八年级初二数学 数学平行四边形的专项培优练习题(及解析
八年级初二数学 数学平行四边形的专项培优练习题(及解析
一、选择题
1.如图,在正方形ABCD 中,点E 、F 、H 分别是AB 、BC 、CD 的中点,CE 、DF 交于点G,连接AG 、HG .下列结论:①CE ⊥DF ;②AG=DG;③∠CHG=∠DAG .其中,正确的结论有( )
A .0个
B .1个
C .2个
D .3个
2.□ABCD 中,∠A=60°,点E 、F 分别在边AD 、DC 上,DE=DF ,且∠EBF=60°.若AE=2,FC=3,则EF 的长度为( )
A .21
B .25
C .26
D .5
3.如图,在平行四边形ABCD 中,272BC AB B CE AB =∠=?⊥,,于E F ,为AD 的中点,则AEF ∠的大小是( )
A .54?
B .60?
C .66?
D .72?
4.如图,点E 在正方形ABCD 外,连接AE BE DE ,,,过点A 作AE 的垂线交DE 于
F ,若210AE AF BF ===,,则下列结论不正确的是( )
A .AFD AE
B ??? B .点B 到直线AE 的距离为2
C .EB E
D ⊥
D .16AFD AFB S S ??+=
5.如图,在矩形ABCD 中,把矩形ABCD 绕点C 旋转,得到矩形FECG ,且点E 落在
AD 上,连接BE ,BG ,BG 交CE 于点H ,连接FH ,若FH 平分EFG ,则下列结论:
①AE CH EH +=;
②2DEC ABE ∠=∠; ③BH HG =;
④2CH AB =,其中正确的个数是( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
6.如图,点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点,点F 是边CD 上一点,连接ED ,EF ,ED 平分∠AEF ,过点D 作DG ⊥EF 于点M ,交BC 于点G ,连接GE ,GF ,若FG ∥DE ,则AB
AD
的值是( )
A .
32
B .
22
C .2
D .3
7.已知点M 是平行四边形ABCD 内一点(不含边界),设
12MAD MBA θθ∠=∠=,,3 MCB θ∠=,4MDC θ∠=.若
110,AMB ∠=? 90CMD ∠=?,60BCD ∠=?,则( )
A .142310θθθθ+--=?
B .241330θθθθ+--=?
C .142330θθθθ+--=?
D .241340θθθθ+--=?
8.如图,正方形ABCD 的边长为4,E 为BC 上一点,且BE =1,F 为AB 边上的一个动点,连接EF ,以EF 为边向右侧作等边△EFG ,连接CG ,则CG 的最小值为( )
A.0.5 B.2.5 C.2D.1
9.如图,已知△ABC的面积为12,点D在线段AC上,点F在线段BC的延长线上,且BF=4CF,四边形DCFE是平行四边形,则图中阴影部分的面积为()
A.2 B.3 C.4 D.5
10.如图,己知正方形ABCD的边长为4, P是对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,
PF⊥CD于点F,连接AP, EF,给出下列结论:①PD=2EC;②四边形PECF的周长为8;
③△APD一定是等腰三角形;④AP=EF;⑤EF的最小值为22;⑥AP⊥EF,其中正确结论的序号为()
A.①②④⑤⑥B.①②④⑤C.②④⑤D.②④
二、填空题
,顶点D坐标为11.如图,菱形ABCD的BC边在x轴上,顶点C坐标为(3,0)
(0,4),点E在y轴上,线段//
EF x轴,且点F坐标为(8,6),若菱形ABCD沿x轴左右运动,连接AE、DF,则运动过程中,四边形ADFE周长的最小值是_______.
△和等12.已知:点B是线段AC上一点,分别以AB,BC为边在AC的同侧作等边ABD
边BCE,点M,N分别是AD,CE的中点,连接MN.若AC=6,设BC=2,则线段MN的长是__________.
13.如图正方形 ABCD 中,E 是 BC 边的中点,将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ,延长 EF 交 CD 于 G ,接 CF ,AG .下列结论:① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°,且BE + DG = EG ;③
ABCD 1
9
CEF S S ?=正方形;④ AD = 3DG ,正确是_______ (填序号).
14.如图,在菱形ABCD 中,AC 交BD 于P ,E 为BC 上一点,AE 交BD 于F ,若AB=AE ,
EAD 2BAE ∠∠=,则下列结论:①AF=AP ;②AE=FD ;③BE=AF .正确的是______(填
序号).
15.如图,已知在△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,点M 是AC 边上任意一点,连接MB ,以MB 、MC 为邻边作平行四边形MCNB ,连接MN ,则MN 的最小值是______
16.如图,矩形ABCD 的面积为36,BE 平分ABD ∠,交AD 于E ,沿BE 将ABE ?折叠,点A 的对应点刚好落在矩形两条对角线的交点F 处.则ABE ?的面积为________.
17.已知:一组邻边分别为6cm 和10cm 的平行四边形ABCD ,DAB ∠和ABC ∠的平分线分别交CD 所在直线于点E ,F ,则线段EF 的长为________cm .
18.如图,在ABC 中,D 是AB 上任意一点,E 是BC 的中点,过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ,连BF ,CD ,若30FDB ∠=?,45ABC ∠=?,22BC =,则
DF =_________.
19.如图,四边形ABCP 是边长为4的正方形,点E 在边CP 上,PE =1;作EF ∥BC ,分别交AC 、AB 于点G 、F ,M 、N 分别是AG 、BE 的中点,则MN 的长是_________.
20.如图,在□ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,AB =OB ,E 为AC 上一点,BE 平分∠ABO ,EF ⊥BC 于点F ,∠CAD =45°,EF 交BD 于点P ,BP =5,则BC 的长为_______.
三、解答题
21.如图,在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,AB AD =,对角线AC ,BD 交于点O ,
AC 平分BAD ∠,过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ,连接OE .
(1)求证:四边形ABCD 是菱形; (2)若5AE =,3OE =,求线段CE 的长. 22.在数学的学习中,有很多典型的基本图形.
(1)如图①,ABC 中,90BAC ∠=?,AB AC =,直线l 经过点A ,BD ⊥直线l ,
CE ⊥直线l ,垂足分别为D 、E .试说明ABD CAE ≌;
(2)如图②,ABC 中,90BAC ∠=?,AB AC =,点D 、A 、F 在同一条直线上,BD DF ⊥,3AD =,4BD =.则菱形AEFC 面积为______.
(3)如图③,分别以Rt ABC 的直角边AC 、AB 向外作正方形ACDE 和正方形
ABFG ,连接EG ,AH 是ABC 的高,延长HA 交EG 于点I ,若6AB =,8AC =,求AI 的长度.
23.在一次数学探究活动中,小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究,得出了如下结论:如图1,四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,AC BD ⊥,则
2222AB CD AD BC +=+.
(1)请帮助小明证明这一结论;
(2)根据小明的探究,老师又给出了如下的问题:如图2,分别以Rt ACB 的直角边
AC 和斜边AB 为边向外作正ACFG 和正方形ABDE ,连结CE 、BG 、GE .已知4AC =,5AB =,求GE 的长,请你帮助小明解决这一问题.
24.如下图1,在平面直角坐标系中xoy 中,将一个含30的直角三角板如图放置,直角顶
点与原点重合,若点A 的坐标为()1,0-,30ABO ∠=?.
(1)旋转操作:如下图2,将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时,则点B 的坐标为 .
(2)问题探究:在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60?,如图3,在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ,问:是否存在这样的点D ,使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形,若存在,请直接写出点D 所有可能的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)动点分析:在图3的基础上,过点O 作OP AB ⊥于点P ,如图4,若点F 是边OB 的中点,点M 是射线PF 上的一个动点,当OMB △为直角三角形时,求OM 的长.
25.如图,在长方形ABCD 中,8,6AB AD ==. 动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动,点P 的运动速度为每秒2个单位,点Q 的运动速度为每秒1个单位,当点P 运动到点C 时,两个点都停止运动,设运动的时间为()t s .
(1)请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长,则PC ________,BQ =________.
(2)在运动过程中,若存在某时刻使得BPQ ?是等腰三角形,求相应t 的值. 26.如图1,在矩形纸片ABCD 中,AB =3cm ,AD =5cm ,折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处,折痕为PQ ,过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ,连接BF .
(1)求证:四边形BFEP 为菱形;
(2)当E 在AD 边上移动时,折痕的端点P 、Q 也随着移动. ①当点Q 与点C 重合时, (如图2),求菱形BFEP 的边长;
②如果限定P 、Q 分别在线段BA 、BC 上移动,直接写出菱形BFEP 面积的变化范围. 27.已知四边形ABCD 是正方形,将线段CD 绕点C 逆时针旋转α(090α?<),得到线段CE ,联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F . (1)如图,当BE =CE 时,求旋转角α的度数;
(2)当旋转角α的大小发生变化时,BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化,请用含α的代数式表示;如果不变,请求出BEF ∠的度数; (3)联结AF ,求证:2DE =
.
28.如图,在正方形ABCD 中,点E 是BC 边所在直线上一动点(不与点B 、C 重合),过点B 作BF ⊥DE ,交射线DE 于点F ,连接CF .
(1)如图,当点E 在线段BC 上时,∠BDF=α. ①按要求补全图形;
②∠EBF =______________(用含α的式子表示); ③判断线段 BF ,CF ,DF 之间的数量关系,并证明.
(2)当点E 在直线BC 上时,直接写出线段BF ,CF ,DF 之间的数量关系,不需证明. 29.如图,ABC ?是边长为3的等边三角形,点D 是射线BC 上的一个动点(点D 不与点B 、C 重合),ADE ?是以AD 为边的等边三角形,过点E 作BC 的平行线,交直线
AC 于点F ,连接BE .
(1)判断四边形BCFE 的形状,并说明理由; (2)当DE AB ⊥时,求四边形BCFE 的周长;
(3)四边形BCFE 能否是菱形?若可为菱形,请求出BD 的长,若不可能为菱形,请说明理由.
30.如图,ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==,点P 从点A 出发,沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动,连接PO ,并延长交BC 于点Q .设点P 的运动时间为t 秒. (1)求BQ 的长(用含t 的代数式表示); (2)当四边形ABQP 是平行四边形时,求t 的值;
(3)当
32
5
t 时,点O是否在线段AP的垂直平分线上?请说明理由.
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一、选择题
1.C
解析:C
【分析】
连接AH,由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点,容易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF,根据全等三角形的性质,容易证得CE⊥DF与AH⊥DF,故①正确;根据垂直平分线的性质,即可证得AG=AD,继而AG=DC,而DG≠DC,所以
AG≠DG,故②错误;由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可证得HG=1
2 DC,
∠CHG=2∠GDC,根据等腰三角形的性质,即可得∠DAG=2∠DAH=2∠GDC.所以∠DAG=∠CHG,④正确,则问题得解.
【详解】
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°,
∵点E. F. H分别是AB、BC、CD的中点,
∴BE=FC
∴△BCE≌△CDF,
∴∠ECB=∠CDF,
∵∠BCE+∠ECD=90°,
∴∠ECD+∠CDF=90°,
∴∠CGD=90°,
∴CE⊥DF,故①正确;连接AH,
同理可得:AH⊥DF,
∵CE⊥DF,
∴△CGD为直角三角形,
∴HG=HD=1
2 CD,
∴DK=GK,
∴AH垂直平分DG,
∴AG=AD=DC,
在Rt△CGD中,DG≠DC,
∴AG≠DG,故②错误;
∵AG=AD, AH垂直平分DG
∴∠DAG=2∠DAH,
根据①,同理可证△ADH≌△DCF
∴∠DAH=∠CDF,
∴∠DAG=2∠CDF,
∵GH=DH,
∴∠HDG=∠HGD,
∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF,
∴∠GHC=∠DAG,故③正确,
所以①和③正确选择C.
【点睛】
本题考查正方形的性质,全等三角形的判定与性质,利用边角边,容易证明
△BCE≌△CDF,从而根据全等三角形的性质和等量代换即可证∠ECD+∠CDF=90°,从而①可证;证②时,可先证AG=DC,而DG≠DC,所以②错误;证明③时,可利用等腰三角形的性质,证明它们都等于2∠CDF即可.
2.A
解析:A
【解析】
【分析】
由DE=DF,AE=2,FC=3可知AB-BC=1,过点E作EM⊥AB于M,根据30°角所对的直角等于斜边的一半可得AM=1,进而得出BM=BC,将△BEM顺时针旋转120°得
△BEN,连接FN,可证△BEF≌△BFN,即可得出EF=FN,过点N作NG⊥DC交DC的延长线于点G,利用勾股定理即可求出答案.
【详解】
解:过点E作EM⊥AB于M,在Rt△AEM中,∠A=60°,
∴∠AEM=30°,
∴AM=1
2
AE=1,
∴3
又∵DE=DF,AE=2,FC=3,
∴DC-AD=1,即AB-BC=1,
∴BM=BC,
将△BEM顺时针旋转120°得△BEN,连接FN,则3BE=BN,∵∠EBF=60°,∠EBN=120°,
∴∠NBF=60°,
∴∠EBF=∠NBF
又∵BE=BN,BF=BF,
∴△BEF≌△BFN,
∴EF=FN,
过点N作NG⊥DC交DC的延长线于点G,
∵∠GCN=180°-60°-90°=30°,
∴NG=1
2
3 ()2
233
3
22
??
-=
?
?
??
∴FG=3+3
2
=
9
2
2
2
93
21 22
??
??
+=
?
? ?
????
21
21.
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识,合理添加辅助线是解题关键.
3.A
解析:A
【分析】
过F作AB的平行线FG,由于F是AD的中点,那么G是BC的中点,即Rt△BCE斜边上的中点,由此可得BC=2EG=2FG,即△GEF、△BEG都是等腰三角形,因此求∠B的度数,只需求得∠BEG的度数即可;易知四边形ABGF是平行四边形,得∠EFG=∠AEF,由此可求得∠FEG的度数,即可得到∠AEG的度数,根据邻补角的定义可得∠BEG的度数,由此得解.
【详解】
解:过F作FG∥AB交BC于G,连接EG,
∵在平行四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,
∴FG∥AB∥CD,
∵FG∥AB,AD∥BC,
∴四边形ABGF是平行四边形,
∴AF=BG,
又∵F为AD中点
∴G是BC的中点;
∵BC=2AB,F为AD的中点,
∴BG=AB=FG=AF,
∵在Rt△BEC中,EG是斜边上的中线,
∴BG=GE=FG=1
2 BC;
∴∠BEG=∠B=72°,
∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=180°﹣∠BEG=108°,∵AE∥FG,
∴∠EFG=∠AEF,
∵GE=FG,
∴∠EFG=∠FEG,
∴∠AEF=∠FEG=1
2
∠AEG=54°,
故选:A.
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质,正确地构造出辅助线是解决问题的关键.
4.B
解析:B 【分析】
A 、首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD ≌△AE
B ; B 、利用全等三角形的性质和对顶角相等即可解答;
C 、由(1)可得∠BEF =90°,故BE 不垂直于AE 过点B 作BP ⊥AE 延长线于P ,由①得∠AEB =135°所以∠PEB =45°,所以△EPB 是等腰Rt △,于是得到结论;
D 、根据勾股定理和三角形的面积公式解答即可. 【详解】
解:在正方形ABCD 中,AB =AD , ∵AF ⊥AE ,
∴∠BAE +∠BAF =90°,
又∵∠DAF +∠BAF =∠BAD =90°, ∴∠BAE =∠DAF , 在△AFD 和△AEB 中,
AE AF BAE DAF AB AD =??
∠∠??=?
= ∴△AFD ≌△AEB (SAS ),故A 正确;
∵AE =AF ,AF ⊥AE , ∴△AEF 是等腰直角三角形, ∴∠AEF =∠AFE =45°,
∴∠AEB =∠AFD =180°?45°=135°, ∴∠BEF =135°?45°=90°, ∴EB ⊥ED ,故C 正确; ∵AE =AF 2, ∴FE 2AE =2,
在Rt △FBE 中,BE 221046FB FE -=-= ∴S △APD +S △APB =S △APE +S △BPE , =
11
222622
? 16=D 正确;
过点B 作BP ⊥AE 交AE 的延长线于P , ∵∠BEP =180°?135°=45°,
∴△BEP是等腰直角三角形,
∴BP=2
63?=,
即点B到直线AE的距离为3,故B错误,
故选:B.
【点睛】
本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理的应用,综合性较强,难度较大,熟记性质并仔细分析图形,理清图中三角形与角的关系是解题的关键.
5.C
解析:C
【分析】
如图,作BM⊥EC于M.证明△BEA≌△BEM(AAS),△BMH≌△GCH(AAS),利用全等三角形的性质即可一一判断.
【详解】
解:如图,作BM⊥EC于M.
∵CB=CE,
∴∠CBE=∠CEB,
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠CBE,
∴∠AEB=∠MEB,
∵∠A=∠BME=90°,BE=BE,
∴△BEA≌△BEM(AAS),
∴AE=EM,AB=BM.
∵∠BMH=∠GCH=90°,∠BHM=∠GHC,BM=AB=CG,
∴△BMH≌△GCH(AAS),
∴MH=CH,BH=HG,
∴EH=EM+MH=AE+CH,故①③正确,
∵∠AEB+∠ABE=90°,
∴2∠AEB+2∠ABE=180°,
∵∠DEC+∠AEC=180°,∠AEC=2∠AEB,
∴∠DEC+2∠AEB=180°,
∴∠DEC=2∠ABE ,故②正确, ∵FH 平分∠EFG , ∴∠EFH=45°, ∵∠FEH=90°, ∴AB=EF=EH , ∵EH >HM=CH , ∴CH <AB ,故④错误. 故选:C . 【点睛】
本题考查性质的性质,矩形的性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
6.C
解析:C 【分析】
由题意得△AED ≌△MED 、△BEG ≌△MEG 、△MGF ≌△CGF ,设CG=x ,用含x 的式子表示
AD =2x ,AB =,即可得出AB AD 2x
==【详解】 ∵ED 平分∠AEF ∴∠AED=∠DEM
在矩形ABCD 中,∠A=∠B=∠BCD=90° ∵DG ⊥EF
∴∠DME=∠EMG=∠GMF=90° ∴∠A=∠DME=90° ∵DE=DE ∴△AED ≌△MED ∴ME=AE
∵点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点 ∴AE=BE ∴ME=BE
∵∠EMC=∠B=90°, EG=EG ∴Rt △BEG ≌Rt △MEG ∵AD ∥BC ∴∠ADG=∠CGD ∵ED ∥GF ∴∠EDM=∠FGM ∴∠ADE=∠CGF ∴∠CGF=∠FGM ∴△MGF ≌△CGF
∴MG=CG=BG 设CG=x ∴BC=2x ∴AD=DM=2x ∴DG=3x
根据勾股定理可得
CD =
∴AB =
∴
AB AD ==故选:C 【点睛】
本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定和性质、勾股定理,掌握和全等三角形的判定和性质、勾股定理是解题的关键.
7.D
解析:D 【分析】
依据平行四边形的性质以及三角形内角和定理,可得θ2-θ1=10°,θ4-θ3=30°,两式相加即可得到θ2+θ4-θ1-θ3=40°. 【详解】
解:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠BAD=∠BCD=60°,
∴∠BAM=60°-θ1,∠DCM=60°-θ3,
∴△ABM 中,60°-θ1+θ2+110°=180°,即θ2-θ1=10°①, △DCM 中,60°-θ3+θ4+90°=180°,即θ4-θ3=30°②, 由②+①,可得(θ4-θ3)+(θ2-θ1)=40°,
2413 40θθθθ∴+--=?;
故选:D. 【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形内角和定理等知识;熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键.
8.B
解析:B 【分析】
由题意分析可知,点F 为主动点,G 为从动点,所以以点E 为旋转中心构造全等关系,得到点G 的运动轨迹,之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG 最小值. 【详解】
由题意可知,点F 是主动点,点G 是从动点,点F 在线段上运动,点G 也一定在直线轨迹
上运动,
如图,将ΔEFB绕点E旋转60°,使EF与EG重合,得到ΔEFB?ΔEHG,
从而可知ΔEBH为等边三角形,点G在垂直于HE的直线HN上,
如图,作CM⊥HN,则CM即为CG的最小值,
作EP⊥CM,可知四边形HEPM为矩形,
则
135
1=2.5
222
CM MP CP HE EC
=+=+=+=.
故选B.
【点睛】
本题考查了线段极值问题,构造图形计算,是极值问题中比较典型的类型.分清主动点和从动点,通过旋转构造全等,从而判断出点G的运动轨迹,是解本题的关键.
9.C
解析:C
【分析】
想办法证明S阴=S△ADE+S△DEC=S△AEC,再由EF∥AC,可得S△AEC=S△ACF解决问题.
【详解】
连接AF、EC.
∵BC=4CF,S△ABC=12,
∴S△ACF=1
3
×12=4,
∵四边形CDEF是平行四边形,
∴DE∥CF,EF∥AC,
∴S△DEB=S△DEC,
∴S阴=S△ADE+S△DEC=S△AEC,
∵EF∥AC,
∴S△AEC=S△ACF=4,
∴S阴=4.
故选C.
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识,解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.
10.A
解析:A
【分析】
①根据正方形的对角线平分对角的性质,得△PDF是等腰直角三角形,在Rt△DPF中,
DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得DP=2EC.
②先证明四边形PECF为矩形,根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC,则四边形PECF的周长为8;
③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形;
④由②可知,四边形PECF为矩形,则通过正方形的轴对称性,证明AP=EF;
⑤当AP最小时,EF最小,EF的最小值等于22;
⑥证明∠PFH+∠HPF=90°,则AP⊥EF.
【详解】
①如图,延长FP交AB与G,连PC,延长AP交EF与H,
∵GF∥BC,
∴∠DPF=∠DBC,
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DBC=45°
∴∠DPF=∠DBC=45°,
∴∠PDF=∠DPF=45°,
∴PF=EC=DF ,
∴在Rt △DPF 中,DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2,
∴EC .故①正确; ②∵PE ⊥BC ,PF ⊥CD ,∠BCD=90°, ∴四边形PECF 为矩形,
∴四边形PECF 的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8,故②正确; ③∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点,∠ADP=45度, ∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时,△APD 是等腰三角形, 除此之外,△APD 不是等腰三角形, 故③错误.
④∵四边形PECF 为矩形, ∴PC=EF ,
由正方形为轴对称图形, ∴AP=PC , ∴AP=EF , 故④正确; ⑤由EF=PC=AP , ∴当AP 最小时,EF 最小,
则当AP ⊥BD 时,即AP=12BD=1
2
时,EF 的最小值等于,故⑤正确; ⑥∵GF ∥BC , ∴∠AGP=90°, ∴∠BAP+∠APG=90°, ∵∠APG=∠HPF , ∴∠PFH+∠HPF=90°, ∴AP ⊥EF , 故⑥正确;
本题正确的有:①②④⑤⑥; 故选:A . 【点睛】
本题考查了正方形的性质,垂直的判定,等腰三角形的性质,勾股定理的运用.本题难度较大,综合性较强,在解答时要认真审题.
二、填空题
11.18 【分析】
由题意可知AD 、EF 是定值,要使四边形ADFE 周长的最小,AE +DF 的和应是最小的,运用“将军饮马”模型作点E 关于AD 的对称点E 1,同时作DF ∥AF 1,此时AE +DF 的和即为E 1F 1,再求四边形ADFE 周长的最小值.
【详解】
在Rt △COD 中,OC =3,OD =4, CD =22OC +OD =5, ∵ABCD 是菱形, ∴AD =CD =5,
∵F 坐标为(8,6),点E 在y 轴上, ∴EF =8,
作点E 关于AD 的对称点E 1,同时作DF ∥AF 1, 则E 1(0,2),F 1(3,6), 则E 1F 1即为所求线段和的最小值,
在Rt △AE 1F 1中,E 1F 1=222
11EE +EF =-+(8-5)=5
2(62), ∴四边形ADFE 周长的最小值=AD +EF +AE +DF = AD +EF + E 1F 1=5+8+5=18.
【点睛】
本题考查菱形的性质、“将军饮马”作对称点求线段和的最小值,比较综合,难度较大.
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【分析】
如图(见解析),先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得
//,4ME AB ME AB ==,再根据平行线的性质可得60FEM C ∠=∠=?,然后利用直角
三角形的性质、勾股定理可得2,23EF MF ==,从而可得3FN =,最后在Rt FMN 中,利用勾股定理即可得. 【详解】