江苏省南京市中华中学2015届高三期初调研考试数学试题及答案

南京市中华中学2015届高三期初调研考试

第Ⅰ卷（必做题 共160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．复数1

1i +的模为 ．

2．已知全集U =R ，函数

y =A ，函数2log (2)y x =+的定义域为集合B ，

则集合()

U A B =e ．

3．22log sin

log cos

12

12

π

π

+的值为 ．

4．已知命题p ：x ?∈R ，使sin x =

；命题q ：x ?∈R ，都有210x x ++>．给出下列命题：（1）命题“p q ∧”是真命题；（2）命题

是假命

“p q ∧?”是假命题；（3）命题“p q ?∨”是真命题；（4）命题“p q ?∨?”题．其中正确的是 （填序号）．

5．右图的程序框图输出的结果S 等于 ．

6．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．已知甲、乙

两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组四名同学数学成绩的方差

2s = ．

7．在△ABC 中，60ABC ∠=?，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角

形的概率为 ．

8．若抛物线2

2y px =的焦点与椭圆22

162

x y +=的右焦点重合，则p = ．

9．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与c 的夹角为60?，|||b a ，则a 与b 的夹角为 ．

10．已知a ，b ，x 是实数，函数2()21f x x ax =-+与函数()2()g x b a x =-的图像不相交，记参数a ，b 所组成的点()a b ，的集合为A ，则集合为A 表示的平面图形的面积为 ．

11．已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +?=()n *∈N ，则2012S = ．

12．圆心在曲线2

(0)y x x =>上，且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为 ．

13．定义在R 上的奇函数()f x 对任意x ∈R 都有()(4)f x f x =+，当(20)x ∈-，时，()2x f x =，则(2012)(2011)f f -= ．

14．定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()2g x x =，()ln h x x =，

3()(0)x x x ?=≠的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为 ．

二、填空题：本大题共6小题，共计70分． 15．（本小题满分14分）

已知函数()tan 34f x x π?

?=+ ??

?．

（1）求9f π??

???

的值；

（2）设32παπ?

?∈ ??

?，，若234f απ??+= ???，求cos 4πα??- ???的值．

16． （本题满分14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，

ABD ?为正三角形，,EB ED CB CD ==.

（1）求证：EC BD ⊥；

（2）若A B B C ⊥，,M N 分别为线段,AE AB 的中点，

求证：平面//DMN 平面BEC .

17．（本小题满分14分）

给定椭圆C ：22

221x y a b

+=(0a b >>)．称圆心在原点O ，

的圆是椭圆C 的“准圆”．若

椭圆C

的一个焦点为0)F ，其短轴上的一个端点到点F

（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；

（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过动点P 作直线1l ，2l ，使得1l ，2l 与椭圆C 都

只有一个交点，试判断1l ，2l 是否垂直，并说明理由．

18．（本小题满分16分）

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．

（1）若建立函数()y f x =模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数()f x 模型的基本要求，并分析函数2150

x

y =

+是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明理由； （2）若该公司采用函数模型1032

x a

y x -=+作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值．

19．（本小题满分16分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n a S -=，n *∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）在数列{}n a 的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列{}n b ；n a 和1n a +两项之间插入n 个数，使这2n +个数构成等差数列，求2012b 的值；

（3）对于（2）中的数列{}n b ，若m n b a =，求123m b b b b ++++（用n 表示）．

20．（本小题满分16分）

已知函数325

()2

f x x x ax b =+++（,a b 为常数），其图象是曲线C ．

（1）当2a =-时，求函数()f x 的单调减区间；

（2）设函数()f x 的导函数为()f x '，若存在唯一的实数0x ，使得00()f x x =与0()0f x ='同时成立，

求实数b 的取值范围；

（3）已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，在点B 处

作曲线C 的切线2l ，设切线12,l l 的斜率分别为12,k k ．问：是否存在常数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

第Ⅱ卷（附加题 共40分）

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分．

A ．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，AB 是

O 的一条直径，,C D 是O 上不同于,A B 的两点，过B 作O 的切线与AD 的

延长线相交于点M ，AD 与BC 相交于N 点，BN BM =． （1）求证：NBD DBM ∠=∠； （2）求证：AM 是BAC ∠的角平分线．

A

B ．（本小题满分10分）选修4—2：矩阵与变换 若二阶矩阵M 满足127103446????=????????

M ． （1）求二阶矩阵M ；

（2）把矩阵M 所对应的变换作用在曲线223861x xy y ++=上，求所得曲线的方程． C ．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线E ：2sin 2cos ρθθ=，过点(5)A α，（α为锐角且3

tan 4

α=

）作平行于

4

π

θ=

()ρ∈R 的直线l ，且l 与曲线E 分别交于B ，C 两点． （1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线E 与直线l 的普通方程；

（2）求BC 的长． D ．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()|1|f x x =-，()|2|g x x =-． （1）解不等式：()()2f x g x +<；

（2）对于实数x ，y ，若()1f x ≤，()1g y ≤，求证：|23|3x y -+≤．

【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）

某城市最近出台一项机动车驾照考试的规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9．

（1）求在一年内李明参加驾照考试次数X 的分布列和数学期望； （2）求李明在一年内领到驾照的概率． 23．（本小题满分10分） 已知点(1,0)A -，(1,0)F ，动点P 满足2||AP AF FP ?=． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；

(2)在直线l ：22y x =+上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为,M N ．问：是否

存在点Q ，使得直线MN //l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1 2．(21]--，． 3．2-． 4．（2）（3）． 5．20．