间关系获得公因数。在运算过程中应注意符号的变化。

二、运算顺序

三、运算技巧

①归类组合：运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。

例：计算：－(0.5)－(－3

41) + 2.75－(72

②凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．

例：计算：--+-+-116223445513116

38.

③分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。

例：计算：111125434236

-+-+

④约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。

例：计算：()()61112.50.125 1.250.6215284??-??-?÷??? ??

⑤倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。

例：计算12003220033200340052003

++++ 2120034005200322003400420034005200312003

A =++++++()()() 即224005A =?，所以A =4005

所以原式＝4005

⑥裂项相消法:凡是带有省略号的分数加减运算，可以用这种方法

例：2005112123134120032004120042005??+?+?++?+?(

)

例：

解：应用关系式

来进行“拆项”。原式

⑦正逆用运算律：正难则反, 逆用运算定律以简化计算。

例：计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．

⑧变序

例：计算：()()()412.5310.15??-?+?-?- ???

例：计算：[4

125＋(－71)]＋[(－72)＋612

有理数及其运算综合复习

一、选择题

1.一个有理数与它的相反数的积 ( ).

(A) 是正数 (B) 是负数

2.如果两个有理数的积小于零，和大于零，那么这两个有理数（）

（A ）符号相反（B ）符号相反且绝对值相等

（C ）符号相反且负数的绝对值大（D ）符号相反且正数的绝对值大

3. 在数轴上，一动点A 向左移动2个单位长度到达点B ，再向右移动5个单位长度到达点C ．若点C 表示的数为1，则点A 表示的数为 ( )

A ．7

B ．3

C ．－3

D ．－2

4. 如图，数轴上A B 、两点分别对应实数a b 、，

则下列结论正确的是（）

A ．0a b +>

B ．0ab >

C ．0a b ->

D ．||||0a b ->

5．下列结论正确的是（）

A. －a 一定是负数

B. －|a|一定是非正数

C. |a|一定是正数 D . |a|一定是负数

6.已知a 、b 是不为0的有理数，且b a b b a a >=-=,,,那么在使用数轴上的点来表示a 、b 时，应是 ( ) ．

A B C D 7、一个数的相反数大于它本身，这个数是（）

Ａ．正数Ｂ．负数Ｃ．０Ｄ．非负数

8、以下关系一定成立的是（）

Ａ．若｜ａ｜＝｜ｂ｜,则ａ＝ｂ

Ｂ.若｜ａ｜＝ａ, 则ａ＞0

Ｃ. 若｜ａ｜＋ａ＝0,则ａ≤０

Ｄ.若ａ>ｂ, 则｜ａ｜＞｜b ｜.

9．绝对值大于2且小于5的所有整数的和是（）

A.7

B.－7

C.0

D.5

10．2-的相反数是

( )