2019-2020学年江西省上饶市上饶中学高一(特零班)上学期第一次月考数学试题(解析版)

2019-2020学年江西省上饶市上饶中学高一上学期第一次月

考数学试题（特零班）

一、单选题

1．设集合{

}

2

20M x x x =--，{

}

1

|128x N x -=≤≤，则M N ?=（ ）

A.(]

2,4 B.[]1,4

C.(]1,4-

D.[

)4,+∞ 【答案】A

【解析】集合M 与集合N 的公共元素构集合M∩N ，由此利用集合M={x|x 2

﹣x ﹣

2>0}={x|x<﹣1或x>2}，N={x|1x 4≤≤}，能求出M∩N ． 【详解】

∵集合M={x|x 2﹣x ﹣2>0}={x|x<﹣1或x>2}， N={

}

1

|12

8x x -≤≤={x|1x 4≤≤}，

∴M∩N={x|2＜x 4≤}． 故选A 【点睛】

本题考查集合的交集及其运算，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，是基础题． 2．已知点()43P ,-是角α终边上的一点，则()sin πα-=（ ） A.

3

5

B.35

-

C.45

-

D.

45

【答案】A

【解析】根据三角函数的定义求出sin α，然后再根据诱导公式求出()sin πα-即可． 【详解】

∵点()4,3P -是角α终边上的一点， ∴3sin α5

=

， ∴()3sin ?

sin α5

πα-==． 故选A ． 【点睛】

本题考查三角函数的定义和诱导公式的运用，解题的关键是根据定义求出正弦值，然后

3．设,x y R ∈，向量()()(),1,1,,2,4a x b y c ===，且a c ad bc ad bc

b d bd bd bd

±±=±=，则a b +=( )

A ．B

C ．

D ．10

【答案】B 【解析】

,x y R ∈，向量()()(),1,1,,2,4a x b y c ===，由a c ⊥得240x +=，解

得2x =-；由//b c 得420y -=，解得2y =，

()()()2,1,1,2,1,3a b a b ∴=-=∴+=-

，()

2

1a b ∴+=

-=B,

4．函数()2

cos f x x x =在区间[]0,4上的零点个数为（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

【答案】C

【解析】依照函数零点的定义即可求出。 【详解】

令()2

cos 0f x x x ==，可得0x =或2cos 0x =，所以0x =或2

,2

x k k Z π

π=+

∈，

因为[]

0,4x ∈，[]2

0,16x ∈，所以k 的取值有0，1，2，3，4 ，故函数()2

cos f x x x

=在区间[]0,4上的零点个数为6，故选C 。 【点睛】

本题主要考查函数零点个数的求法以及三角方程的解法，常见函数零点个数的求法有：一是定义法；二是零点存在性定理结合函数单调性；三是利用函数零点个数与函数图象交点个数关系判断。

5．已知l ，m 为两条不同直线，α，β为两个不同平面.则下列命题正确的是（ ） A ．若l α，m α?，则l m

B ．若l α，m α，则l m

C ．若l α?，m β?，αβ∥，则l m

D ．若l α，l β∥，m αβ=，则l m

【答案】D

【解析】根据线面平行的定义、判定定理和性质定理等逐一判断其正误. 【详解】

则得到l 与m 无公共点，

则l 与m 可以平行，也可以是异面， 故选项A 不正确； 选项B ：设l β?，l αβ'=

因为//l α， 则//l l ' 因为//m α

l '与m 可以平行，也可以是异面，

故l 与m 可以平行，也可以是异面，也可以相交， 故选项B 不正确；

选项C ：因为l α?， αβ∥， 所以l 与β无公共点， 因为m β?， 所以l 与m 无公共点， 则l 与m 异面或平行， 故选项C 不正确； 选项D ：设l γ?，1l γα=，2l γβ=，

若//l α， 则1//l l ，

同理可得：2//l l ， 所以12l l //，

因为,12l l αα??， 所以//2l α， 因为m α

β=，2l β?，

所以//2l m ， 所以//l m ， 选项D 正确.

【点睛】

本题考查了线面平行、线线平行的位置关系，解题的关键是要能根据题意熟练运用判定定理与性质定理等进行演绎推理. 6．已知边长为1的菱形ABCD 中，3

A π

∠=，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图

的面积为（ ）

A ．

B C D 【答案】D

【解析】直接利用直观图画出斜二测画法，并利用定义求解即可 【详解】

菱形ABCD 中，1AB =，3

A π

∠=

，

则菱形的面积为12211sin 23ABD ABCD S S π?==?

???=

菱形；

所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图面积为

8S S =

==

.

故选：D ．

【点睛】

本题考查斜二画面法的定义，属于基础题

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为

A.6

B.9

【解析】通过三视图还原几的直观图，是一个条侧棱与底面垂直的三棱锥，利用三视图的数据求出几何体的体积即可。 【详解】

该几何体是三棱锥A BCD -，如图所示：

则111

(63)39332

BCD V S AB ?=

??=???=。 【点睛】

本题以三视图为载体，要求还原几何体的直观图，再通过三视图的数据，考查三棱锥体积公式的应用。

8．已知0,

2πθ?

?∈ ??

?，sin 45

πθ??-= ???，则sin 23πθ??+ ???的值为（ ）

A ．

B C D 【答案】D 【解析】【详解】

sin 4πθ??-= ???3sin )sin 2,cos sin 5θθθθθ?-=?=>

π

ππ4(0,)(0,),2(0,),cos 22425

θθθθ∈∴∈∈=

所以sin 23πθ??

+

??

?3143525210

+=?+?

= ，选D. 9．函数()()sin 22f x x π???

?

=+<

??

?

的图象向左平移

6

π

个单位后关于y 轴对称，则函数()f x 在0,2π??

????

上的最小值为（ ）

A ．

B ．12

-

C ．

12

D

【解析】利用平移后的图像关于y 轴对称求出?，再利用三角函数的性质可求其在给定范围上的最小值. 【详解】

平移得到的图像对应的解析式为()sin 23g x x π???

=++

??

?

， 因为()g x 为偶函数，所以()0sin 13g π???

=+=± ??

?

， 所以3

2

k π

π

?π+

=+

，其中k Z ∈.

因为2

π

?<，所以6

π=

?， 当0,

2x π??∈????

时，72666x πππ≤+≤，所以1sin 2126x π??-≤+≤ ???， 当且仅当2

x π=时，()min 1

2

f x =-

，故选B. 【点睛】

本题考查三角函数的图像变换及正弦型函数的最值的求法，属于中档题. 10．已知函数ln ()x

f x x

=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.b c a << B.b a c <<

C.a c b <<

D.c a b <<

【答案】D

【解析】可以得出11

ln 32,ln 251010

a c =

=，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】

()ln 2ln 322210a f ==

=, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9

336b f ===，再由对数函

数的单调性得到a

考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.

在上单调递减，则正数的最大值为

A. B.1 C. D.

【答案】A

【解析】先化简的表达式，平移后得到的解析式，再求出的解析式，然后利用的单调减区间列不等式组，求得的取值范围，进而求得正数的最大值. 【详解】

依题意，，向左平移个单位长度得到

.故，下面求函数的减区间：由，由于故上式可化为，由于函数

在上单调递减，故，解得，所以当时，为正数的

最大值.故选A.

【点睛】

本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数图像变化的知识，考查三角函数的单调区间的求法，综合性较强，需要较强的运算能力.是不能够直接合并起来的，需要通过运用降次公式两次，才能化简为的形式.求解三角函数单调区间时，要注意是正数还是负数.

12．由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准（）》于年月日正式实施.车辆驾驶人员酒饮后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，

喝瓶啤酒的情况

且图表示的函数模型，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：，）

阀值

，

车辆驾车人员血液酒精含量阀值 A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】由题意知车辆驾驶人员血液中的酒精小于时可以开车，此时，

令，解出的取值范围，结合题意求出结果.

【详解】 由图知，当时，函数

取得最大值，此时

；

当

时，

，当车辆驾驶人员血液中酒精小于

时可以

开车，此时.

由，得

，两边取自然对数得

，即，

解得，所以，喝啤酒需个小时候才可以合法驾车，故选：B.

【点睛】

本题考查了散点图的应用问题，也考查了分段函数不等式的应用问题，解题的关键就是将题中的信息转化为不等关系，利用分段函数来进行求解，考查分析问题的能力，属于中等题.

二、填空题

13．已知函数log (1)3a y x =++经过定点A , 定点A 也在函数()2x

f x b =+的图象上，

2(log 3)f =_________。

【答案】5

【解析】由题意函数log (1)3a y x =++经过定点A ，根据对数函数图像的性质，可求出点A 的坐标，再将点A 的坐标代入()2x

f x b =+，解得b 的值，再将2lo

g 3x =代

入()f x ，即可求解出结果。

函数log (1)3a y x =++经过定点A

(0,3)A ∴

又

定点A 也在函数()2x

f x b =+的图象上

023b ∴+=，解得2b =。

2log 32(log 3)225f ∴=+=，故答案为5.

【点睛】

本题主要考查了对数函数的图像和性质，以及换底公式的应用。

14．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE 、DE 的中点.将ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为______．

【答案】60．

【解析】将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，则IJ ∥侧棱，故GH 与IJ 所成角与侧棱与GH 所成的角相等．AD 为折成三棱锥的侧棱，则GH 与IJ 所成角的度数为60°． 【详解】

将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后， I 、J 分别为BE 、DE 的中点，则IJ ∥侧棱， 故GH 与IJ 所成角与侧棱与GH 所成的角相等； AD 为折成三棱锥的侧棱，因为∠AHG ＝60°， 故GH 与IJ 所成角的度数为60°， 故答案为：60°．

本题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．

15．己知函数2()(22)x x f x x -=-，则不等式(21)(1)0f x f ++≥的解集是_______. 【答案】[1,)-+∞

【解析】根据题意，分析可得函数f （x ）＝x 2

（2x

﹣2﹣x

）为奇函数且在R 上是增函数，则不等式f （2x +1）+f （1）≥ 0可以转化为2x +1≥﹣1，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【详解】

根据题意，对于函数f （x ）＝x 2（2x ﹣2﹣x ），有f （﹣x ）＝（﹣x ）2（2﹣x ﹣2x ）＝﹣x 2

（2x ﹣2﹣x

）＝﹣f （x ），

则函数f （x ）为奇函数，

函数f （x ）＝x 2（2x ﹣2﹣x ），其导数f ′（x ）＝2x （2x ﹣2﹣x ）+x 2?ln 2（2x +2﹣x ）＞0，则f

（x ）为增函数；

不等式f （2x +1）+f （1）≥ 0?f （2x +1）≥﹣f （1）?f （2x +1）≥f （﹣1）?2x +1≥﹣1， 解可得x ≥﹣1；

即f （2x +1）+f （1）≥0的解集是[﹣1,+∞）； 故答案为[﹣1,+∞）． 【点睛】

本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的奇偶性和单调性，以及利用奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键． 16．已知函数()cos2sin f x x x =+，若对任意实数x ，恒有()()()12f f x f αα≤≤，

则()12cos αα-=______． 【答案】1

4

-

【解析】由函数()f x 取得最值的条件，可求得121

sin 1,sin 4

αα=-=，再由三角恒等变换求()12cos αα-的值. 【详解】

对任意实数x ，恒有()()()12f

f x f αα≤≤，则()1f α为最小值，()2f α为最大值.

因为()2

2

19cos 2sin 12sin sin 2sin f x x x x x x ??=+=-+=--+，而

1sin 1x -≤≤，

所以当sin =1x -时，()f x 取得最小值；当1

sin 4

x =时，()f x 取得最大值. 所以121

sin 1,sin 4

αα=-=

.所以1cos 0α=. 所以()1212121cos cos cos sin sin 4

αααααα-=+=-. 【点睛】

本题考查三角函数的最值和三角恒等变换，解题的突破口是由不等式恒成立得出函数的最值.

三、解答题 17．设集合，

．

（1）求；

（2）若集合，满足

，求实数的取值范围． 【答案】（1）

；（2）

.

【解析】（1）根据指数函数的运算性质和对数函数的运算性质，分别求得集合，再

根据集合的交集的运算，即可求解. （2）由集合，得到

，即可求解.

【详解】

（1）由题意，根据指数函数的运算性质，可得，

由对数函数的运算性质，可得，

所以

.

（2）由题意，可得集合，因为

， 所以，解得

，即实数实数的取值范围

.

【点睛】

本题主要考查了集合的运算及应用，其中解答中根据指数函数与对数函数的额运算性质，正确求解集合

是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

18．已知向量()

()1,3,2,0a b ==-． （1）求a b -的坐标以及a b -与a 之间的夹角； （2）当[]

1,1t ∈-时，求a tb -的取值范围．

【答案】（1）(,

π

（2）

【解析】（1）根据向量的减法运算法则求出a b -的坐标，再用向量夹角公式即可求出a b -与a 之间的夹角；（2）利用向量的模的计算公式求出a tb -，再根据二次函数知识求出范围。 【详解】 （1）

，所以a b -

的坐标为(。

设a b -与a 之间的夹角为θ，

则

()

cos 9a b a a b a

θ-?=

==+-，而0θπ≤≤，故6π

θ=。 （2）

，

(12a

tb ∴-=+=

在11,2?

?--???

?

上递减，在1

,12

??

-????

上递增，所以1

2

t =-

时，a tb -最小值为， 1t =时，a tb -最大值为

a t

b -的取值范围为。

【点睛】

本意主要考查两个向量的夹角公式应用，向量的模的定义及求法，以及利用二次函数的单调性求函数取值范围，意在考查学生的数学运算能力。

19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 为单位圆上的一点，且4

AOP π

∠=

，点P 沿单位圆按逆时针方向旋转角θ后到点()Q a b ，

（1）当6

π

θ=

时，求ab 的值；

（2）设ππθ??∈，，求b a -的取值范围．

【答案】(1) 1

4

ab =

；(2) 1??

【解析】（1）由三角函数的定义得出

cos sin cos sin 4444P Q ππππθθ??

??????++ ? ? ? ????????

?，，，， 通过当6πθ=时，

cos 4a πθ??=+ ???，sin 4b πθ??

=+ ???

， 进而求出ab 的值；

（2）利用三角恒等变换的公式化简得b a θ-=，得出1θ得到b a -的取值范围． 【详解】

（1）由三角函数的定义，可得cos

sin

cos sin 4

444P Q π

πππθθ??

?

?

????++ ? ? ? ??

??????

?，，， 当6

π

θ=

时，55cos

sin 1212Q ππ?

? ??

?，，即55cos sin 1212

a b ππ==，， 所以55155151cos

sin 2cos sin sin 121221212264

ab πππππ==??=?=． （2）因为cos sin 44Q ππθθ??

????++

? ? ??????

?

，，所以cos sin 44a b ππθθ????=+=+ ? ?????，，

由三角恒等变换的公式，化简可得：

sin cos sin cos cos sin 444

444b a ππππππθθθθθ

?

????????-=+-+=+-+= ? ? ? ???????????，

因为42

ππθ??∈????

，，所以1θ

即b a -的取值范围为1??．

【点睛】

本题主要考查了任意角的三角函数的定义，两角和与差的正、余弦函数的公式的应用，以及正弦函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的定义与性质，以及两角和与差的三角函数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

20．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，OA ⊥底面ABCD ，

()1证明：直线//MN 平面OCD ； ()2求异面直线AB 与MD 所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】（1）取OB 的中点E ，连接ME NE ，，求证平面//EMN 平面OCD ，即可证明

//MN 平面OCD ；

（2）连接MC ，AC ，由题可得异面直线AB 与MD 所成角即为相交线CD 与MD 所成角，求出MCD ?的三边长，利用余弦定理即可得到答案。 【详解】

（1）证明：取OB 的中点E ，连接ME NE ， ，

在OBA ?中，E 为OB ，M 为OA ； //EM AB ∴；

又

四边形ABCD 为菱形，//AB CD ；

//EM CD ∴；

在OBC ?中，E 为OB ，N 为BC 中点，

∴//EN OC ；

由于//EM AB ，//EN OC ，ME MN E ?=，OC CD C ?=，,ME MN ?平面

EMN ，,OC OD ?平面OCD ；

∴平面//EMN 平面OCD ；

//MN 平面OCD

（2）连接MC ，AC ，由于//AB CD ，则异面直线AB 与MD 所成角即为相交线CD 与MD 所成角，

由M 为OA ，则1

12

AM OA =

=， 由四边形ABCD 为边长为2的菱形，则2CD =，由于060ABC ∠=，则2AC =; 由OA ⊥平面ABCD ，则OA AD ⊥，OA AC ⊥ ，

MD ===MC ==

∴在MCD ?中，222222cos

25MD CD MC MDC MD CD +-∠===

??；

所以异面直线AB 与MD 【点睛】

本题考查利用面面平行证明线面平面，考查利用三角形的余弦定理求异面直线所成角，属于中档题。

21．已知向量a ＝(cos 2ωx －sin 2ωx ，sin ωx )，b ＝，2cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b (x ∈R)的图象关于直线x ＝

π

2

对称，其中ω为常数，且ω∈(0，1)． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)若将y ＝f (x )图象上各点的横坐标变为原来的

16

，再将所得图象向右平移π

3个单位，

纵坐标不变，得到y ＝h (x )的图象，若关于x 的方程h (x )＋k ＝0在π0,2??

????上有且只有一

个实数解，求实数k 的取值范围．

【答案】（1）T ＝6π；单调递增区间为5ππ6π,6π22k k ??

-++????

，k ∈Z.（2）{k |k <≤或k ＝－2}．

π

()2sin(2)3

f x x ω=+，再利用对称性求出ω值，再利用三角函数的性质进行求解；（2）

先利用三角函数图象变换得到π()2sin(2)3h x x =-，再令π

23

x t -=，利用三角函数的

图象和数形结合思想进行求解. 【详解】

(1)f (x )＝a ·b 2ωx －sin 2ωx )＋2sin ωx cos ωx

ωx ＋sin2ωx ＝2sin 23x πω?

?

+ ??

?

. ∵直线x ＝

π

2

是y ＝f (x )的图象的一条对称轴， ∴ππ

ππ32k ω+=+(k ∈Z)，即ω＝k ＋16

(k ∈Z)．

又ω∈(0，1)，∴ω＝16，f (x )＝2sin 1

π3

3x ??+ ???，

∴T ＝6π. 令π1π

π2π2π2332k x k -

+++剟，k ∈Z ，得5ππ

6π6π22

k x k -++剟，k ∈Z ， 即函数f (x )的单调递增区间为5ππ6π,6π22k k ??

-

++????

，k ∈Z.

(2)由（1）得f (x )＝2sin 1

π3

3x ??+

???，将y ＝f (x )图象上各点的横坐标变为原来的16，再将

所得图象向右平移

π3个单位，纵坐标不变，得到y ＝2sin π23x ?

?- ??

?的图象，∴h (x )＝

2sin π23x ?

?- ??

?

. 令π23x -

＝t ，∵0≤x ≤π2

，∴－π3≤t ≤2π

3， 方程h (x )＋k ＝0在π0,2??

????

上有且只有一个实数解，

即方程2sin t ＋k ＝0在π2π,33-??

????

上有且只有一个实数解，

亦即y ＝2sin t ，t ∈π2π,33-

??

???

?的图象与直线y ＝－k 有且只有一个交点，

故实数k 的取值范围是{k |k <≤k ＝－2}．

【点睛】

本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质、三角函数的图象变换，意在考查学生的逻辑思维能力和综合分析解决问题的能力，属于中档题．解决本题的易错点在于三角函数的图象变换，学生往往得到错误的结果“()2sin 2h x x =”，在处理图象平移时，要注意平移的单位仅对于“自变量x ”而言，如本题中π

π()2sin[2()]33

h x x =-+.

22．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且22,0

()(),0x x x g x f x x ?+<=?>?

是奇函数.

（1）求()f x 的表达式；

（2）若()f x 在[,]a b 上的值域是11,b a ??

????，求证：a ，b 是方程1

()f x x

=

的两个根. 【答案】（1）2

()2(0)f x x x x =-+> ；（2）证明见解析.

【解析】（1）考虑()(0)g x x --<，利用()g x 与()g x -的关系从而可求()f x 的表达式； （2）先根据()f x 的定义域和值域，确定,a b 的范围；然后确定单调性得出()()f a f b 、与11a b

、的对应关系，则可说明待证明的问题. 【详解】

(1)设0x >，则0x -<， 因为()g x 是奇函数，

所以22

()()()()2()2f x g x g x x x x x ??==--=--+-=-+??， 即2

()2(0)f x x x x =-+>.

(2)由题意可得0b a >>，又22()2(1)11f x x x x =-+=--+≤，

所以11a

≤，1a ≥，所以()f x 在[,]a b 上是减函数，所以11(),()f a f b a b ==，

故,a b 是方程1

()f x x

=的两个根.

【点睛】

（1）求解含奇偶性的分段函数的解析式，从已知某段函数入手，将未知转化为已知，然后再利用奇偶性完成求解；