中职数学基础模块上册函数的实际应用举例word教案.doc

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函数的实际应用举例

教学目标

（1）理解分段函数的概念和图像；

（2）了解实际问题中的分段函数问题．

（3）会求分段函数的定义域和分段函数在点x0处的函数值 f ( x0 ) ；

（4）掌握分段函数的作图方法；

（5）能建立简单实际问题的分段函数的关系式．

教学重点

分段函数的概念及其图像；

教学难点

（1）建立实际问题的分段函数关系；

（2）分段函数的图像．

教学备品

教学课件．

课时安排

2课时． (90 分钟)

教学过程

我国是一个缺水的国家，很多城市的生活用水远远低于世界的平均水平．为了加强公民的节水意识，某城市制定每户月用水收费（含用水费和污水处理费）标准：

不超过 10 m3 超过 10 m3

用水量

部分部分

收费（元／m3）

污水处理费（元／m3 ）

那么，每户每月用水量x （m3）与应交水费y （元）之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？

由表中看出，在用水量不超过10（m3）的部分和用水量超过10（m3）的部分的计费标准是不相同的．因此，需要分别在两个范围内来进行研究．

解决：

分别研究在两个范围内的对应法则，列出下表：

用水量

x 10

0 x 10

x /m3

水费y 1.3 0.3 x y 1.6 10 2.0 0.8 x 10

y/元

书写解析式的时候，必须要指明是哪个范围的解析式，因此写作

1.6 x, 0 x 10,

y f x

x 10.

2.8 x 12,

这个函数与前面所见到的函数不同，在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，

需要用不同的解析式来表示．

在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫

做分段表示的函数，简称分段函数．

分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集．

如前面水费问题中函数的定义域为0,1010,0,．

求分段函数的函数值 f x0时，应该首先判断x0所属的取值范围，然后再把x0代入到相应的解析式中进行计算．

如前面水费问题中求某户月用水8（m3）应交的水费 f 8 时，因为0810 ，所以f 8 1.6 812.8 （元）．

注意

分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域

的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示．

例 1 设函数 y f x 2 x 1, x 0, x2 , x 0.

（１）求函数的定义域；

（２）求 f 2 , f 0 , f 1 的值．

分析分段函数的定义域是自变量的各不同取值范围的并集．求分段函数的函数值 f x0 时，应该首先判断x0所属的取值范围，再把x0代入到相应的解析式中进行计算．

解（ 1）函数的定义域为,0 0, , ．

（2）因为 2 0, ，故 f 2 2 2 4 ；

因为 0 ,0 ，故 f 0 201 1；

因为 1 ,0 ，故 f 1 2 1 1 3 ．

练习

1.设函数y f x 2 x 1, 2 x 0, 1 x2 , 0 x 3.

（1）求函数的定义域；

（2）求 f 2 , f 0 , f 1 的值．

分段函数的作图

因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像．

例 2

x 1, x 0,

作出函数 y f x

1, x

的图像．

x 0

分析由解析式可以看到，需要分别在,0和0, 两个范围内作出对应的图像，从而得到函数的图像．

解作出 y x 1 的图像，取x 0 的部分；作出y x 1 的图像，取 x 0 的部分；由此得到函数的图像（如下图）．

（1）因为分段函数是一个函数，应将不同取值范围的图像作在同一个平面直角坐标系中．

（2）因为 y x 1 是定义在x 0 的范围，所以y x 1 的图像不包含 0,1 点．

教材练习

1．设函数 f

2 x 1, 2 x 0,

x

x2 , 0 x

作出函数的图像

1 3.

例 3 某城市出租汽车收费标准为：当行程不超过3km 时，收费7 元；行程超过 3km ，但不超过 10km 时，在收费 7 元的基础上，超过3km 的部分每公里收费元；超过10km 时，超过部分除每公里收费元外，再加收50﹪的回程空驶费．试求车费y （元）与x（公里）之间的函数解析式，并作出函数图像．

分析收费标准依行车的公里数分为 3 种情况，因此，要分别在 3 个范围内进行讨论．

解根据题意，列出表格如下：

路程 x /km 0 x 3 3 x 10 x 10

车费 y /元7 7 x 37 10 3 1.5 x 10

故 y 与x之间的函数

解析式为

7,0 x 3,

y 4 x, 3 x 10,

1.5x 1, x 10.

函数的图像如下图所示．

当 0 x 3 时，图像是一条不含左端点的水平直线段AB ；当3x10 时，图像是线段BC ；当x10 时，图像是一条以 C 为起点的射线．

教材练习

2. 我国国内平信计费标准是：投寄外埠平信，每封信的质量不超过20g，付邮资元；质量超过 20g 后，每增加 20g（不足 20g 按照 20g 计算）增加元．试建立每封平信应付的邮资y（元）与信的质量 x （ g）之间的函数关系（设0 x 60），并作出函数图像．