数列的概念与简单表示法(第一课时)教学设计)

数列的概念与简单表示法(第一课时)教学设计

【课题】数列的概念与简单表示法(第一课时)

【课型】新授课

【授课教师】昆明市第24中学云付泽

一、教材与教学分析

1．数列在教材中的地位

根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边.

作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)．

2．教学任务分析

(1) 理解数列的概念

新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类．

(2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系．

3．教学重点与难点

重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型．

难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系

二、教学方法

小组合作、探究学习模式

通过对问题情境的分析讨论的方式，运用从具体到抽象、从特殊到一般的思维训练方法，引导学生探究数学归纳法。

三、教学基本流程

四、学习过程设计

【创设问题情境】

1. 传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：

三角形数：1，3，6，10，…

正方形数：1，4，9，16，25，…

2. 古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成的数:

1,21,41,81,161,32

1,…… , 3. 4月10日至4月17日昆明的日最高气温(单位:℃)

23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19

思考：上述这些问题中的几列数有什么共同特点？

（1） 都是一列数；（2）都有一定的顺序

【设计意图】：引出课题------数列的概念与简单表示法

活动一：数列的概念探究

引导学生观察一下几列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出数列概念。

（1）1，3，6，10，…

1，4，9，16，25，…

1,21,41,81,161,32

1,…… （2）1,21,31,4

1,…… （3）23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19

（4）1-,1,1-,1,……

（5）1,1,1,1,……

引导学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律；这些

数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定。

教师引导归纳出：

1. 数列的定义

按照一定顺序排列着的一列数叫数列．

2. 数列的项

数列中的每一个数就是数列的项

3. 数列的一般形式: ,,,,,321n a a a a 简记为{}n a

【设计意图】：利用学生熟悉的生活实例创设情景引入问题，既可以帮助学生直观地理解数列的概念，又可以使学生认识到“数学来自于生活”

活动二：数列和集合的关系

将以上几列数用集合如何表示？请写出相应的集合。观察集合中的元素和原来数列中数有什么差别？

经过以上问题可得出集合和数列的区别是：

第一，集合的对象可以是任意的东西。如全体中华人民共和国的公民组成一个集合，某农场全部拖拉机组成一个集合，所有的化学元素组成一个集合，等等。而数列的对象都

是数，组成数列各项的元素只能是数，而不能是其他的对象。

第二，集合里的元素不能重复，而数列中的数是可以重复的。

如数列：

1，1，2，2，3，3，4，4，…

是按照自然数列的规律，连续重复一次排列而成的，但是若把这个数列的各项看成是一个集合的元素，那么这个数列只能写成

｛1，2，3，4，…｝，而不能写成｛1，1，2，2，3，3，4，4，…｝。

第三，集合中的元素是不考虑顺序的，而数列中各数的顺序是十分重要的。

例如：数列 1，2，3，4 与数列 4，3，2，1

是两个不同的数列。可是集合｛1，2，3，4｝与集合｛4，3，2，1｝则被认为是相同的。

教师引导学生讨论得出:

（1） 数列{}n a 中是一列数，而集合中的元素不一定是数；

（2） 数列{}n a 中的数是有一定次序的，而集合中的元素没有顺序（无序性）；

（3） 数列{}n a 中的数可以重复，而集合中的元素不能重复（互异性）。

【设计意图】：加深对数列概念的理解，分清集合和数列的区别。

活动三：数列的分类

根据数列的项，以及数列项之间的大小关系可以对数列进行怎么样分类？

教师引导学生分析本节课所举的数列的特点，按一定的分类标准给出数列的分类：

1）根据数列项数的多少分：

有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列

无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列

2）根据数列项的大小关系（单调性）分：

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。

常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。

判断一下数列属于以上哪种数列？

（1）1,21,41,81,161,32

1,…… （无穷数列，递减数列） （2）1,21,31,4

1,…… （无穷数列，递减数列） （3）23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19 （有穷数列，摆动数列）

（4）1-,1,1-,1,…… （无穷数列，摆动数列）

（5）1,1,1,1,…… （无穷数列，常数列）

【设计意图】：了解对数列的分类,了解有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，常数列，摆动数列。

活动四：数列的表示方法

列表法，图像法，通项公式法（解析法）与函数一样

数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来

表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

写出下列各数列的通项公式（口答）:

（1）1,2,4,8,16, ,……,632

（2）1,2,3,4,…… , n ,……

（3）2,4,6,8,……

（4）1-,1,1-,1,……

（5）1,1,1,1,……

例1、已知数列{n a }的通项公式为12-=n a n ，写出这个数列的首项、第2项和第3项． 解：首项为:11121=-?=a

第2项为: 31221=-?=a

第3项为: 51321=-?=a

思考：数列通项公式的作用？

① 通项公式能够很清楚的表示数列中项数和项的关系;

② 由通项公式可以求出数列中的每一项.

③ 检验某数是否是该数列中的一项.

数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项

的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．

注意：

⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列:23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19； ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|2

1cos |π+=n a n . 【设计意图】：了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项,加深对数列通项公式的理解，认识数列的几种表示方法，理解数列通项公式的作用

活动五：数列与函数的关系

(1)从映射的观点看，数列可以看作是：序号到数列项的映射

(2)从函数的观点看，数列项是序号的函数。

即:数列可以看成以正整数集(或它的有限子集{1，2，…，n })为定义域的函数

()n a f n =，当自变量从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。

数列是特殊的函数

数列用图象表示时的特点——一系列孤立的点

【设计意图】：体会数列与函数之间的紧密联系,理解数列是一种特殊的函数

例2、写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4项分别是下列各数：

（1） 211?，321?-，431?，5

41?； （2） 2， 0 ， 2， 0

（3）222221314151;,;;2345

---- 教师引导学生去思考，让学生来完成例题解答。

引导学生怎样写出已知数列的通项公式？归纳以下思路：

根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式应注意分析数列的项和项数的关系，研究这几项的表示式中哪些是变化的，哪些是不变的，探索各项中变化部分与项数之间关系，从而归纳出项与项数的关系，写出通项公式.

【设计意图】：对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式,让学生熟练观察法写简单数列的通项公式

反馈练习:

1、观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式:

(1)2, 4, ( ) , 16, 32, ( ), 128

(2) ( ), 4, 9 , 16, 25, ( ), 49

(3)1-, 21, ( ) , 41, 51-,6

1 ( ), 128 (4) 1, 2, ( ) , 2, 5, ( ), 7

2、根据数列}{n a 的通项公式，写出它的前5项：

（1）n n a n +=2 （2）125--=n n a

3、写出一个数列的通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

(1)1-, 2, 3-, 4

(2) 1， 4, 9 , 16 (2) 211-， 3121-, 4131- , 5

141- 【设计意图】：通过学生演练，反馈教学情况

五、课堂小结

回顾本节课学习的主要内容

1.数列的有关概念

2.数列的通项公式

3.数列的实质

4.本节课的能力要求是：

(1) 会由通项公式 求数列的任一项

(2) 会用观察法由数列的前几项求数列的通项公式.

（3）会检验某数是否是某数列中的一项.

六、作业布置：

1、学习反馈训练（时间：15---20分钟）

2、思考题：

①为什么课本练习4中要求写出数列的“一个”通项公式？

②你能写出前四项为1，1，1，1的数列的两个通项公式吗？

③你认为所有的数列都有通项公式吗？问题情境中的三角形数：1，3，6，10，…构成的数列有没有通项公式？若有，你能写出它的一个通项公式吗？

七、板书设计

八、教学反思