非线性系统作业-Backstepping设计

非线性系统作业-Backstepping设计

一、命题部分

考虑如下三阶严格反馈非线性系统

并且

设计状态控制器使得闭环系统是渐进稳定的，并给出一个二阶系统的数值仿真算例。

二、评分标准

1、论文排版格式（15分）；

2、控制器设计过程（45分）；

3、仿真算例控制器设计（25分）；

4、Matlab仿真图片（15分）。

三、教师评语

____________________________

注1：本页由学生填写卷头和“任课教师”部分，其余由教师填写。其中蓝色字体部分请教师在命题时删除。提交试卷时含本页。学生从第二页开始写作，要求见蓝色字体部分。

注2：“阅卷教师评语”部分请教师用红色或黑色碳素笔填写，不可用电子版。无“评语”视为不合规范。

注3：试题、评分标准、评语尽量控制在本页。

注4：不符合规范试卷需修改规范后提交。

密封线

Backstepping控制设计

郑晓龙

提要Backstepping设计方法是针对非线性系统的一种系统化的控制器综合方法，是将Lyapunov函数的选取与控制器的设计相结合的一种回归设计方法。它通过从系统的最低阶次微分方程开始，引入虚拟控制的概念，一

步一步设计满足要求的虚拟控制，最终设计出真正的控制律。本文基于Backstepping设计方法对三阶严格反

馈非线性系统进行了控制器设计，并对结论做了仿真验证。

关键词 Backstepping 非线性系统控制

一、引言

Backstepping （逐步后推，反推）设计方法是针对不确定性系统的一种系统化的控制器综合方法，是将Lyapunov 函数的选取与控制器的设计相结合的一种回归设计方法。它通过从系统的最低阶次微分方程开始，引入虚拟控制的概念，一步一步设计满足要求的虚拟控制，最终设计出真正的控制律.

Backstepping自适应控制是当前自适应控制理论和应用的前沿课题之一,近年来, 在处理线性和某些非线性系统时, 该方法在改善过渡过程品质方面展现出较大的潜力,除航空航天领域外, 在液压控制、电机控制、机器人控制、船舶控制等许多工业控制领域, 反推自适应控制的应用在国内外均有大量报道.

Backstepping 方法在处理非线性控制问题方面所具有的独特的优越性，近年来引起了众多学者的极大关注。Backstepping 的基本设计思想是将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统，然后单独设计每个子系统的部分 Lyapunov 函数，在保证子系统具有一定收敛性的基础上获得子系统的虚拟控制律，在下一个子系统的设计中，将上一个子系统的虚拟控制律作为这个子系统的跟踪目标。相似于上个子系统的设计，获得该子系统的虚拟控制律；以此类推，最终获得整个闭环系统的实际控制律，且结合Lyapunov 稳定性分析方法来保证闭环系统的收敛性。

Backstepping 可用来设计控制方案以满足三角结构单输入单输出非线性系统的匹配条件。Backstepping 设计方法之所以受到国内外学者的极大关注，主要原因为该方法取消了系统不确定性满足匹配条件的约束，从而解决了相对复杂的非线性系统的控制问题。在现实世界中，存在大量非线性系统具有(或者可以经过微分同胚变换成)严格反馈等规范型；该方法为复杂非线系统的 Lyapunov 函数设计提供了较为简单的结构化、系统化方法，解决了一直以来具有严格反馈等结构的非线性系统稳定性分析和控制器设计的难题。自适应 backstepping 设计方法发展的初级阶段，要求系统不确定性能够线性参数化。随着神经网络与模糊系统等智能控制技术的不断发展，很好地取消了自适应 backstepping 设计所需的该约束条件，从而使得 backstepping技术获得了很大的发展空间。特别是神经网络和自适应技术的引入，极大地推广了backstepping 方法的应用。

二、基于Backstepping三阶严格反馈非线性系统控制器设计

考虑如下三阶严格反馈非线性系统

（1）

密 封 线

这里，321,,f f f 是局部Lipschitz 且满足)0,0,0()0,0()0(321f f f ==。

假设 1.3,2,1),(1=++≤i x x k f i i i 。

首先，做如下坐标变换：

（2）

这里，21,αα为虚拟控制。

第一步，选择Lyapunov 函数：

（3）

1V 的导数为：

（4）

使用假设 1和完全平方公式得：

（5）

将（5）带入（4）得：

（6）

设计虚拟控制1α为：

（7）

这里111c k +=λ，然后可以得到下面的不等式：

（8）

第二步，选择Lyapunov 函数：

密封线

(9)

V的导数为：

2

(10) 使用假设 1和完全平方公式得：

(11)

将（11）带入（10）得：

密 封 线

（12）

这里：

设计虚拟控制2α为：

（13）

这里222c k +=λ，然后可以得到下面的不等式：

（14）

第三步，选择Lyapunov 函数：

（15）

3V 的导数为：

（16）

使用假设 1和完全平方公式得：

密封线

（17）

将（17）带入（16）得：

密 封 线

（18） 这里：

（19）

控制器设计为：

（20）

这里222c k +=λ，然后可以得到下面的不等式：

（21）

这里，0,0,0213>>>ωωc ，基于给定的条件可得所有闭环信号渐进稳定。设计过程完成。

密封线

三、仿真实例

考虑如下系统：

选择：

初始条件选择：

控制器为：

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仿真图如下：

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Matlab程序代码如下：

密封线

四、结语

本文针对三阶严格反馈非线性系统控制问题，采用Backstepping设计方法设计了一个光滑的而且结构简单的控制器，并且通过仿真实例验证了此控制器的有效性。由此可见，Backstepping控制设计方法对此类严格反馈非线性系统的控制器设计师十分有效和方便的。

五、参考文献

[1]Hassan K．Khalil 非线性系统（第三版）．电子工业出版社，2011.4