华东师大版八年级：勾股定理

勾股定理

1、掌握勾股定理与逆定理

2、会用逆定理判断三角形的形状

3、会用勾股定理及逆定理解决实际问题

一、勾股定理：

1．勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222c b a =+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边

2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

勾股数：满足222c b a =+的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。）

*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13

3．判断直角三角形：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）

其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）；

（2）若222b a c +=，则△ABC 是以△C 为直角的三角形； 若222c b a <+，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若222c b a >+，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）

教学目标

学习内容

知识梳理

注意：

（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 4. 反证法:

（1）反证法：是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

（2）反证法的一般步骤： △先假设结论的反面是正确的

△然后通过演绎推理，推理出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾 △从而说明假设不成立，进而得出原结论正确 二、勾股定理的应用 1. 勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n 的线段 2.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 3.勾股定理的应用

△已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在ABC 中，△C =90。

，则c =22b a +， b =22a c -，a =2

2b c -

△知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 △可运用勾股定理解决一些实际问题

题型一：直接考查勾股定理 例1. 在ABC ?中，90C ∠=?．

例题讲解

△已知6AC =，8BC =．求AB 的长 △已知17AB =，15AC =，求BC 的长 解：△2210AB AC BC =+= △228BC AB AC =-= 题型二：利用勾股定理测量长度

例2：如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！

根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC 2+92=152,所以AC 2=144,所以AC=12.

题型三：勾股定理和逆定理并用

例3：如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4

1

=那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？

解：设正方形ABCD 的边长为4a,则BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a 在Rt △CDE 中，DE 2=CD 2+CE 2=(4a)2+(2 a)2=20 a 2 同理EF 2=5a 2, DF 2=25a 2

在△DEF 中，EF 2+ DE 2=5a 2+ 20a 2=25a 2=DF 2 ∴△DEF 是直角三角形，且∠DEF=90°.

注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。

题型四：利用勾股定理求线段长度

例4： 如图，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.

解：根据题意得Rt △ADE ≌Rt △AEF ∴∠AFE=90°, AF=10cm, EF=DE 设CE=xcm ，

则DE=EF=CD －CE=8－x 在Rt △ABF 中由勾股定理得：

AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，

∴BF=6cm

∴CF=BC－BF=10－6=4(cm)

在Rt△ECF中由勾股定理可得：

EF2=CE2+CF2，即(8－x) 2=x2+42

∴64－16x+x2=2+16

∴x=3(cm),即CE=3 cm

题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直

例5：如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？

一﹑选择题

1. 一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）

A. 4

B. 8

C. 10

D. 12

2.小丰的妈妈买了一部29英寸(74cm)的电视机,下列对29英寸的说法中正确的是( )

A. 小丰认为指的是屏幕的长度

B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度

C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长

D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度

3.如图1，中字母A所代表的正方形的面积为( )

A. 4

B. 8

C. 16

D. 64

4. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )

A.钝角三角形

B. 锐角三角形

C. 直角三角形

D. 等腰三角形

5. 一直角三角形的一条直角边长是7cm , 另一条直角边与斜边长的和是49cm , 则斜边的长()

A. 18cm

B. 20 cm

C. 24 cm

D. 25cm

6. 适合下列条件的△ABC中, 直角三角形的个数为( )

综合题库

A

289

225

3

△;

5

1

,

4

1

,

3

1

=

=

=c

b

a△,6

=

a△A=450;△△A=320, △B=580;

△;

25

,

24

,7=

=

=c

b

a△.4

,2

,2=

=

=c

b

a

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

7. 在△ABC中，若1

,

2

,12

2+

=

=

-

=n

c

n

b

n

a，则△ABC是（）

A. 锐角三角形

B. 钝角三角形

C. 等腰三角形

D.直角三角形

8. 直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍, 这个三角形有一个锐角是( )

A. 15°

B. 30°

C. 45°

D. 60°

9.已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，

则△ABE的面积为（）

A．6cm2B．8cm2

C．10cm2 D 12cm2

10．已知，如图3，，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的

速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）

A．25海里B．30海里

C．35海里D．40海里

二﹑填空题

11.利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著

名的定理，这个定理称为，该定理的结论其数学表达式是．

12.如图5，等腰△ABC的底边BC为16, 底边上的高AD为6, 则腰长AB的长为____________.

13.如图6，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实

际游了520m，求该河流的宽度为_________m.

A

B

D

C

北

南

A东

（图3）

B C

200m

520m

14. 小华和小红都从同一点O 出发，小华向北走了9米到A 点，小红向东走了12米到了B 点，则

________=AB 米．

15. 一个三角形三边满足ab c b a 2)(22=-+, 则这个三角形是 三角形.

16. 木工做一个长方形桌面, 量得桌面的长为60cm, 宽为32cm, 对角线为68cm, 这个桌面 (填”合格”或”不合格”).

17. 直角三角形一直角边为cm 12，斜边长为cm 13，则它的面积为 ． 18. 如图7，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是 .

三、 解答题

19. 如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？（先画出示意图，然后再求解）

20.如图, 在△ABC 中, AD△BC 于D, AB=3, BD=2, DC=1, 求AC 2的值. A

B D C

21.小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m 2，其对角线长为10m ，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？

（ 图5）

D

C

B

A

（图6）

22．如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域.

（1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？

（2）若A 城受到这次台风影响，那么A 城遭受这次台风影响有多长时间？

八年级下册第二单元测题参考答案

一1.C 2.D 3.D 4.C 5.D 6.A 7.D 8.C 9.A 10.D

二11、勾股定理，222

a b c += ；12、10；13、480； 14、15；15、直角；16、合格；17、30；18、25. 三19、13米 20、AC 2＝6

21、矩形周长为28米。

22、（1）作AP△BD ，求出AP ＝160＜200，会受影响。

（2）以A 为圆心，以200为半径画弧交BF 于C 、D ，连结AC ，可求出CD ＝240千米，受影响时间为6小时。

归纳总结

东

北 F

E

A

B

一、勾股定理：

1．勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222c b a =+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

3．判断直角三角形：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 4. 反证法:

（1）反证法：是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

（2）反证法的一般步骤： △先假设结论的反面是正确的

△然后通过演绎推理，推理出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾 △从而说明假设不成立，进而得出原结论正确 二、勾股定理的应用 1. 勾股定理的作用： 2.勾股定理的适用范围 3.勾股定理的应用