空间几何体教案

第一章课文目录

1．1 空间几何体的结构

1．2 空间几何体的三视图和直观图

1．3 空间几何体的表面积与体积

重难点：

1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

2、画出简单组合体的三视图。

3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。

4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推导。

5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

知识结构：

一、空间几何体的结构、三视图和直观图

1．柱、锥、台、球的结构特征

（1）柱

棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

棱柱与圆柱统称为柱体；

（2）锥

棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

棱锥与圆锥统称为锥体。

（3）台

棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。

圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。

圆台和棱台统称为台体。

（4）球

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

（5）组合体

由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。

几种常凸多面体间的关系

名称棱柱直棱柱正棱柱

图形

定义有两个面互相平

行，而其余每相

邻两个面的交线

都互相平行的多

面体

侧棱垂直于底面

的棱柱

底面是正多边形的

直棱柱

侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形

平行于底面的截面

的形状与底面全等的多

边形

与底面全等的多

边形

与底面全等的正多

边形

名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形

定义有一个面是多

边形，其余各面

是有一个公共

顶点的三角形

的多面体

底面是正多边

形，且顶点在底

面的射影是底

面和截面之间

的部分

用一个平行于

棱锥底面的平

面去截棱锥，底

面和截面之间

的部分

由正棱锥截得

的棱台

侧棱相交于一点但

不一定相等

相交于一点且

相等

延长线交于一

点

相等且延长线

交于一点

侧面的形状三角形全等的等腰三

角形

梯形全等的等腰梯

形

对角面

的形状

三角形等腰三角形梯形等腰梯形

平行于底的截面形状与底面相似的

多边形

与底面相似的

正多边形

与底面相似的

多边形

与底面相似的

正多边形

其他性质高过底面中心；

侧棱与底面、侧

面与底面、相邻

两侧面所成角

都相等

两底中心连线

即高；侧棱与底

面、侧面与底

面、相邻两侧面

所成角都相等

几种特殊四棱柱的特殊性质：

名称特殊性质

平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分

直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分

长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分

正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分

2．空间几何体的三视图

三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。

他具体包括：

（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；

（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；

（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；三视图画法规则：

高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等

3．空间几何体的直观图

（1）斜二测画法

①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX ，OY ，建立直角坐标系；

②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O ’X ’

,O ’Y ’

,使'''

X OY ∠=45

（或1350

），它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘

轴，且长度

保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘

轴，且长度变为原来的一半；

④擦去辅助线，图画好后，要擦去X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）。（2）平行投影与中心投影

平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。注意：画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。

例题讲解：

[例1]将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）

[例2]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线（） A ．不存在

B ．有且只有两条

C ．有且只有三条

D ．有无数条

侧视

图

．

[例3]正方体

的棱长为，点是的中点，点

是平面内的一个动点，且满足，到直线的轨迹是（）

圆双曲线两个点

直线

解析：点到，则点到的距离为，满足此条件的的轨迹是到直线的距离为的两条平行直线，

又2

PM=

Q，∴满足此条件的的轨迹是以为圆心，半径为的圆，这两种轨迹只有两个交点

故点的轨迹是两个点。选项为。

点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。

[例4]两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为的正方体内，使正四棱

锥的底面与正方体的某一个平面平行，且各顶点

．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（）

．个．个．个．无穷多个

解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形的面积，问题转化为边长为的正方形的内接正方形有多少种，所以选。

点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。题型：空间几何体的定义

[例5]长方体

1111

ABCD A B C D

-的个顶点在同一个球面上，且， 3，

AA，则顶点、间的球面距离是

．

2π

．

2π

．π2 ． π2

解析：

BD AC R

===

∴=设

BD AC O

I则OA

OB R

===

AOB

?∠=,

l R

∴==故选Ｂ.

点评：抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。

[例6]已知直线和平面β

α,满足β

α⊥

⊥

⊥,

m 则

.A nβ

⊥ ,

.β

B或β

n α

⊥

C. ,

.α

D或α

解析：易知D正确.

点评：对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。题型：空间几何体中的想象能力

[例7]如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为的菱形，060=∠BCD ，

是的中点， ⊥底面，3=PA 。

（）证明：平面 ⊥平面；（）求二面角和的大小。

解析：解法一（）如图所示连结,BD 由ABCD 是菱形且0

60=∠BCD 知，

BCD △是等边三角形因为是的中点，所以

,BE CD ⊥又,AB CD //所以,BE AB ⊥

又因为 ⊥平面，BE ?平面，

所以,BE PA ⊥而,AB A =I PA 因此 BE ⊥平面

又BE ?平面，所以平面 ⊥平面

（）由（）知，BE ⊥平面 PB ?平面所以.PB BE ⊥

又,BE AB ⊥所以PBA ∠是二面角A BE P --的平面角．在Rt PAB △中 tan 3,60.

PA PBA PBA AB

∠=

=∠=o

．故二面角A BE P --的大小为60.o

解法二：如图所示,以A 为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是

(000),A ，，(100),B ，，33(0),2C ，13(0),2D ，(003),P ，3

(10).E ，（）因为3

0),BE =u u u r 平面的一个法向量是0(010),n =u u r ，，所以BE u u u r 和0n u u r 共线从而BE ⊥平面又因为BE ?平面，所以平面 ⊥平面

（）易知3

(10,3),(0,0),2

PB BE =-=u u u r u u u r ，

设1n u r 111()x y z =，，是平面的一个法向量 P A B

E D

则由1

100n PB n BE ??=???=??u r u u u r u r u u u r ，

得111111000002

x y x y z ?+?-=???+

+?=??，

所以111.y x ==0，故可取1n u

r 1).=，而平面的一个法向量是2(001).n =u u r

，，

于是 1212121

cos ,.2

||||n n n n n n ?<>==u r u u r u r u u r u r u u r g ．故二面角A BE P --的大小为60.o

点评：解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空间想象能力。

[例8]如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o ，AP BP AB ==，

PC AC ⊥．

（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；

（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小．解析：解法一：

（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，． AP BP =Q ， PD AB ∴⊥． AC BC =Q ， CD AB ∴⊥． PD CD D =Q I ，

AB ∴⊥平面PCD ． PC ?Q 平面PCD ， PC AB ∴⊥．

（Ⅱ）AC BC =Q ，AP BP =， APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥．

又90ACB ∠=o

，即AC BC ⊥，且AC PC C =I ，

BC ∴⊥平面PAC ．

取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =Q ，BE AP ∴⊥．

EC Q 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．

BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．

在BCE △中，90BCE ∠=o

，2BC =

，2

BE AB =

sin 3

BC BEC BE ∴∠=

=． ∴二面角B AP C --

的大小为arcsin

．解法二：

（Ⅰ）AC BC =Q ，AP BP =， APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥． AC BC C =Q I ，

PC ∴⊥平面ABC ． AB ?Q 平面ABC ， PC AB ∴⊥．

（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -．则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，．设(00)P t ，，．

PB AB ==Q

2t ∴=，(002)P ，

，．取AP 中点E ，连结BE CE ，．

AC PC =Q ，AB BP =，

CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．

BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．

(011)E Q ，，，

(011)EC =--u u u r ，，，(211)EB =--u u u r ，，，

cos EC EB BEC EC EB

∴∠==

=u u u r u u u r g u u u r u u u r g ． ∴二面角B AP C --

的大小为arccos

．点评：在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。

[例9]画正五棱柱的直观图，使底面边长为侧棱长为。

解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于轴方向平移即可得。作法：

（）画轴：画，，轴，使（或），。（）画底面：按轴，轴画正五边形的直观图。

（）画侧棱：过、、、、各点分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取，，，，。

（）成图：顺次连结，，，，，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线。

点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。

[例10]C B A '''?是正的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若C B A '''?的面积为

3，那么的面积为。

解析：62。

点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。

[例11] 如图，在棱长为的正方体ABCD A B C D ''''-中，（），截面 A D '，截面 AD '．

（）证明：平面和平面互相垂直；（）证明：截面和截面面积之和是定值，

并求出这个值；

（）若D E '与平面所成的角为45o

，求D E '与平

面所成角的正弦值．本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。解析：解法一：

（Ⅰ）证明：在正方体中，AD A D ''⊥，AD AB '⊥，又由已知可得

PF A D '∥，PH AD '∥，PQ AB ∥，

所以PH PF ⊥，PH PQ ⊥，所以PH ⊥平面PQEF ．

所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直．（）证明：由（）知

PF PH '==，，又截面和截面都是矩形，且，所以截面

和截面面积之和是

)PQ '?=，是定值．

（）解：连结交于点．因为PH AD '∥，PQ AB ∥，

A '

B '

C '

D '

A '

B '

C '

D '

所以平面ABC D ''和平面互相平行，因此D E '与平面所成角与D E '与平面ABC D ''所成角相等．

与（Ⅰ）同理可证平面，可知平面ABC D ''，因此与D E '的比值就是所求的正弦值．

设AD '交于点，连结，由1FD b =-知

)22

D E ND b ''==

+-．因为AD ' 平面，又已知D E '与平面成45o

角，

所以D E ''=

，即

(1)22b ?+-=??

，

解得1

b =

，可知为中点．所以

，又32

D E '==，故D E '与平面

所成角的正弦值为

EM D E ='．解法二：

以为原点，射线，，分别为，，轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系－由已知得1DF b =-，故

(100)A ，，，(101)A '，，，(000)D ，，，(001)D '，，，

(10)P b ，，，(11)Q b ，，，(110)E b -，，， (100)F b -，，，(11)G b ，，，(01)H b ，，．

（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得

(010)(0)PQ PF b b ==--u u u r u u u r ，，，，，， (101)PH b b =--u u u r

，，，

(101)(101)AD A D ''=-=--u u u u r u u u u r ，，，，，．

因为00AD PQ AD PF ''==u u u u r u u u r u u u u r u u u r g g ，，所以AD 'u u u u r

是平面的法向量．因为00A D PQ A D PH ''==u u u u r u u u r u u u u r u u u r g g ，

，所以A D 'u u u u r

是平面的法向量．因为0AD A D ''=u u u u r u u u u r g ，所以A D AD ''⊥u u u u r u u u u r

，

所以平面和平面互相垂直．

（Ⅱ）证明：因为(010)EF =-u u u r ，，，所以EF PQ EF PQ =u u u u

r u u u u r u u u r u u u r ∥，，又PF PQ ⊥u u u r u u u r ，所以

为矩形，同理为矩形．

在所建立的坐标系中可求得2(1)PH b =-u u u u r ，2PF b =u u u u r

，所以2PH PF +=u u u u r u u u u r ，又1PQ =u u u u r

，

所以截面和截面面积之和为2，是定值．

（Ⅲ）解：由已知得D E 'u u u u r 与AD 'u u u u r 成45o

角，又(111)(101)D E b AD ''=--=-u u u u r u u u u r ，

，，，，可得

2222

2(1)2D E AD b D E AD b ''-==

-+u u u u r u u u u r

g u u u u u r u u u u u r ，即

21(1)2

b =-+，解得12

b =

．所以1112D E ??

'=- ???

u u u u r ，

，，又(101)A D '=--u u u u r ，，，所以D E '与平面所成角的正弦值为 1

2|cos |322

D E A D -+''<>==?u u u u r u u u u r ，．

点评：考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向。

[例12]多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是： ① ； ② ；

； ④ ； ⑤

以上结论正确的为________________________（写出所有正确结论的编号）解析：如图，B 、D 、A 1到平面α的距离分别为1、

2、4，则D 、A 1的中点到平面α的距离为3，所以D 1到平面α的距离为6；B 、A 1的中点到平面α的距离为5

，所以B 1到平面α的距离为5；则D 、B 的中点到平面α的距离为3

，所以C 到平面α的距离为3；C 、A 1的中点到平面α的距离为7

，所以C 1到平面α的距

离为7；而P 为C 、C 1、B 1、D 1中的一点，所以选①③④⑤。

点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目。 [例13]（1）画出下列几何体的三视图

解析：这二个几何体的三视图如下

（）如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：）

点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。

[例14]某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状

解析：该几何体为一个正四棱锥分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。

点评：主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。