高中物理知识点讲解 高中物理中常用的数学知识

一：向量

注意：数学向量对应物理中的矢量（例：力、速度、加速度、位移、冲量、动量、电场强度、磁感应强度等）。

注意：矢量（向量）遵守平行四边形法则（即数学向量运算），而非数学代数运算。（作图求解）

例：电流虽有方向，但不是矢量，因为电流不遵守平行四边形法则。

例：有两个力15F N =和28F N =,则313N F N ≤≤合。

技巧：()x y x y -?+-作图求解。

【例题】如下图所示，已知某物体的初动量为13p kg m s =?水平向右，末动量为24p kg m s =?竖直向上，求该物体前后的动量变化P ?？

注意：矢量运算时，一定要选取正方向，与正方向相同的矢量取正，与正方向相反的矢量取负。

【例题】一物体做匀变速直线运动，0s t =时刻，初速度大小为04m s υ=，2s 末的速度大小为9t m s υ=，求此物体的加速度？

【例题】某物体以30 m/s 的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g 取10 m/s 2，则5 s 内物体速度改变了多少？

解：以0υ方向为正方向 2

03010520t at m s m s s m s υυ∴=-=-?=-

0203050t m s m s m s υυυ?=-=--=-

二：数学函数

注意：数学函数与物理公式相对应。

①一次函数（图象为直线）

y k x b =+ 1、 k 为斜率，k=y x

?? 2k 0,k<0k y b b >、增函数；减函数；=0时，即=为过点（0，）平行于x 轴的直线。 b 3y b,y b x k

、轴上的截距为轴上的交点坐标为（0，）,轴上的交点坐标为（-,0） 注意：k=

y x ??表示任何直线的斜率，而k y x

=只能表示过原点的直线的斜率。若某直线过原点，则该直线的斜率为k=y y x x

??=；若某直线不过原点，则该直线的斜率为k=y y x x ?≠?。 注意：正比例关系与一次函数相区别。

例：对于y 3x =而言，y 随x 成正比例增大；但是对于y 3x b =+而言，y 不随x 成正比例增大。

拓展：对于物理中的y x -图象而言，若y b x ?=

?，则图象中某点切线的斜率表示b ；若y b x

=，则图象中某点与原点连线的直线的斜率表示b 。 ②二次函数（图线为抛物线）

③反比例函数（图象为双曲线）

k

y x =

(1)k 0(2)k<0>?????

，一、三象限，减函数性质，二、四象限，增函数

注意：图线类似于双曲线的图象不能看做双曲线而运用其性质求解,除非有特别说明是双曲线才可以。 例：对于3y b x

=+而言不是反比例函数，式中y 与x 也不是反比例关系。 注意：物理中的物理公式可以转化为相应的数学函数，用数学函数的性质及数学函数图象的性质来求解物理中对应的有关问题；并且理解物理公式中各物理量在数学函数及数学函数图象中的数学和物理意义。【直线运动章节中有详细讲述】

【例题】一名连同装备在内总质量M=100kg 的宇航员在距飞船S=45m 处且与飞船保持相对静止状态，宇航员背着装有质量m=0.5kg 氧气的氧气贮气筒，筒内还有一个使氧气以0υ=50m s 喷出的喷嘴，人的耗氧量Q=42.510kg s -?，不考虑氧气喷出后对总质量的影响。

求（1）瞬间喷出多少质量的氧气宇航员才能安全返航。

（2）为使总耗氧量最低，应一次瞬间喷出氧气的质量是多少？最低耗氧量是多少？在这种情况下返回的时间是多少？

【例题】有两物体A 和B ，分别受到两个竖直向上的力F 的作用，选取竖直向上的方向为正方向，其a F -图象如下，忽略空气阻力，试判定A m 和B m ，A g 和B g 的大小关系？

【例题】一辆汽车在平直的公路上以某一初速度运动，运动过程中保持恒定的牵引功率，其加速度a 和速度的倒数(1/v )图象如下图所示．若已知汽车的质量，则根据图象所给的信息，不能求出的物理量是( )

A ．汽车的功率

B ．汽车行驶的最大速度

C ．汽车所受到的阻力

D ．汽车运动到最大速度所需的时间

三：数列

注意：对于物理中的数列问题，一定要搞清楚哪一项是首项及数列公式中n 的物理意义，理解数列公式中的各字母在物理中对应的物理含义而后求解，若直接套用公式求解极易弄错首项问题和n 的取值问题。

①等差数列

设首项为1a ，通项为n a （n N +∈），公差为d ，则：

1111(1)()(1)22n n n n n a a d a a n d

n a a n n d s na +??-=?=+-??+-?==+?

②等比数列

设首项为1a ，通项为n a （n N +∈），公比为q ，则：

11111(1)(1)(1)1n n n n n n a q a a a q

na q s a q q q +-???=???=??=????=-?≠??-??? 拓展：指数运算：01(0)a a =≠，1n n a a

-=，()m n m n a a a +?=，()m m n n a a a -=，()m n m n a a ?=，()n n m

ab a b =?，()n

n n a a b b = 总结：

1、物理中有关涉及数列的题型，一定要灵活设未知数，这样才能找到最简单最合理的数列关系而方便求解。

2、物理中有关涉及数列的题型，对表达式有时还要灵活拆项、变项及灵活组合等使之转化为基本的等差数列、等比数列或等差数列和等比数列的组合形式而方便求解。

【例题】如下图所示，质量为m 的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m 的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=600的位置自由释放，下摆后在最低点与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面 的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球

偏离竖直方向的最大角度将小于450。

【例题】如下图所示，空间内分布着不等宽的条形匀强电场区和无场区。已知电场强度大小为E ，方向竖直向上。重力不计的带电粒子（m ，q -）从第一电场区上边界以水平速度0υ进入电场。已知粒子通过每个有场区和无场区的时间均为0t ，求：

（1）粒子穿越第一电场区的位移大小。

（2）粒子刚进入到第n个电场区上边界时，竖直方向分速度大小。

（3）粒子刚进入到第1

n+个电场区上边界时，竖直方向的位移大小。

【例题】如下图所示，一辆质量m=2kg的平板车左端放一质量M=6kg的滑块，滑块与平板车之间的摩擦因数0.2

μ=，开始时，平板车和滑块以共同的速度

03m s

υ=在光滑的水平面上向右运动，并与竖直墙发生碰撞，碰后小车的速度大小保持不变，但方向与原来相反，且碰撞时间极短，设平板车足够长，以至滑块不会滑到平板车的右端（取2

10

g m s

=），求：

（1）平板车第一次与墙相碰后向左运动的最大距离及m和M第一次与墙碰后到达平衡时的相对滑动距离。

（2）平板车与墙第一次碰撞后到系统静止的过程中平板车通过的总路程。

【例题】如下图所示，有一段长度为L的直线被分成n段相等的部分，若在每一

部分的末端质点的加速度增加a

n

，若质点以加速度a由这一长度的始端从静止出

发，求该质点经过这一长度L的末端时的瞬时速度是多大？

【例题】带电量为q，质量为m的粒子（重力不计）置于宽广的匀强电场区域，场强随时间的变化规律如下图甲所示，当t=0s时，把带电粒子由静止释放，经过t=nT（n为正整数）时，

求：（1）带电粒子的动能。

（2）带电粒子前进的总位移。

【例题】如下图所示，a 、b 、c 为质量均为m （可视为质点）的完全相同的三个金属小球，处于竖直向上的匀强电场中，电场强度的大小E = 3mg/q ，a 、b 、c 三球在同一竖直线上，且 ca = ab = L ，b 球所带电荷量为 +q ，a 、c 均不带电，若b 、c 两球始终不动，a 球由静止释放，以后a 球分别与b 、c 两球多次发生相碰，则经过足够长的时间后（碰撞过程中机械能无损失，且每次碰撞后两球所带电荷量相等，不计电荷间的库仑力，电荷q 对匀强电场的影响可忽略）

（1）b 球的电荷量是多少？

（2）a 球与c 球第一次相碰前速度为多大？

（3）a 球在b 、c 间运动的最大速度是多大？

2max max 1()332

q q qEL EL EL m υυ--=?= 四：平面几何

①直线关系（两点确定一条直线）

1、 两直线平行，同位角相等。

2、 两直线平行，内错角相等。

3、 两直线平行，同旁内角互补。

②三角形

1、 全等三角形，对应边相等，对应角相等。（注意全等三角形的判定方法）

2、 相似三角形，对应角相等，对应边成比例。（注意相似三角形的判定方法）

3、 三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边。

2222sin sin sin (cos cos )42a b c R R A B C b c a A B C bc ?===???+-??????正弦定理：（为ABC 外接圆的半径）余弦定理：cos =同理推导及的表达式、注意：上式中的三角函数数值含正、负。

注意：灵活运用正弦定理和余弦定理求解三角形的有关边、角问题。 ③三角函数

00000001sin 30,sin 4560290sin cos 1cos3045602αβαβ?=???+==??==??若互余，则

0000000tan 30tan 451,tan 6090tan 30451,60cot cot cot cot αβαβ===?+==??===??若互余，则

sin tan cos ααα

=，22sin cos 1αα+= 2222sin 22sin cos ,cos 2cos sin 12sin 2cos 1αααααααα==-=-=-

sin()sin cos cos sin ,cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ±=±±=

tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

±±=

sin cos )tan ()b a b a ααα????+=+=????

其中含正、负 sin arcsin ,cos arccos ,tan arctan ,b b b b b b a a a a a a

αααααα=?==?==?=…… 注意：sin ,cos ,tan ααα理解在单位圆中的意义。

例：若0180αβ+=互补，则：sin sin ,cos cos αβαβ=-=

注意：已知一个锐角的三角函数的值可以通过画直角三角形的方法来求这个角的其它三角函数的值。【非锐角的三角函数问题还要结合单位圆确定其正、负】

例：已知α为锐角，且sin b a

α=，则：

④圆

1、 过切点垂直于切线的直线必过圆心；弦的中垂线必过圆心。

2、 两圆圆心的连线必过两圆的切点或垂直平分公共弦。

3、 直径所对应的圆周角为900。

4、 同弧所对应的圆周角相等。

5、 同弧所对应的圆周角等于圆心角的一半。

6、 弦切角等于圆心角的一半。

7、 圆的面积2S R π=，周长2C R π=，直径d=2R （其中R 为圆的半径）

I 、圆的对称性是物理中运用解题的重点。

II 、物理中有关涉及圆的问题要注意以下几点：

（1）部分圆弧问题可补全圆更容易看出规律和性质而求解。

（2）要注意圆的周期性问题（即圆的n 次重复性问题）。

（3）曲线运动某点的速度方向为该点的切线方向，故做圆周运动的物体在一个周期内运动的弧长越长则对应的速度偏转角（或圆心角）就越大。

④扇形

1、 弧长1222l R R d απααπ=?==，扇形面积2211222

S R R lR απαπ=?==，其中α为弧度制的圆心角，R 为圆的半径。【同理理解并推导角度制的弧长公式和扇形面积公式】

2、 弧度制与角度制的关系：00rad 1801rad 180π

π==

（），（），【0160',1'60"==】 ⑤其它几何知识

1、 n 边形的内角和等于0(2)180n -?

2、 球的表面积24S R π=，球的体积343

V R π=

???（1）物理中有关涉及到的平面几何问题往往存在着特殊的几何关系（例：特殊角，特殊位置等）。总结（2）了解并熟悉物理中有关涉及到的平面几何的一些常见题型和常见解题技巧。

【例题】如下图所示，点光源S 距竖直墙MN 的水平距离为L ，现从S 点处以水平初速度0υ平抛一小球P ，P 在墙上形成了一个影子'p ,求小球没有打到墙之前，影子'p 的平均速度？

【例题】如下图一所示，在坐标系x0y 的第一象限中存在沿y 轴正方向的匀强电场，场强大小为E 。在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A 是y 轴上的一点，它到坐标原点O 的距离为h ；C 是x 轴上的一点，到O 的距离为l 。一质量为m ，电荷量为q 的带负电的粒子以某一初速度沿x 轴正方向从A 点进入电场区域，继而通过C 点进入磁场区域。并再次通过A 点，此时速度方向与y 轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：

⑴粒子经过C 点速度的大小和方向。

⑵磁感应强度B 的大小。

【例题】如下图一所示，在y＞0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在

y ＜0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy 平面（纸面）向外。一电量为q 、质量为m 的带正电的运动粒子，经过y 轴上y ＝h 处的点P 1时速率为v 0，方向沿x 轴正方向；然后，经过x 轴上x ＝2h 处的 P 2点进入磁场，并经过y 轴上y ＝-2h 处的P 3点。不计重力。求：

（l ）电场强度的大小。

（2）粒子到达P 2时速度的大小和方向。

（3）磁感应强度的大小。

顿第二定律

r

v m qvB 2

= ⑾

【例题】如下图一所示，在坐标系xoy中，过原点的直线OC与x轴正向所成的角?=120度，在OC右侧有一匀强电场：在第二、三象限内有一匀强磁场，其上边界与电场边界重叠、右边界为y轴、左边界为图中平行于y轴的虚线，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一带正电荷q、质量为m的粒子以某一速度自磁场左边界上的A点射入磁场区域，并从O点射出，粒子射出磁场的速度方向与x轴的夹角θ＝30°，大小为v，粒子在磁场中的运动轨迹为纸面内的一段圆弧，且弧的半径为磁场左右边界间距的两倍。粒子进入电场后，在电场力的作用下又由O点返回磁场区域，经过一段时间后再次离开磁场。已知粒子从A点射入到第二次离开磁场所用的时间恰好等于粒子在磁场中做圆周运动的周期。忽略重力的影响。求

（1）粒子经过A点时速度的方向和A点到x轴的距离。

（2）匀强电场的大小和方向。

（3）粒子从第二次离开磁场到再次进入电场时所用的时间。

3at v v -=-……⑧， m

qE a =………⑨

【例题】如下图一所示，在x ＜0与x ＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B 1与B 2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B 1＞B 2。一个带负电的粒子从坐标原点O 以速度v 沿x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O 点，B 1与B 2的比值应满足什么条件？

由③④式解得:121

r n r n =+ （n ＝1，2，3，……） ⑤

由①②⑤式可得B 1、B 2应满足的条件:211

B n B n =+ （n ＝1，2，3，……） ⑥