2015年3月份大工《复变函数与积分变换》模拟试卷A

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大连理工大学网络教育学院

2015年3月份《复变函数与积分变换》课程考试

模 拟 试 卷

考试形式：闭卷 试卷类型：（A ）

☆ 注意事项：本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。

学习中心______________ 姓名____________ 学号____________

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1、设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是（ B ） A 、),(),(y x iu y x v +

B 、),(),(y x iu y x v -

C 、),(),(y x iv y x u -

D 、

x

v

i x u ??-?? 2、设),2,1(4

)1( =++-=

n n i

n n n α，则n n α∞→lim （ C ） A 、等于0

B 、等于1

C 、等于i

D 、不存在

3、下列级数中，条件收敛的级数为（ C ）

A 、∑∞

=+1

)231(n n

i B 、∑∞=+1

!)43(n n

n i

C 、∑∞=2ln n n

n

i

D 、∑∞

=++-1

1)1(n n n i

4、2

1

)(-=

z z f 在1-=z 处的泰勒展开式为（ D ） A 、3|1|)1(312101<++=-∑∞

=+z z z n n n

B 、3|1|)1(31210<++-=-∑∞

=z z z n n n

C 、3|1|)1(3

1210<++=-∑∞

=z z z n n n

D 、3|1|)1(3

12101<++-=-∑∞

=+z z z n n n

5、设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的（ B ） A 、可去奇点

B 、本性奇点

C 、m 级极点

D 、小于m 级的极点

6、设幂级数

1

,-∞

=∞

=∑∑n n n n

n n z

nc z c 和

1

01

+∞

=∑+n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是

（ D ） A 、321R R R <<

B 、321R R R >>

C 、321R R R <=

D 、321R R R ==

7、把z 平面上的点1,,1321-===z i z z 分别映射为w 平面上的点i w w w ===321,1,0的分式线性映射得（ B ） A 、z

z

i w -+?

=11 B 、z

z

i w +-?

=11 C 、z

z

i w -+?

=111

D 、z

z

i w +-?

=111

8、设)0(0

,0

,0)(>??

?≥<=-ββt e t t f t

，则F =)]([t f （ A ） A 、

22ωβω

β+-i

B 、

2

2ωβω

β++i

C 、

2

2ωβω

β--i

D 、

2

2ωβω

β-+i

9、函数)2(t -δ的拉氏变换L =-)]2([t δ（ C ） A 、1

B 、s

e 2

C 、s

e

2-

D 、不存在

10、幂级数∑∞

=0

!n n

z

n 的收敛半径是（ A ）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1、将幂函数i

+15

表示成三角形式为)]5sin(ln )5[cos(ln 5ln i e +

2、将幂函数i

i 表示成指数形式为k e

k (22

π

π

--

为整数)

3、设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=?zdz z C

3

)

(1+i 。

4、)2(-Ln 的主值为2ln

5、函数2

1)(z e z f iz +=在极点处的留数为e i

2-

和e i 2

6、

=++?

=dz z e z z z )cos 2(5

||2____0____ 7、函数)(1t u *在区间],0[+∞上的卷积为t

8、当∞→n 时，n

n z z z ??

?

??=的极限是 不存在 。

9、区域4

arg 0π

<

z w =下的像为π4

3arg 0<

dz C cosz _____ sin2_______

三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）

1、计算10

3131???

?

??-+i i 的值

先把括号中的两个复数化成三角式：)3

sin 3(cos

231π

π

i i +=+（1分）

))3

sin()3(cos(231π

π

-+-

=-i i （1分）

再由复数的除法和求乘幂的方法，得10

10

))3sin()3(cos(2)3sin 3(cos 23131??

???

?

??????-+-+=?

??

?

??-+ππππi i i i （2分）

10

)33sin()33cos(?????

?

+++=ππππi （2分）ππ320sin 320cos i +=i 2321+

-=（2分） 2、解方程组??

?

-=++=-i

iz z i i z z 34)1(22121

解：令222111,iy x z iy x z +=+=，所给方程组可写为??

?

-=++++=--+i

iy x i iy x i i y i x y i x 34)())(1(2222112211

即???

-=+++--=-+-i y x x i y y x i y y i x x 34)()2(2121211

2121（1分）

利用复数相等的概念可知???????-=++=--=-=-3

4120

21212112

121y x x y y x y y x x （1分）

解得531-=x ，（1分）561-=y ，（1分）562-=x ，（1分）517

2-=y ，（1分）

故i z 56531--=，（1分）i z 5

17

562--=。（1分）

3、计算?-+=

C z z zdz

I )2)(12(，其中C 是（1）2

1|1|=-z ；（2）3||=z 。 解：（1）被积函数在2

1

|1|≤

-z 内处处解析，故0=I 。（4分）

（2）被积函数在3||≤z 内有两个奇点2,2

1

=-

=z z ，由复合闭路原理，知 2

2

1

)1

2(

2)2(212212)

2

1(222121=-

=+?+-?=-+++-=+=????z z C C C C z z i z z i dz z z z dz z z z I ππ（2分）

i i i πππ=+=5

45（2分） 4、求函数

)

2)(1(1

--z z 分别在圆环2||1<

解：因为

++++++=-n z z z z

32z 111

1||

|,1|2|<

z （2分）

所以

∑∑+∞

=++∞=+--=----=---=--01011

2)11(1)21(211121)2)(1(1n n n n n z

z z

z z z z z z （2分） （2）由+∞<<||2z ，有1|1

|,1|2|

<

z （2分） 所以

∑∑+∞

=++∞=+-=---=---=--01011

2)11(1)21(11121)2)(1(1n n n n n z

z z

z z z z z z z （2分） 5、计算函数1111)(--+=s s s F

的拉普拉斯逆变换L )]([1

s F - 解：由拉普拉斯变换性质

L =-)]([1s F L ]1

111[

1--+-s s （5分）t

t e e -=-（3分）

四、证明题（本大题1小题，共10分）

证明：若F )(][)

(ω?F e

t i =，其中)(t ?为一实函数，则F ])()([2

1

)]([cos

ωω?-+=F F t 。 证明：dt e e F t i t i ω?ω-+∞

-∞

?=

?

)()(（2分）

dt e e dt e e F t i t i t i t i ω?ω?ω-+∞-∞

-+∞

-∞

?==-??)()()(（2分）

dt e e e F F t

i t i t i ?+∞-∞--+=-+ω??ωω2

])()([21)()(（2分）

dt e t t i ω?-+∞

∞

-?=)(cos （2分）F =)]([cos t ?（2分）