高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳讲解

平面向量

【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a

。

2.向量的模:向量的大小(或长度,记作:||AB 或||a

。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e = 。

4.零向量:长度为0的向量。记作:0 。【0

方向是任意的,且与任意向量平行】

5.平行向量(共线向量:方向相同或相反的向量。

6.相等向量:长度和方向都相同的向量。

7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-

。

8.三角形法则:

AB BC AC += ;AB BC CD DE AE +++= ;AB AC CB -= (指向被减数

9.平行四边形法则:

以,a b

为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b + ,a b - 。

10.共线定理://a b a b λ=⇔。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b

与反向。

11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.向量的模:若(,a x y = ,则22

||a x y =+ ,22

||a a = ,2||(a b a b +=+

13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ⋅=⋅ ; cos ||||

a b

a b θ⋅=⋅

14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔= ;121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=

题型1.基本概念判断正误:

(1共线向量就是在同一条直线上的向量。

(2若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。

(3与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =

。 (5若AB CD =

,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。

(6若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7若ma mb = ,则a b =

。

(8若ma na = ,则m n =。 (9若a 与b 不共线,则a 与b

都不是零向量。 (10若||||a b a b ⋅=⋅ ,则//a b 。 (11若||||a b a b +=- ,则a b ⊥。

题型2.向量的加减运算

1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b +=

。

2.化简((AB MB BO BC OM ++++=

。

3.已知||5OA = ,||3OB = ,则||AB

的最大值和最小值分别为、。

4.已知AC AB AD 为与的和向量,且,AC a BD b ==

,则AB = ,AD = 。

5.已知点C 在线段AB 上,且35

AC AB = ,则AC = BC ,AB =

BC 。

题型3.向量的数乘运算

1.计算:2(2533(232a b c a b c +---+-=

2.已知(1,4,(3,8a b =-=-

,则132

a b -= 。

题型4根据图形由已知向量求未知向量

1.已知在ABC ∆中,D 是BC 的中点,请用向量AB AC ,表示AD

。

2.在平行四边形ABCD 中,已知,AC a BD b ==

,求AB AD 和。

题型5.向量的坐标运算

1.已知(4,5AB =

,(2,3A ,则点B 的坐标是。 2.已知(3,5PQ =--

,(3,7P ,则点Q 的坐标是。

3.若物体受三个力1(1

,2F = ,2(2,3F =- ,3(1,4F =--

,则合力的坐标为。 4.已知(3,4a =-

,(5,2b = ,求a b + ,a b - ,32a b - 。

5.已知(1,2,(3,2A B ,向量(2,32a x x y =+--

与AB 相等,求,x y 的值。

6.已知(2,3AB = ,(,BC m n = ,(1,4CD =-

,则DA = 。

7.已知O 是坐标原点,(2,1,(4,8A B --,且30AB BC += ,求OC

的坐标。

题型6.判断两个向量能否作为一组基底

1.已知12,e e

是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底: A.1212e e e e +- 和 B.1221326e e e e -- 和4 C.122133e e e e +- 和 D.221e e e - 和

2.已知(3,4a = ,能与a

构成基底的是( A.34(,55 B.43(,55 C.34(,55-- D.4(1,3

-- 题型7.结合三角函数求向量坐标

1.已知O 是坐标原点,点A 在第二象限,||2OA = ,150xOA ∠=

,求OA 的坐标。

2.已知O 是原点,点A 在第一象限,||43OA = ,60xOA ∠=

,求OA 的坐标。

题型8.求数量积

1.已知||3,||4a b == ,且a 与b 的夹角为60

,求(1a b ⋅ ,(2(a a b ⋅+ ,

(31(2

a b b -⋅ ,(4(2(3a b a b -⋅+ 。

2.已知(2,6,(8,10a b =-=-