图形的平移与旋转轴对称教学同步讲义

对称、平移、旋转

◆基本概念：

1、在平面内，将一个图形沿某个移动一定的，这样的图形运动称为平移。

2、平面内，将一个图形绕一个沿着某个转动一个，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为，转动的角度为；

3、图形绕着中心点旋转 后能与自身重合，我们就把这种图形叫做中心对称图形。

◆

◆等腰三角形的变换性质

（1）等腰三角形是轴对称图形；（2）、等腰三角形两腰绕顶点的旋转重合性（3）等边三角形的“120 ”旋转对称性；（4）等边三角形“两邻边的60°旋转重合性。

◆等腰直角三角形的变换性质

（1）它是以斜边上的中线所在直线为轴的对称图形（这是由“等腰”决定的）

（2）它是以斜边上的中点为中心的90°旋转重合图形

（3）它的两条直角边关于直角顶点具有90°的旋转重合性

◆【考点题型1】----对称、平移、旋转的性质与作图

【例1】1、下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（）

A B C D

2、供行人穿越马路的“横道线”（俗称“斑马线”）是画在马路上的一系列互相的白色线条。由其中一条白线，通过可以得到其它白线；

【例2】边长都是1个单位长度的正方形网格中有一个ABC ?，先把ABC ?向右平移8个单位长度得到111C B A ?，再作222C B A ?，使它和111C B A ?关于直线MN 成轴对称。 （1）请你在网格中画出111C B A ?和222C B A ?； （2）以点2B 为旋转中心，把（1）中画出的

222C B A ?绕点2B 按逆时针方向旋转?180，得

到333C B A ?，请你画出333C B A ?；

◆【考点题型2】---平移、旋转的有关计算

【例3】1、如图：在ABC ?中，?=∠90ACB ，?=∠20A ，将ABC ?绕点C 按逆时针方向旋转角α到C B A ''?的位置，其中'A 、'B 分别是A 、B 的对应点，B 在''B A 上，'CA 交

AB 于D ，则BDC ∠的度数为（ ）

A 、?40

B 、?45

C 、?50

D 、?60

2、如图：大正方形的面积为6，小正方形的面积为2，则图中阴影部分的面积是 ；

3、如图：边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为；

◆【考点题型3】----创新中考、能力拓展

【例4】1、（12南通）如图，在ABC

?中，90

ACB

∠=?，30

B

∠=?，1

AC=，AC在直线上．将ABC

?绕点A顺时针旋转到位置①，可得到点

1

P，此时

1

2

AP=；将位置①

的三角形绕点

1

P顺时针旋转到位置②，可得到点

2

P

，此时

2

2

AP=

形绕点

2

P顺时针旋转到位置③，可得到点

3

P，

此时

3

3

AP=…，按此规律继续旋转，

直到得到点

2012

P为止，则

2012

AP=（）

A

、2011+B

、2012+C

、2013+D

、2011+

2、（12广州-改编）如图，在等边ABC

?中，6

AB=，D是BC上一点，且3

BC BD

=，ABD

?绕点A旋转后得到ACE

?，则_________

ADE

S

?

=；

【例5】如图：正方形ABCD 和正方形EFGH 的边长分别为22和2，对角线BD 、FH 都在直线 上，1O 、2O 分别为正方形的中心，线段21O O 的长叫做两个正方形的中心距。当中心2O 在直线 上平移时，正方形EFGH 也随之平移，在平移时正方形EFGH 的形状、大小没有变化。

（1）计算=D O 1 ；=F O 2 ；

（2）当中心2O 在直线 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距21O O = ； （3）随着中心2O 在直线 上平移，两个正方形的公共点的个数有哪些变化？并求出相对应

【例6】在ABC ?中，AB=AC ，CG ⊥BA 交BA 的延长线于点G ，一等腰直角三角形按如图所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B 。

（1）在图中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，

让后证明你的猜想；

C

B

C

A B

E

F

M

N C

A

B

E F M

N 图②

（2）当三角尺沿AC 方向平移到如图位置时，一条仍与AC 在一条直线上，另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥BA 于点E ，此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度,猜想并写出DE 、DF 与CG 之间满足的数量关系，让后证明你的猜想；

（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC 方向继续平移到如图所示的位置（点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合）时，（2）中的猜想是否成立？

【例7】已知Rt ABC ?中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C 旋转，且直线CE 、CF 分别与直线交于点M 、N 。 （1）当扇形绕点C 在的内部旋转时，如图①。 求证：；

（2）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

?=∠90ACB CB CA =?45CA CEF AB CEF ACB ∠222BN AM MN +=2

2

2

BN AM MN +=

【例8】（13牡丹江）已知90ACD ∠=?，MN 是过点A 的直线，AC DC =，DB MN ⊥

于点B ，如图（1）．易证BD AB +=，过程如下：过点C 作CE CB ⊥于点C ，与

MN 交于点E 。

∵90ACB BCD ∠+∠=?，90ACB ACE ∠+∠=?，∴ACE BCD ∠=∠ ∵四边形ACDB 内角和为360?，∴180BDC CAB ∠+∠=?． ∵180EAC CAB ∠+∠=?，∴EAC BDC ∠=∠．

又∵AC DC =，∴ACE ?≌DCB ?，∴AE DB =，CE CB =，

∴ECB ?为等腰直角三角形，∴BE =

．

又∵BE AE AB =+，∴BE BD AB =+，∴BD AB +．

（1）当MN 绕A 旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD 、AB 、CB 满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．

（2）MN 绕点A 旋转过程中，当30BCD ∠=?，BD =则____CD =，____CB =

D

N

E

F

M C

B

A

优生堂家庭作业（4）

姓名 作业等级

第一部分：

1、有一种几何图形，它绕某一点旋转，不论转多少度，所得到的图形都与原来的图形完全重合在一起，这种几何图形是（ ）

A 、正三角形

B 、正方形

C 、正六边形

D 、圆

2、如图：矩形ABCD 中，8=AB ，4=BC ，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，则重叠部分AFC ?的面积为 ；

3、（龙岩市）如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是 ； 第二部分：

4、（杭州市）

如图，将边长为3ABC ?折叠，折痕为DE ，点B 与点F 重合，

EF 和DF 分别交AC 于点M 、N ，DF AB ⊥，垂足为D ，1AD =，则重叠部分的面

积为 。

5、已知?

=

∠90

AOB，在AOB

∠的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB（或它们的反向延长线）相交于点D，E。当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图（1），易证：OC

OE

OD2

=

+。

当三角形绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在如图（2），图（3）这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE，OC之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并说明理由。

（3）如果甲校有10名同学抽调去参加书法绘画比赛而不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装的方案．