2020年莱芜市中考数学试卷(word版,有答案)

莱芜市年中等学校招生考试

数 学 试 题

注意事项：

1．答卷前，考生务必须在规定的位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确。 2．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，36分；第Ⅱ卷为非选择题，84分；共120分，考试时间为120分钟．

3．请将第Ⅰ卷选择题答案填在第Ⅱ卷卷首答案栏内，填在其它位置不得分． 4．考试时结束后，由监考老师把第Ⅰ卷和第Ⅱ卷一并收回．

第Ⅰ卷（选择题 共36分）

一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填写在答案栏的相应位置上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共36分． 1．|-2|的相反数是

A.-2

B.2

C.

21 D. -2

1 2．一次函数y=kx+b 中，k<0,b>0.那么它的图像不经过

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3．下列计算结果正确的是 A.-2x 2y 3·2xy=-2x 3y 4 B.28x 4y 2÷7x 3

y=4xy

C.3x 2y-5xy 2=-2x2y

D.(-3a-2)(3a+2)=9a 2

-4

4.在平面直角坐标系中，若点P （m-3,m+1）在第二象限，则m 的取值范围为 A.-13 C.m<-1 D.m>-1

5．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．

将纸片展开，得到的图形是

6．下列事件中是必然事件的是

A.2008年8月8日北京是晴天

B.小明买了一张福利彩票能中奖

C.小李打靶一定能打中十环

D.将一块石头扔到水里，石头会下沉。

7．某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%，若该书的进价为21元，则标价为A.26元 B.27元 C.28元 D.29元

8．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，

A ．

B ．

C ．

D ．

那么这个几何体的侧面积是

A.

4π B. π42 C. π22 D. 2

π

9．如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是

A ．10

B ．16

C ．18

D ．20

10．如图，点F 是梯形ABCD 的下底BC 上一点，若将△DFC 沿DF 进行折叠，点C 恰好能与

AD 上的点E 重合，那么四边形CDEFA.是轴对称图形但不是中心对称图形 B. 是中心对称图形但不是轴对称图形 C. 既是轴对称图形，也是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

11．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5 个

12．若A （1,413y -

），B （2,45y -），C （3,4

1y ）为二次函数2

45y x x =+-的图象上的三y

x

图 1 O

A B D

C P 4 9

图 2 B

E

D

A

C

O

点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是 A ．123y y y << B ．213y y y << C ．312y y y <<

D ．132y y y <<

二、填空题：本大题共5小题，每小题填对得4分，共20分．只要求填写最后结果． 13．在2008年北京奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为4.581亿帕的钢材．4.581亿帕用科学计数法表示为__________帕（保留两位有效数字）． 14．如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ， ∠CDE ＝150°，则∠C ＝__________． 15．分解因式:ab b a 8)2(2+- =____________．

16．将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：

所剪次数

1

2 3 4 … n 正三角形个数 4

7

10

13

…

a n

则a n ＝ （用含n 的代数式表示）．

17．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是 “上升数”的概率是 ．

三、解答题：本大题共7小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

18．(本题满分6分) 先化简，再求值：

11a b a b ??- ?-+??

÷22

2b a ab b -+，其中21+=a ，21-=b ． 19．(本题满分8分)

振兴中学某班的学生对本校学生会倡导的“抗震救灾，众志成城”自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据．下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3︰4︰5︰8︰6，又知此次调查中捐款25元和30元的学生一共42人．

（1）他们一共调查了多少人？

（2）这组数据的众数、中位数各是多少？

（3）若该校共有1560名学生，估计全校学生捐款多少元？

A

B

C

D

E 人数

20．(本题满分9分)

某市2007年秋季开始，减免学生在义务教育阶段的学杂费，并按照每学期小学每生250元，初中每生450元的标准，由财政拨付学校作为办公经费，该十一学校小学生和初中生共有840人，2007年秋季收到当学期该项拨款290000元，该学校小学生和初中生各有多少人？21．（本题满分9分）

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,中线AE与中线CD交于点O，AB=6.

（1）求证：AO︰OE=2︰1；

（2）求OC的长.

22． (本题满分10分)

如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．

（1）求B，D之间的距离；

（2）求C，D之间的距离．

23．(本题满分10分)

（1）探究新知：

如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，

试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

（2）结论应用：

①如图2，点M，N在反比例函数

x

k

y （k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．

试证明：MN∥EF．

A

B

C

中

山

路

文

化

路

D

和

平

路

45°15°

30°

环城路

E

F

O

y

N

M

E

F x

N

A B

D

C

图 1

② 若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3所示，请判断 MN 与EF 是否平行．

24．(本题满分12分)

在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？

（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？

莱芜市二○○八年中等学校招生考试

数学试题参考解答及评分意见

评卷说明：

1．选择题和填空题中的每小题，只有满分和零分两个评分档，不给中间分．

2．解答题每小题的解答中所对应的分数，是指考生正确解答到该步骤所应得的累计分数．本答案对每小题只给出一种解法，对考生的其他解法，请参照评分意见进行评分．

3．如果考生在解答的中间过程出现计算错误，但并没有改变试题的实质和难度，其后续部分酌情给分，但最多不超过正确解答分数的一半；若出现严重的逻辑错误，后续部分就不再给分．

一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B A C D C D

A

C

B

B

二、填空题 (本大题共5小题，每小题4分，共20分)

13．8106.4?；14．120°；15．2)2(b a +； 16．13+n ；17．5

2 三、解答题 (本大题共7小题，共64分)： 18．(本题满分6分)

M

N P

图 1 O A

B

C

M N

D 图 2

O A

B

C

M

N P

图 3

O

x O

y D

M

图 3 N

解：原式＝

2

2

2))(()()(b ab a b

b a b a b a b a +-÷+---+ ……………………………2分 ＝b b a b a b a b 2

)())((2-?+- …………………………………………3分

＝b

a b a +-)(2． ……………………………………………………………4分

当21+=a ，21-=b 时，

原式＝

222

2

22=?． …………………………………………………6分 19．(本题满分8分)

解：（1）设捐款30元的有6x 人，则8x +6x =42．

∴ x =3． …………………………………………………………2分 ∴ 捐款人数共有：3x +4x +5x +8x +6x =78（人）． ……………………3分 （2）由图象可知：众数为25（元）；由于本组数据的个数为78，按大小顺序排列处于中间位置的两个数都是25（元），故中位数为25（元）．…………………6分

(3) 全校共捐款： （9×10+12×15+15×20+24×25+18×30）×

78

1560

=34200（元）．……………8分 20．（本题满分9分）

解：设该学校小学有x 人，初中有y 人。根据题意，得

??

?=+=+290000

450250840

y x y x …………………………………3 解这个方程组，得?

??==400440

y x (8)

答：该校有小学生440人，初中生400人. (9)

21.(本大题9分)

（1）证明：连接DE ， …………………………1 则DE 是△ABC 的中位线，DE ∥AC ，DE=

2

1

AC …………2 ∴∠OAC=∠OED, ∠OCA=∠ODE.

∴△OAC ∽△OED ...........................3 ∴AO ︰OE=OC ︰OD=AC ︰DE=2︰1 (5)

(2)解：CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，AB=6， ∴OC=

2

1

AB=3 ………………………………7 由(1)可知，OC ︰OD=2︰1 ∴OC=

3

2

CD=2 ………………………9 22．(本题满分10分)

解：（1）如图，由题意得，∠EAD =45°，∠FBD =30°． ∴ ∠EAC =∠EAD +∠DAC =45°+15°=60°．

∵ AE ∥BF ∥CD ，

∴ ∠FBC =∠EAC =60°．

∴ ∠DBC =30°． …………………………2分 又∵ ∠DBC =∠DAB +∠ADB ，

∴ ∠ADB =15°．

∴ ∠DAB =∠ADB ． ∴ BD =AB =2． 即B ，D 之间的距离为2km ．… …………………………………………………5分

（2）过B 作BO ⊥DC ，交其延长线于点O ， 在Rt △DBO 中，BD =2，∠DBO =60°．

∴ DO =2×sin60°=2×

32

3

=,BO =2×cos60°=1．………………………………8分 在Rt △CBO 中，∠CBO =30°，CO =BO tan30°=3

3， ∴ CD =DO －CO =3

3

2333=

-

（km ）． 即C ，D 之间的距离为

3

3

2km ． ………………………………………………10分 23．(本题满分10分)

（1）证明：分别过点C ，D ，作CG ⊥AB ，DH ⊥AB ，

垂足为G ，H ，则∠CGA ＝∠DHB ＝90°．……1分

∴ CG ∥DH ．

∵ △ABC 与△ABD 的面积相等，

∴ CG ＝DH ． …………………………2分 ∴ 四边形CGHD 为平行四边形．

∴ AB ∥CD ． ……………………………3分

（2）①证明：连结MF ，NE ． …………………4分

设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2）．

∵ 点M ，N 在反比例函数x

k

y =（k ＞0）的图象上， ∴ k y x =11，k y x =22． ∵ ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴， ∴ OE ＝y 1，OF ＝x 2．

O A

B

C 中

山路

文化路

D 和

平

路

45° 15°

30°

环城路 E F A B D C 图 1 G H

y M

E

x

O y

N M E

F

∴ S △EFM ＝

k y x 2

1

2111=?， ………………5分 S △EFN ＝k y x 2

1

2

122=?． ………………6分

∴S △EFM ＝S △EFN ． ……………… 7分 由（1）中的结论可知：MN ∥EF ． ………8分 ② MN ∥EF ． …………………10分

（若学生使用其他方法，只要解法正确，皆给分．） 24．(本题满分12分)

解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴ △AMN ∽ △ABC ．

∴ AM AN AB AC

=，即43x AN

=．

∴ AN ＝4

3

x ． ……………2分

∴ S =2133248

MNP AMN S S x x x ??==

??=．（0＜x ＜4） ………………3分 （2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =2

1

MN ． 在Rt △ABC 中，BC ＝2

2

AB AC +=5． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．

∴ AM MN AB BC

=，即45x MN

=．

∴ 5

4MN x =

， ∴ 5

8

OD x =． …………………5分

过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则5

8

MQ OD x ==．

在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM QM BC AC

=．

∴ 5

5258324

x

BM x ?=

=，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝

49

96

． ∴ 当x ＝49

96

时，⊙O 与直线BC 相切．…………………………………………7分

（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．

∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC ．

∴ △AMO ∽ △ABP ．

A

B

C

M

N

D 图 2

O

Q

A M

N

O

A

B

M

N

P

图 1

O

∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2．

故以下分两种情况讨论：

① 当0＜x ≤2时，2Δ8

3

x S y PMN ==．

∴ 当x ＝2时，233

2.82

y =

?=最大 …………………………………………8分 ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．

∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵ MN ∥BC ，

∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ．

∴ ()424PF x x x =--=-． 又△PEF ∽ △ACB ．

∴ 2

PEF ABC

S PF AB S ????= ?

??． ∴ ()2

322

PEF S x ?=

-． ……………………………………………………… 9分 MNP PEF y S S ??=-＝()2

22339266828

x x x x --=-+-．……………………10分

当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-2

98283x ??

=--+ ???

．

∴ 当8

3

x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大． ……………………………11分 综上所述，当8

3

x =时，y 值最大，最大值是2． ……………………………12分

A

B

C

M

N P

图 4

O

E F