[配套K12]2018版高考数学二轮复习 大题规范练2“17题～19题+二选一”46分练 理

大题规范练(二) “17题～19题＋二选一”46分练

(时间：45分钟 分值：46分)

解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．如图4，已知点O 为△ABC 的外心，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 的对边分别为a ，b ，c ，且

2OA →＋3OB →＋4OC →

＝0.

图4

(1)求cos∠BOC 的值；

(2)若△ABC 的面积为15，求b 2

＋c 2

－a 2

的值.

【导学号：07804231】

[解] (1)设△ABC 外接圆的半径为R ，由2OA →＋3OB →＋4OC →＝0得3OB →＋4OC →＝－2OA →

， 两边平方得9R 2

＋16R 2

＋24R 2

cos∠BOC ＝4R 2

， 所以cos∠BOC ＝－21R 2

24R 2＝－7

8

.

(2)由题意可知∠BOC ＝2∠BAC ，∠BAC ∈?

????0，π2，cos∠BOC ＝cos 2∠BAC ＝2cos 2

∠BAC

－1＝－78，从而cos∠BAC ＝1

4，

所以sin∠BAC ＝1－cos 2

∠BAC ＝

15

4

， △ABC 的面积S ＝12bc sin∠BAC ＝15

8bc ＝15，故bc ＝8，

从而b 2＋c 2－a 2

＝2bc cos∠BAC ＝2×8×14

＝4.

18．某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：

(1)600的概率； (2)求特征量y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^

，并预测当特征量x 为570时特征量y

的值．

(附：回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^

＝

∑i ＝1

n

x i －x

y i －

y

∑i ＝1

n

x i －x

2

，a ^＝y －b ^

x )

[解] (1)记“至少有一个大于600”为事件A ， 则P (A )＝1－C 2

3C 25＝7

10

.

(2)由题中表格可知，x ＝555＋559＋551＋563＋552

5

＝556，y ＝

601＋605＋597＋599＋598

5＝600.

∴b ^

＝

－1×1＋3×5＋－－＋－＋－

－

－2

＋32

＋－2＋72＋－

2

＝

30

100

＝0.3，

a ^＝y －

b ^

x ＝600－0.3×556＝433.2， ∴线性回归方程为y ^

＝0.3x ＋433.2.

当x ＝570时，y ^

＝0.3×570＋433.2＝604.2， 故特征量x 为570时，特征量y 的估计值为604.2.

19．在平面四边形ACBD (如图5(1))中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB ，

设AB ＝2，∠BAD ＝30°，∠BAC ＝45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图5(2)所示的三棱锥C ′-ABD ，且使C ′D ＝

2.

图5(1) 图5(2)

(1)求证：平面C ′AB ⊥平面DAB ； (2)求二面角A -C ′D -B 的余弦值．

[解] (1)证明：取AB 的中点O ，连接C ′O ，DO ， 在Rt△AC ′B ，Rt△ADB 中，AB ＝2，C ′O ＝DO ＝1. 又∵C ′D ＝2，

∴C ′O 2

＋DO 2

＝C ′D 2

，即C ′O ⊥OD .

又∵C ′O ⊥AB ，AB ∩OD ＝O ，AB ，OD ?平面ABD ， ∴C ′O ⊥平面ABD .

又∵C ′O ?平面ABC ′，∴平面C ′AB ⊥平面DAB .

(2)以O 为原点，AB ，OC ′所在的直线分别为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A (0，－1,0)，B (0,1,0)，C ′(0,0,1)，D ?

??

??

32，12，0， ∴AC ′→＝(0,1,1)，BC ′→＝(0，－1,1)，C ′D →

＝? ??

??32，12，－1.

设平面AC ′D 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则???

??

n 1⊥AC ′→，

n 1⊥C ′D →，

即???

??

n 1·AC ′→＝0，

n 1·C ′D →＝0，

????

? y 1＋z 1＝0，32

x 1＋1

2y 1－z 1＝0，令z 1＝1，则y 1＝－1，x 1＝3，

∴n 1＝(3，－1,1)．

设平面BC ′D 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则???

??

n 2⊥BC ′→，n 2⊥C ′D →，

即???

??

n 2·BC ′→＝0，

n 2·C ′D →＝0，

????

?

－y 2＋z 2＝0，32x 2＋1

2y 2－z 2＝0，令z 2＝1，则y 2＝1, x 2＝

3

3

， ∴n 2＝?

??

??

33，1，1， ∴cos〈n 1，n 2〉＝3×

3

3

＋－

＋1×13＋1＋1×

1

3

＋1＋1＝

15×

73

＝

10535

，

二面角A -C ′D -B 的余弦值为－

105

35

. (请在第22～23题中选一题作答，如果多做，则按照所做第一题计分) 22．选修4－4：标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程是?

??

??

x ＝2＋t cos α

y ＝t sin α(t 为参数)，以O

为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2

cos 2

θ＋2ρ2

sin 2

θ＝12，且直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点． (1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 恒过的定点A 的坐标； (2)在(1)的条件下，若|AP ||AQ |＝6，求直线l 的普通方程． [解] (1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴C ：x 2

＋2y 2

＝12. 直线l 恒过的定点为A (2,0)．

(2)把直线l 的方程代入曲线C 的直角坐标方程中得： (sin 2

α＋1)t 2

＋4(cos α)t －8＝0.

由t 的几何意义知|AP |＝|t 1|，|AQ |＝|t 2|.∵点A 在椭圆内，这个方程必有两个实根，∴t 1t 2＝－8

sin 2α＋1，

∵|AP ||AQ |＝|t 1t 2|＝6， 即

81＋sin 2

α＝6，∴sin 2

α＝13

，∵α∈(0，π)， ∴sin α＝

33，cos α＝±6

3

， ∴直线l 的斜率k ＝±

2

2

， 因此，直线l 的方程为y ＝22(x －2)或y ＝－2

2

(x －2)． 23．选修4-5：不等式选讲

已知函数f (x )＝|x －3|＋|x ＋m |(x ∈R )． (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥6的解集；

(2)若不等式f (x )≤5的解集不是空集，求参数m 的取值范围.

【导学号：07804232】

[解] (1)当m

＝1时，f (x )≥6等价于?

??

??

x ≤－1

－x ＋－x －，或

?

??

??

－1＜x ＜3

x ＋－x －

，或?

??

??

x ≥3

x ＋＋x －

，

解得x ≤－2或x ≥4，

所以不等式f (x )≥6的解集为{x |x ≤－2或x ≥4}． (2)法一：化简f (x )得， 当－m ≤3时，

f (x )＝????

?

－2x ＋3－m ，x ≤－m m ＋3，－m ＜x ＜3

2x ＋m －3，x ≥3，

当－m ＞3时，

f (x )＝????

?

－2x ＋3－m ，x ≤3－3－m ，3＜x ＜－m ，

2x ＋m －3，x ≥－m

根据题意得：???

?

?

－m ≤3m ＋3≤5，即－3≤m ≤2，

或????

?

－m ＞3－m －3≤5

，即－8≤m ＜－3，

∴参数m 的取值范围为{m |－8≤m ≤2}．

法二：∵|x －3|＋|x ＋m |≥|(x －3)－(x ＋m )|＝|m ＋3|， ∴f (x )min ＝|3＋m |， ∴|m ＋3|≤5， ∴－8≤m ≤2，

∴参数m 的取值范围为{m |－8≤m ≤2}．