2018年高考理科数学通用版三维二轮复习专题检测：(三)平面向量有解析

专题检测（三） 平面向量

一、选择题

1．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－3

2

B ．－53

C ．53

D ．32

解析：选A 因为c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－3

2.

2．(2017·贵州适应性考试)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1，1)，c ＝(2,3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( ) A.25 B ．－2

5

C.35

D ．－3

5

解析：选B 法一：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2,3)，因为a ＋λb 与c 共线，所以必定存在唯一实数μ，

使得a ＋λb ＝μc ，所以⎩

⎪⎨⎪⎧

2－λ＝2μ，

4＋λ＝3μ，解得

⎩⎨⎧

μ＝65

，λ＝－25.

法二：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2,3)，由a ＋λb 与c 共线可知2－λ2＝4＋λ3，解得λ＝－2

5

.

3．(2018届高三·云南11校跨区调研)已知平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( )

A ．13＋6 2

B ．2 5 C.30

D ．34

解析：选D 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34.

4．在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→

＝( ) A.12AB ―→＋12AD ―→ B.34AB ―→＋12AD ―→ C.34AB ―→＋14AD ―→ D.12AB ―→＋34

AD ―→

解析：选B 因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→.又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12(AB

―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝⎛⎭⎫AB ―→＋AD ―→＋12AB ―→＝34AB ―→＋12

AD ―→

.

5．(2017·成都二诊)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝1

2，则a ＋2b 与b 的夹角是( )

A.π

6

B.5π6

C.π4

D.3π4

解析：选A 法一：因为|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋1＋4×1×12×cos π

3＝3，所以|a ＋2b |＝3，

又(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2|b |2

＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝3

4，

所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝(a ＋2b )·b |a ＋2b ||b |＝

343×12

＝

32

， 所以a ＋2b 与b 的夹角为π

6

.

法二：(特例法)设a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12cos π3，12sin π3＝⎝⎛⎭⎫14，34，则(a ＋2b )·b ＝⎝⎛⎭⎫32，32·⎝⎛⎭⎫14，34＝34，|a ＋2b |＝

⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝(a ＋2b )·b |a ＋2b ||b |

＝34

3×12＝32，所以a ＋2b 与b 的夹角为π

6. 6．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB ―→在CD ―→

方向上的投影为( ) A.322

B ．3152

C ．－322

D ．－3152

解析：选A 由题意知AB ―→＝(2,1)，CD ―→

＝(5,5)，

则AB ―→在CD ―→方向上的投影为|AB ―→|·cos 〈AB ―→，CD ―→

〉＝AB ―→·CD ―→|CD ―→|＝322.

7．(2017·安徽二校联考)在边长为1的正三角形ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD ―→·AE ―→

等于( )

A.16

B.29

C.1318

D.13

解析：选C 法一：因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以BD ＝DE ＝CE ＝1

3，

在△ABD 中，

AD 2＝BD 2＋AB 2－2BD ·AB ·cos 60° ＝⎝⎛⎭⎫132＋12－2×13×1×12＝79， 即AD ＝

73，同理可得AE ＝7

3

， 在△ADE 中，由余弦定理得

cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE

2

2AD ·AE

＝79＋79－

⎝⎛⎭⎫132

2×73×

73

＝1314，

所以AD ―→·AE ―→＝|AD ―→|·|AE ―→|cos ∠DAE ＝

73×73×1314＝13

18

. A ⎝⎛⎭⎫0，3

2，

法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得D ⎝⎛⎭⎫－16，0，E ⎝⎛⎭⎫16，0，所以AD ―→＝⎝⎛⎭⎫－16，－32，AE ―→＝⎝⎛⎭⎫16

，－3

2，所以AD ―→·AE ―→

＝

⎝⎛⎭⎫－16

，－32·⎝⎛⎭⎫16，－32＝－136＋34＝1318.

8．(2017·东北四市模拟)已知向量OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→

(m >0，n >0)，若m ＋n ＝1，则|OC ―→

|的最小值为( )

A.52

B.102

C. 5

D.10

解析：选C 由OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，得OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→

＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m >0，n >0)，

所以n ＝1－m 且0

＝(1＋2m,4m －3)， 则|OC ―→

|＝(1＋2m )2＋(4m －3)2＝20m 2－20m ＋10 ＝

20⎝

⎛⎭⎫m －1

22＋5(0

时，|OC ―→

|min ＝ 5.

9．已知向量m ，n 的模分别为2，2，且m ，n 的夹角为45°.在△ABC 中，AB ―→＝2m ＋2n ，AC ―→

＝2m －6n ，BC ―→＝2BD ―→，则|AD ―→

|＝( )

A ．2

B ．2 2

C ．4

D ．8

解析：选B 因为BC ―→＝2BD ―→，所以点D 为边BC 的中点，所以AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝2m －2n ，所以|AD

―→

|＝2|m －n |＝2(m －n )2＝2

2＋4－2×2×2×

2

2

＝2 2. 10．(2018届高三·湘中名校联考)

若点P 是△ABC 的外心，且P A ―→＋PB ―→＋λPC ―→

＝0，C ＝120°，则实数λ的值为( )