初中竞赛数学18.乘法公式(含答案)

18.乘法公式

知识纵横

乘法公式(multiplication formula)是在多项式乘法的基础上,?将多项式乘法的一般法

则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、?又有实用性的具体结论，在复杂

的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应

用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：

1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式;

2.根据待求式的特点,模仿套用公式;

3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式;

4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式.

例题求解

【例1】?(?1)?已知两个连续奇数的平方差为?2000,?则这两个连续奇数可以是______.

(江苏省竞赛题)

(2)已知(2000-a)·(1998-a)=1999,那么,(2000-a)2+(1998-a)2=________.

(2000年重庆市竞赛题)

思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组;(2)视(2000-a)·(1998-a)为整体,?由平方

和想到完全平方公式(formula for the square the sum)及其变形.

解:(1)设两个连续奇数为x,y,且x>y,则

222000

2

x y

x y

?-=±

?

-=

?

得x+y=1000或x+y=-1000,解得(x,y)=(499,501)或(-501,-499).

(2)4002 提示:(2000-a)2+(1998-a)2=[(2000-a)-(1998-a)]2+2(2000-a)·(1998-a)

【例2】若x是不为0的有理数,已知M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),则M

与N 的大小关系是( ). (“祖冲之”杯邀请赛试题)

A.M>N

B.M

C.M=N

D.无法确定

思路点拨 运用乘法公式,在化简M 、N 的基础上,作差比较它们的大小.

解:选B

【例3】计算:

(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1; (天津市竞赛题)

(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452. (江苏省竞赛试题)

思路点拨 若按部就班计算,显然较繁,能否用乘法公式,简化计算,关键是对待求式恰当变形,使之符合乘法公式的结构特征,对于(2),由于数字之间有联系,?可用字母表示数(称为换元),将数值计算转化为式的计算,更能反映问题的本质特征.

解:(1)原式=(7-1)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1=716

(2)设1.345=x,则原式=x(x-1)·2x-x 3-x(x-1)2=-x=-1.345

【例4】(1)已知x 、y 满足x 2+y 2+54=2x+y,求代数式xy x y

+的值. (“希望杯”邀请赛试题) (2)整数x,y 满足不等式x 2+y 2+1≤2x+2y,求x+y 的值. (第14届“希望杯”邀请赛试题)

(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.

甲商场:?第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;

乙商场:两次提价的百分率都是 2

a b + (a>0,?b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,?

则哪个商场提价最多?说明理由. (2003年河北省竞赛题)

思路点拨 对于(1)、(2)两个未知数一个等式或不等式,?须运用特殊方法与手段方能求出x 、y 的值,由平方和想到完全平方公式及其逆用,解题的关键是拆项与重组;对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示,作差比较它们的大小.

解:(1)提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12

,原式=13

(2)原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,

(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,?

所以可能有的结果是1010x y -=??-=?或1110

x y -=±??-=?或1011x y -=??-=±?,

解得11x y =??=?或21x y =??=? 或 12x y =??=?或10x y =??=?

,x+y=1或2或3 (3)甲、乙、丙三个商场两次提价后,价格分别为

(1+a)(1+b)=1+a+b+ab; (1+2a b +)·(1+2a b +)=1+(a+b)+( 2

a b +)2; (1+b)(1+a)=1+a+b+ab; 因(

2a b +)2-ab>0,所以(2a b +)2>ab, 故乙商场两次提价后,价格最高.

【例5】已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数. 证明:

(1)b 与c 两数必为一奇一偶; (2)2(a+b+1)是完全平方数.

思路点拨 从a 2+b 2=c 2的变形入手;a 2=c 2-b 2,运用质数、奇偶数性质证明.

解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,

故a?不可能为偶质数2,a 应为奇质数,c+b 与c-b 同奇同偶,b 与c 必为一奇一偶.

(2)c+b=a 2,c-b=1,两式相减,得2b=a 2-1,

于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a 2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.

学力训练

一、 基础夯实

1.观察下列各式:

(x-1)(x+1)=x 2-1;

(x -1)(x 2+x+1)=x 3-1;

(x -1)(x 3+x 2+x+1)=x 4-1.

根据前面的规律可得 (x -1)(x n +x n-1+…+x+1)=_______.(2001年武汉市中考题)

2.已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a b a b

+-=_____. (2001年杭州市中考题) 3.计算:(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655=_______;

(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________;

(3) 2

221999199819991997199919992

+-=___________. 4.如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形,?请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式________.

(2003年太原市中考题) 5.已知a+1a =5,则=4221a a a

++=_____. (2003年菏泽市中考题)

6.已知a-b=3,b+c=-5,则代数式ac-bc+a 2-ab 的值为( ).

A.-15

B.-2

C.-6

D.6 (2003年扬州市中考题)

7.乘积(1-212)(1-2

13)……(1-211999)(1-212000)等于( ). A. 19992000 B. 20012000 C. 19994000 D. 20014000

(2002年重庆市竞赛题)

8.若x -y=2,x 2+y 2=4,则x 2002+y 2002的值是( ).

A.4

B.2002

C.2

D.4

9.若x 2-13x+1=0,则x 4+41x

的个位数字是( ). A.1 B.3 C.5 D.7

10.如图①,在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②),通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是

(

).

A.a 2-b 2=(a+b)(a -b)

B.(a+b)2=a 2+2ab+b 2

C.(a -b)2=a 2-2ab+b

D.(a+2b)(a -b)=a 2+ab -2b 2 (2002年陕西省中考题)

11.(1)设x+2z=3y,试判断x 2-9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?如果是定值,?求出它的值;否则请说明理由.

(2)已知x 2-2x=2,将下式先化简,再求值:(x -1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1).

(2003年上海市中考题)

12.一个自然数减去45后是一个完全平方数,这个自然数加上44后仍是一个完全平方数,试求

这个自然数.

13.观察:1·2·3·4+1=52

2·3·4·5+1=112

3·4·5·6+1=192

……

(1)请写了一个具有普遍性的结论,并给出证明;

(2)根据(1),计算2000·2001·2002·2003+1的结果(用一个最简式子表示).

(2001年黄冈市竞赛题)

二、能力拓展

14.你能很快算出19952吗?

为了解决这个问题,我们考察个位上的数字为5的自然数的平方,?任意一个个位数为5

的自然数可写在10n+5(n为自然数),即求(10n+5)2的值,试分析n=1,n=2,n=3,……这些简单情形,

从中探索其规律,并归纳猜想出结论.

(1)通过计算,探索规律.

152=225可写成100×1×(1+1)+25;

252=625可写成100×2×(2+1)+25;

352=1225可写成100×3×(3+1)+25;

452=2025可写成100×4×(4+1)+?25;?

……

752=?5625?可成写__________;852=7225可写成__________.

(2)从第(1)题的结果,归纳,猜想得(10n+5)2=________.

(3)根据上面的归纳猜想,请算出19952=________. (福建省三明市中考题)

15.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=________.(2001天津市选拨赛试题)

16.(1)若x+y=10,x3+y3=100,则x2+y2=________. (2)若a-b=3,则a3-b3-9ab=________.

17.1,2,3,?……,?98?共98?个自然数中,?能够表示成两整数的平方差的个数是________.

(全国初中数学联赛试题)

18.已知a-b=4,ab+c2+4=0,则a+b=( ).

A.4

B.0

C.2

D.-2

19.方程x2-y2=1991,共有( )组整数解.

A.6

B.7

C.8

D.9

20.已知a、b满足等式x=a2+b2+20,y=4(2b-a),则x、y的大小关系是( ).

A.x≤y

B.x≥y

C.x

D.x>y (2003年太原市竞赛题)

21.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2-?ab-?bc-c a的值为

( ).

A.0

B.1

C.2

D.3 (2002年全国初中数学竞赛题)

22.设a+b=1,a2+b2=2,求a7+b7的值. (西安市竞赛题)

23.已知a满足等式a2-a-1=0,求代数式a8+7a-4的值. (2003年河北省竞赛题)

24.若x+y=a+b,且x2+y2=a2+b2,求证:x1997+y1997=a1997+b1997. (北京市竞赛题)