2019年电大《工程数学》期末考试题库及答案
2019年电大《工程数学》期末考试题库及答案
1．设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是(A )
2．向量组的秩是（B ）．B . 3
3．n 元线性
方程组AX b =有解的充分必要条件是（A ）．A . )()(b A r A r M =
4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D ）．D . 9/25 5．设x x x n 12,,,Λ是来自正态总体N (,)μσ2
的样本，则（C ）是μ无偏估计． C . 3215
3
511
x x ++
6．若A 是对称矩阵，则等式（B ）成立． B . A A =' 7．=
??
?
???-1
5473
（ D ）．D . 7
543-??
??-??
8．若（A ）成立，则n 元线性方程组AX O =有唯一解．A . r A n ()= 9. 若条件（C ）成立，则随机事件A ，B 互为对立事件． C . ?=AB 且A B U += 10．对来自正态总体X N ~(,)μσ2
（μ未知）的一个样本X X
X 1
2
3
,,，记
∑==
3
1
31i i X X ，则下列各式中（C ）不是统计量． C .
∑=-3
1
2)(31i i X μ
11. 设A 为43?矩阵，B 为25?矩阵，当C 为（B ）矩阵时，乘积B C A ''有意义．B . 42? 12. 向量组
[][][][]
αααα1234000100120123====,,,,,,,,,,,的极大线性无关组是（ A ）．A ．α
αα2
34
,,
13. 若线性方程组的增广矩阵为
?
?
????=41221λA ，则当λ＝（D ）时线性方程组有无穷多解． D ．1/2
14. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（C ）. C .1/12
15. 在对单正态总体N (,)μσ2
的假设检验问题中，T 检验法解决的问题是（B ）．B .
未知方差，检验均值
16. 若A B ,都是n 阶矩阵，则等式（B 17. 向量组[][][][]3,2,1,3,0,0,0,2,1,0,0,14
3
2
1
====αααα的秩是（C ）．C . 3
18. 设线性方程组b AX =有惟一解，则相应的齐次方程组O AX =（A ）．A. 只有0解 19. 设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（D ）．D . )()()(AB P A P B A P -=- 1．设B A
,为三阶可逆矩阵，且0>k ，则下式(B )成立．2．下列命题正确的是（C
3．设
?
?
????=1551A ，那么A 的特征值是(D ) D ．-4，6
4．矩阵A 适合条件（ D ）时，它的秩为r ． D ．A 中线性无关的列有且最多达r 列 5．下列命题中不正确的是（ D ）．D ．A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量 6. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（ B ）． B ．1/18
????
??????-????????????????????-??????????732,320,011,001
7．若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是．A ．P A B P A P B ()()()+=+ 8. 若事件A ，B 满足1)()(>+B P A P ，则A 与B 一定（A ）． A ．不互斥
9．设A ,B 是两个相互独立的事件，已知则=+)(B A P （B ）B ．2/3 10．设n
x x x ,,,2
1
Λ是来自正态总体),(2
σμN 的样本，则（B ）是统计量． B ．∑=n
i i
x
n
1
1
1. 若0
3
5
1
021011
=---x ，则=x （A ）．A .3
2. 已知2维向量组4
3
2
1
,,,αααα，则),,,(4321ααααr 至多是（B ）．B 2
3. 设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（C ）． C . B A B A '+'='+)(
4. 若A B ,满足（B ），则A 与B 是相互独立． B . )()()(B P A P AB P =
5. 若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ，则等式（D ）成立． D . 2
2
)]([)()(X E X E X D -=
1．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( )
)BA
AB 11=-
2．方程组???
??=+=+=-3
312321
21a x x
a x x a x x 相容的充分必要条件是()，其中0≠i a ，)3,2,1(=i ． B ．0321=-+a a a
3．设矩阵
?
?
????--=1111A 的特征值为0，2，则3A 的特征值为 ( ) ． B ．0，6
4. 设A ，B 是两事件，则下列等式中（ ）是不正确的． C . )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容 5．若随机变量X 与Y 相互独立，则方差)32(Y X D -=（ ）．D ．)(9)(4Y D X D + 6．设A 是n m ?矩阵，B 是t s ?矩阵，且B C A '有意义，则C 是(B ．n s ? )矩阵．
7．若X 1、X 2是线性方程组AX =B 的解，而21ηη、是方程组AX = O 的解，则（ ）是AX =B 的解． A ．213
2
3
1
X X +
8．设矩阵，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=()C ．1，1,0 9. 下
列事件运算关系正确的是（ ）．A ．A B BA B +=
10．若随机变量)1,0(~N X ，则随机变量~23-=X Y （ N2.,3） ）．D ． 11．设32
1
,,x x
x 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则（）是μ
的无偏估计． C ．
3215
3
5151x x x ++
12．对给定的正态总体),(2σμN 的一个样本),,,(2
1
n x x
x Λ，2
σ
未知，求μ的置信区间，选用的样本函数服从（ ）．B ．t 分布
⒈设
a a a
b b b
c c c 1
23
1231
2
3
2=，
则
a a a a
b a b a b
c c c 123
11
22
331
2
3
232323---=（D ）．D. －6
⒉若，则a =（A ）． A. 1/2
⒊乘积矩阵
1124103521-??????-?????
?中元素c 23=C. 10
1
00100200001000=a
a ??
??
?
?????--=211102113A ,
3
1
)(,21)(==B P A P
⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B
⒌设A B ,均为n 阶方阵，k >0且k ≠1
，则下列等式正确的是（D ⒍下列结论正确的是（ A ）．A. 若A 是正交矩阵，则A -1也是正交矩阵 ⒎矩阵1
325?????
?的伴随矩阵为（）．C. 5
32
1--??
??
?
?
⒏方阵A 可逆的充分必要条件是（B ⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则()ACB '=-1
（D ）．D. ()B
C A ---'1
11
⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 A. ()A B A AB B +=++2
22
2
⒈用消元法得
x x x x x x 123233241
02+-=+=-=???
?
?的解x x x 1
23???????
?
??为（C ）．C. [,,]--'1122
⒉线性方程组
x x x x x x x 1231
323232
6334
++=-=-+=???
?
?（B ）．B. 有唯一解
⒊向量组
100010001121304??????????????????????????????????????????????
?
???,,,,的秩为（ A ）．A. 3
⒋设向量组为
αααα123411000011101011
11=????????
?
???=????????
?
???=????????
?
???=????????
?
?
??,,,，则（B ）是极大无关组．B. ααα123,,
⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）．D. 秩()A =秩()A -1 ⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）．可能无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．D. 齐次线性方程组一定有解 ⒏若向量组α
αα1
2,,,Λs
线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量
9．设A ，Ｂ为n 阶矩阵，λ既是Ａ又是Ｂ的特征值，x 既是Ａ又是Ｂ的属于λ的特征向量，则结论（）成立．Ｄ．x 是A+B 的属于λ的特征向量
10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．Ｃ．B
PAP =-1
⒈A B ,为两个事件，则（ B ）成立． B. ()A B B A +-?
⒉如果（ C ）成立，则事件A 与B 互为对立事件． C. AB =?且AB U =
⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（D ）． D. 30703
??..
4. 对于事件A B ,，命题（C ）是正确的． C. 如果A B ,对立，则A B ,对立
⒌某随机试验的成功率为)10(<
1()1()1(223p p p p p -+-+-
6.设随机变量X B n p ~(,)，且E X D X ().,().==48096，则参数n 与p 分别是（A ）． A. 6, 0.8
7.设f x ()为连续型随机变量X 的密度函数，则对任意的a b a b ,()<，E X ()=（A ）．A.
xf x x
()d -∞
+∞?
8.在下列函
数中可以作为分布密度函数的是（B ）． B.
9.设连续型随机变量X 的密度函数为f x ()，分布函数为F x ()，则对任意的区间(,)a b ，则=<<)(b X a P （D ）．D. f x x
a
b
()d ?
10.设X 为随机变量，E X D X (),()==μσ2
，当（C ）时，有E Y D Y (),()==01． C.
Y X =
-μ
σ
⒈设x x x n 12,,,Λ是来自正态总体N (,)μσ2
（μσ,2均未知）的样本，则（A ）是统计量． A. x 1
⒉设x x x 123,,是来自正态总体N (,)μσ2
（μσ,2均未知）的样本，则统计量（D ）不是μ的无偏估计D. x
x x 1
23
--
二、填空题（每小题3分，共15分） 1．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，则1
3A B
-'-=
-18 ．
2．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ= ，则称λ为A 的特征值． 3设随机变量
12~0.20.5X a ?? ?
??
，则a = 0.3．
4．设X 为随机变量，已知3)(=X D ，此时D X ()32-= 27 ． 5．设θ?是未知参数θ的一个无偏估计量，则有 ?()E θθ=． 6．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，则13
()A B
-'-=
8．
7．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量． 8．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P 0.3 ． 9．如果随机变量X 的期望2)(=X E ，9
)(2
=X
E ，那么=)2(X D 20．
10．不含未知参数的样本函数称为 统计量 ． 11. 设B A ,均为3阶矩阵，且3==B A ，则=--12AB -8 ． 12.设
??
??
?
?????=070040111A ，_________________)(=A r ．2
13. 设A B C ,,是三个事件，那么A 发生，但C B ,至少有一个不发生的事件表示为 )
(C B A +.
14. 设随机变量)15.0,100(~B X ，则=)(X E 15． 15. 设n
x x x
,,,21
Λ是来自正态总体N (,)μσ2
的一个样本，
∑==
n
i i x n x 1
1，则=)(x D
16. 设B A ,是3阶矩阵，其中2,3==B A ，则=
'-1
2B A 12．
17. 当λ=1 时，方程组
??
?-=--=+1
12121x x x x λ有无穷多解．．
18. 若5.0)(,6.0)(,9.0)(===+B P A P B A P ，则=)(AB P 0.2．
??
???
<
<=其它,02
0,sin )(π
x x x f
19. 若连续型随机变量X 的密度函数的是
??
?≤≤=其它,
010,2)(x x x f ，则=)(X E 2/3．
20. 若参数θ的估计量?θ满足E (?)θθ=，则称?θ为θ的无偏估计σ
． 1．行列式
7
01215683的元素21a 的代数余子式21
A 的值为= -56．
2．已知矩阵n
s ij
c C B A ?=)(,,满足CB AC =，则A 与B 分别是n n s s ??, 阶矩阵．
3．设B A ,均为二阶可逆矩阵，则=??
????---1
11O B A O
??
????O A B O ．
4．线性方程组
???
??=-+=+++=+++3264233
431
43214321x x x x x x x x x x x 一般解的自由未知量的个数为 2．
5．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量． 6． 设A ，B 为两个事件，若P （AB ）= P （A ）P （B ），则称A 与B 相互独立 ． 7．设随机变量X 的概率分布为
8．设随机变量
?
??
? ??3.03.04.0210
~X ，则E X ()=0.9． 9．设X 为随机变量，已知2)(=X D ，那么=-)72(X D 8．
10．矿砂的5个样本中，经测得其铜含量为1x ，2x ，3x ，4x ，5x （百分数），设铜含量服从N （μ，2σ），2σ未知，在
01.0=α下，检验0μμ=，则取统计量
5
0s x t μ-=
．
1. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为11,--B A ，则=
'--11
)(A B
B A )(1'-．
2. 向量组),0,1(),1,1,0(),0,1,
1(321k ===ααα线性相关，则_____=k .1-
3. 已知2.0)(,8.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P 6.0
．
4. 已知随机变量
?
?
????-5.01.01.03.05201~X ，那么=)(X E 4.2．
5. 设1021,,,x x x Λ是来自正态总体)4,(μN 的一个样本，则~
10
110
1
∑=i i
x
)10
4,
(μN ．
1．设
4
1
221
1
211)(22+-=x x x f ，则0)(=x f 的根是 2,2,1,1--
2．设向量β可由向量组n ααα,,,21Λ线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是n ααα,,,21Λ． 线性无关 3．若事件A ，B 满足B A ?，则 P （A - B ）= )()(B P A P - 4．．设随机变量的概率密度函数为
??
?
??≤≤+=其它,010,1)(2
x x k
x f ，则常数k =π
4
5．若样本n x x x ,,,21Λ来自总体)1,0(~N X ，且∑==
n
i i x n x 1
1，则~
x )
1,0(n
N
7．设三阶矩阵A 的行列式2
1=A ，则1-A =2
8．若向量组：
????
?
?????-=2121α，
??????????=1302α，????
??????-=2003k α，能构成
R 3一个基，则数k ．2≠
9．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量． 10．设A B ,互不相容，且P A ()>0，则P B A ()=0 ． 11．若随机变量X ~ ]2,0[U ，则=)(X D 1/3．
12．设θ?是未知参数θ的一个估计，且满足θθ=)?(E ，则θ?称为θ的无偏估计． ⒈2
1
01400
1
---= 7 ．
⒉
---111
111
11
x 是关于x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ．
⒊若A 为34?矩阵，B 为25?矩阵，切乘积AC B ''有意义，则C 为 5×4 矩阵． ⒋二阶矩阵
A =?????
?=
11015
??
????1051．
⒌设
A B =-??????
?
???=--??????124034120314,，则()A B +''=??
?
???--815360
⒍设A B ,均为3阶矩阵，且A B ==-3，则-=2AB 72 ．
⒎设A B ,均为3阶矩阵，且A B =-=-13,，则-'=-312()A B －3 ．
⒏若
A a =?????
?
101为正交矩阵，则a = 0 ．
⒐矩阵2
12402033--???????
???的秩为 2 ．
⒑设A A 12,是两个可逆矩阵，则A O O A 1
21
?????
?=-??
????--121
1A O O A ．
⒈当λ=1时，齐次线性方程组x x x x 12120
+=+=???λ有非零解．
⒉向量组[][]α
α1
2000111==,,,,,线性 相关 ．
⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩３ ．
⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量ααα123,,是
线性 相关 的．
⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα．
⒍向量组α
αα1
2,,,Λs 的秩与矩阵[]ααα12,,,Λs 的秩 相同 ．
⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个． ⒏设线性方程组AX b =有解，X 0
是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X
X 1
2,，则AX b =的通解为22110X k X k X ++．
9．若λ是Ａ的特征值，则λ
10．若矩阵Ａ满足A A '=-1 ，则称Ａ为正交矩阵．
⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为2/5． 2.已知P A P B ().,().==0305，则当事件A B ,互不相容时，P A B ()+= 0.8 ，P AB ()= 0.3 ． 3.A B ,为两个事件，且B A ?，则P A B ()+=()A P ． 4. 已知P AB P AB P A p ()(),()==，则P B ()=P -1．
5. 若事件A B ,相互独立，且P A p P B q (),()==，则P A B ()+=
pq q p -+．
6. 已知P A P B ().,().==0305，则当事件A B ,相互独立时，P A B ()+= 0.65 ，P A B ()= 0.3 ．
7.设随机变量X U ~(,)01，则X 的分布函数F x ()=
??
?
??≥<<≤111000
x x x x ．
8.若X B ~(,.)2003，则E X ()= 6 ．
9.若X N ~(,)μσ2，则P X ()-≤=μ
σ3)3(2Φ．
10.E X E X Y E Y [(())(())]--称为二维随机变量(,)X Y 的 协方差 ． 1．统计量就是不含未知参数的样本函数 ．
2．参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 ．常用的参数点估计有 矩估计法 和最大似然估 两种方法． 3．比较估计量好坏的两个重要标准是无偏性，有效性 ．
4．设x x x n 12,,,Λ是来自正态总体N (,)μσ2
（σ2
已知）的样本值，按给定的显著性水平α检验H H 0010:;:μμμμ=≠，需选取统计
x
5．假设检验中的显著性水平α为事件u x >-||0μ（u 为临界值）发生的概率．
三、（每小题16分，共64分） A1．设矩阵
A B =---??????
?
???=-??????112235324215011,，且有AX B ='，求X ．
解：利用初等行变换得
112100235010324001112100011210012301---??????????→-----??????????→-----??????????→-----??????
?
???112100011210001511112100011210001511
即
A -=-----??????
?
??
?1201721511 由矩阵乘法和转置运算得
X A B ='=-----??????????-??????????=--???????
???-120
17215112011511111362
2.设矩阵
??
??
??????=??????????--=500050002,322121011B A ，求B A 1-．
解：利用初等行变换得
??
??
?
?????--→??????????--102340011110001011100322010121001011??????????----→??????????----→146100135010001011146100011110001011
??
??
?
?????-----→146100135010134001 即
??
??
?
?????-----=-1461351341A 由矩阵乘法得
??
??
?
?????-----=????????????????????-----=-520125151051585000500021461351341B A
3.已知B AX =，其中
??
??
?
?????=??????????=108532,1085753321B A ，求X ．
解：利用初等行变换得
??????????------→??????????10552001321000132
11001085010753001321???
??????
?----→??????????---→1211002550103640211121100013210001321??
??
?
?????-----→1211
0025501014
6001即
??
??
?
?????-----=-1212551461A 由矩阵乘法运算得
??
??
??????--=????????????????????-----==-1282315138
1085321212551461B A X
4.设矩阵
??
??
?
?????-=??????????--------=031052,843722310B A ，I 是3阶单位矩阵，且有B X A I =-)(，求X ．
1. 解：由矩阵减法运算得
??
??
?
?????=??????????---------??????????=-943732311843722310100010001A I
利用初等行变换得
113100237010349001113100011210010301??????????→--??????
?
???
→----??????????→----??????
?
??
?113100011210001111110233010301001111
→---??????
?
??
?100132010301001111即
()
I A -=---??????
?
??
?-1
132301111
由矩阵乘法运算得
??
??
??????---=??????????-??????????---=-=-6515924
031052111103231)(1B A I X
5．设矩阵
?
????
?
??????--=????????????----=21101211,1341102041121021B A ，求（1）A ；（2）B A I )(-． （1）
13
1
7
102
04112102
113
4
1
102
04112102
1----=----=
A =2513
1
7
12000113
1
7
120121
-=--=--
（2）因为 )(A I -=
?????
?
? ??-------03411120412
21020
所以 B A I )(-=
??????? ??-------?03411120412
21020=???????
?
?--21101211
??????
?
??----093552
45．
6．设矩阵
??????-=????
?
?????-=653312,112411210B A ，解矩阵方程B AX '=．
解：因为
???
?
? ??---→????? ??-12073000121
001041
1100112010411001210
????
?
??----→????? ??---→123100247010235001123100001210011201，得
??
??
?
??----=-1232472351
A
所以=
'=-B A
X 1
????? ??----123247235????
?
??---=????? ??-13729161813635132．
7设矩阵
??
?
?????---=423532211A
1）
11
11
02112
1
11
02114
23532211=---=---=---=A
（2）利用初等行变换得
????
??????-----→??????????---1032100121100012
11100423010532001211
→-----??????????→-----??????????112100011210001511112100011210001511→------??????????→-----??????
?
??
?110922010721001511100201010721001511即
A -=-----???????
??
?120
1721511
8
.
,3221,5231X B ，XA B A 求且=??
?
???=??????=Ｘ．．，B A B ，AX ．BA X ，A AI 求且己知例于是得出????
??????=??????????==?
?
????--=??????--??????==??????--=??
????--→??????---→??????--→??????=--18305210738525312341112353221123513251001132510011021
130110015321)(1
1、9．设矩阵
??
?
?????=??????????--=210211321,100110132B A 解：（1）因为21
11
0132-=--=A
1
2
11
12
102111
10210211321-=-===B
所以 2==B A AB ．
（2）因为
[]??
??
?
?????--=100100010110001132I A
??
??
?
?????--→??????????--→10010011001012/32/1001100100110010101032所以
??
??
?
?????--=-10011012/32/11A ．
10．已知矩阵方程B AX X +=，其中
??
??
?
?????--=301111010A ，
??
??
?
?????--=350211B ，求X ．
解：因为B X A I =-)(，且
??
??
??????-----→??????????---=-1012100111100010
11100201010101001011)(I A I M
??
??
?
?????----→??????????-----→110100121010120001110100011110010101
即
??
??
?
?????----=--110121120)(1A I
所以
??
???
?????---=?????????
?--??????????----=-=-334231350211110121120)(1B A I X ．
11．设向量组)1,421(1
'
--=，，α，)4,1684(2
'
--=，，α
，)2,513(3'--=，，α，)1,132(4'-=，，
α，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组． 解：因为
（1α 2α 3α 4α）=
?
?
????
??????-------12
4
1
1516431822341
?????
?
???
???-----→11
770075002341?????
???????---→00
200011002341
所以，r (4
321
,,,αααα
) = 3．
它的一个极大线性无关组是 431,,ααα（或432,,ααα）． 1⒉设
A B C =--??????=-??????=--??????
?
???121012103211114321002,,，求AC BC +．
解：
??????--=????
?
?????--??
????=+=+10221046200123411102420)(C B A BC AC
13写出4阶行列式
：
3
526340
20)1(1441=--=+a
45
3
506310
21)1(2442=---=+a
14求矩阵
1011011110110010121012
113201????????
????的秩．
解
?????
???????----??→
??
?
???
?
?
?????-----??→???
?????
??
???-------???→???
??????????+-+-+-+-+-00000000111000111011011011010111000011100011101101101101
1221110
011100011101101101101
1023112
1012101001101111011012∴ 3)(=A R
15．用消元法解线性方程组
x x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341234326
38502412432
---=-++=-+-+=--+--=?????
????
???????
???-----??→?????????????---------???→?????????????----------=+-+++++-26121000
903927001887104823
19
1
8431001850188710612312314112141205183612315323A ?
?
???
?
?
??
???----???→???
?????
??
???----??→???
?????
??
???----??→?+-+-+---+3311000
41100461501012442001
1365004110018871048231901
1365
01233001887104823
1901
571931213r r r r r r r r r r ?
?
???
?
?
??
???--???→???
???????
???----??→?++-+-31000
101001001020
001
3100041100461501012442
001
342
41
441542111r r r r r r r ∴方程组解为
??????
?-==-==3
1124321x x x x
A2．求线性方程组
的全
部解．
解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形
????????????----→????????????-------0462003210010101113122842123412127211131?
?
???
?
?
?????---→???????
?????---→0000
002200010101113
10660
0022000101011131
方程组的一般解为
x x x x x x
14243
415=+==-???
?? （其中x 4为自由未知量）
令x 4=0，得到方程的一个特解)0001(0
'=X
.
方程组相应的齐方程的一般解为 ?????-===43
424
15x
x x x x x
（其中x 4为自由未知量）
令x 4=1，得到方程的一个基础解系)1115(1
'
-=X .
于是，方程组的全部解为 1
kX X
X +=（其中k 为任意常数）
2.当λ取何值时，线性方程组
???
??+=+++=+++-=--+1
4796372224321
43214321λx x x x x x x x x x x x
有解，在有解的情况下求方程组的全部解． 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
????
?
?????+-----→??????????+---19102220105111021211114796371221211λλ??
??
??????----→??????????-----→100001051110849
0110000105111021211λλ
由此可知当1≠λ时，方程组无解。当1=λ时，方程组有解。 ………7分 此时齐次方程组化为
??
?+=--=4
3243151149x x x x x x
??????
?=++-=++--=+-+-=-+-2
2842123422721
34321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x
分别令x x 3
410
==,及x
x 3
401==,，得齐次方程组的一个基础解系
[][]
'
-='-=1054,0111921X X 令x x 3400==,，得非齐次方程组的一个特解
[]'
-=001080X 由此得原方程组的全部解为
X X k X k X =++01122
（其中k k 12,为任意常数） ……16分
3.求线
性方程组
的全部解．
解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 ?????
?
??????----→????????????-------0462003210010101113122842123412127211131 ?
?
???
?
?
?????---→???????
??
???---→0000
002200010101113
10660
002200010101113
1
方程组的一般解为
x x x x x x
14243
415=+==-???
?? （其中x 4为自由未知量）
令x 4=0，得到方程的一个特解)0001(0
'
=X
.
方程组相应的齐次方程的一般解为
???
??-===43
42415x
x x x x x
（其中x 4为自由未知量）
令x 4=1，得到方程的一个基础解系)1115(1
'
-=X .
于是，方程组的全部解为 1
kX X
X +=（其中k 为任意常数）
4.求线性方程组 ??????
?=++--=--+--=--=+++8
832592343232432143214324321x x x x x x x x x x x x x x x
的全部解．
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
????????????-----→????????????--------2413043250432103211188312591234321032111?
?
???
?
?
?????---→????????????------→00000
211004321032
1
1
1
105500
241212004321032
1
1
1
?
?
???
?
??????-→00000211000101012
001
此时相应齐次方程组的一般解为
???
??-==-=43
42412x
x x x x x 4x 是自由未知量
??????
?=++-=++--=+-+-=-+-2
2842123422721
34321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x
令14=x ，得齐次方程组的一个基础解系
[]
'
--=11121X
令04=x ，得非齐次方程组的一个特解
[]'
=02010X
由此得原方程组的全部解为
10kX X X +=
（其中k 为任意常数）
5．设齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵经过初等行变换，得
201002320000A ??
??→-??
????
求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解．
因为
????
?
?????-→??????????-000012/31002/101000023200102
得一般解： ??
???
-=-=4
323123
21
x x x x x （其43,x x 是自由元）
令0,243==x x ，得[]
'-=02311X ； 令1
,043
==x x
，得[]
'
-=10102
X
．
所以，{
}2
1,X X 是方程组的一个基础解系．
方程组的通解为：=X 2211X k X k +，其中21,k k 是任意常数． 6．设齐次线性方程组???
??=+-=+-=+-0
830352023321
321321x x x x x x x x x
λ，λ为何值时方程组有非零解？在有非零解时，
解：因为 A =??????????---λ83352231
??????????---→610110231λ????
??????---→50011010