西北师大附中数学兰外招生预选题

已知关于x的方程x3+（1﹣a）x2﹣2ax+a2=0有且只有一个实根．则实数a的取值范围是

、如图，已知△ABC的面积为S，D是边BC的三等分点，E是边AC的四等分点，F，G

皆是边AB的五等分点．则四边形DEFG的面积是S．

）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣3）x+m﹣4=O的二根为a1、a2，且满足﹣3＜a1＜﹣2，a2＞0．求m的取值范围．

已知二次函数的图象开口向上且不过原点0，顶点坐标为（1，﹣2），与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且满足关系式OC2=OA?OB．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求△ABC的面积．

）如图，已知在△ABC中，D为AC上一点，且AD=DC+CB．过D作AC的垂线交外接圆于M，求证：M为优弧的中点．

在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=8，CE=6，那么△ABC

足此条件的三角形共有2017036个．

设a，b都是正整数，若二次函数y=a2+bx+1的图象与x轴有两个交点，且这两个交点的横坐标x1，x2，满足-1＜x1＜x2＜0，

求：正整数a，b的最小值及此时x1，x2的值．

已知圆P的圆心在反比例函数y=（k＞1）图象上，并与x轴相交于A、B两点．且始终与

y轴相切于定点C（0，1）．

（1）求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式；

（2）若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形．

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=12，设过A，B，C三点的⊙O1与边CD相交于点E，且，直线CB与过A，D，C三点⊙O2的相切．

（1）求边CD的长度；

（2）设⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，求的取值范围．

（1）如图1，抛物线C1：y=ax2+bx+c的开口向下，顶点为D点，与y轴交于点，且经过A （﹣1，0），B（3，0）两点，若△ABD的面积为8．

①求抛物线C1的解析式；

②Q是抛物线C1上的一个动点，当△QBC的内心落在x轴上时，求此时点Q的坐标；（2）如图2，将（1）中的抛物线C1向右平移t（t＞0）个单位长度，得到抛物线C2，顶点为E，抛物线C1、C2相交于P点，设△PDE的面积为S，判断是否为定值？请说明理由．

如图，矩形ABCD中，点M从A点出发在线段AB上作匀速运动（不与A、B重合），同时点N从B点出发在线段BC上作匀速运动．

（1）如图1，若M为AB中点，且DM⊥MN．请在图中找出两对相似三角形：

①△DAM∽△MBN_，②△DAM∽△DMN，选择其中一对加以证明；（2）①如图2，若AB=5，BC=3点M的速度为1个单位长度/秒，点N的速度为个单位

长度/秒，运动的时间为t秒．当t为何值时，△DAM与△MBN相似？请说明理由；

②如果把点N的速度改为a个单位长度/秒，其它条件不变，是否存在a的值，使得△DAM 与△MBN和△DCN这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理

由．

一个袋子里装有2000个红球，1000个黑球，10个黄球，这些球仅颜色不同，要保证摸出的

分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（D）

B

的最小值是2．

应注意的是b2≥0，所以a≤1.切不敢a直接代成7/4.

若2x2﹣6y2+xy+kx+6能分解为两个一次因式的积，则整数k的值是7，﹣7．

已知正实数x、y、z、w满足2007x2=2008y2=2009z2=2010w2，且，求

之值．

已知a、b、c、d为不同的实数，且a、c是方程x2+ax﹣b=0的根，b、d是方程x2+cx+d=0根．求a、b、c、d的值．

如图，△ABC的外心O关于三边的对称点分别为A′、B′、C′．求证：

（1）AA′、BB′、CC′交于一点P；

（2）设△ABC三边中点分别为A1、B1、C1，则P为△A1B1C1的外心．

甲、乙、丙三人站成三角形相互传球，由甲开始传球，每次可传给另外两人中的任何一人，按此规则继续往下传，传球4次后，球又回到甲手中的传球方式有6种．

如图3，n个排成一排的等圆与AB边都相切，又依次外切，前后两圆分别与AC、BC边相切，求这些等圆的半径rn．

则r n=【（5﹣Rr n）+（5﹣Rr n）﹣（5﹣Rr n）】=（5﹣2r n）

∴r n=5

3+2n(其中R=2n-2)

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=4，BC=，CD=9．

（1）在BC边上找一点O，过O点作OP⊥BC交AD于P，且OP2=AB?DC．求BO的长；（2）以BC所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求经过A、O、D三点的抛物线的解析式，并画出引抛物线的草图；

（3）在（2）中的抛物线上，连接AO、DO，证明：△AOD为直角三角形；过P点任作一直线与抛物线相交于A′（x1，y1），D′（x2，y2）两点，连接A′O、B′O，试问：△A′O′D′还为直角三角形吗？请说明理由．

已知二次函数图象经过两点A（1，0）、B（5，0），且函数有最小值﹣1．直线y=m（x﹣3）与二次函数图象交于C、D两点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）证明：以CD为直径的圆与直线y=﹣2相切；

（3）设以CD为直径的圆与直线y=﹣2的切点为E，过点C、D分别作直线y=﹣2的垂线，垂足为F、G、S1、S2、S分别表示△CEF、△DEG、△CDE的面积．证明：S=S1+S2．

如图，将等腰梯形ABCD放在平面直角坐标系中，使底AB在x轴上，顶点D在y轴上，

且A（-3，0），D（0，4），C（4，4），再将梯形ABCD绕点D顺时针方向旋转90°，得到

梯形A1B1C1D1．

（1）填空：点A1的坐标是（-4，7），点B1的坐标是（-4，-3）．

（2）如果将梯形A1B1C1D1向右平移x（x≤7）个单位，求得到的梯形与梯形ABCD重叠部

分的面积S与∴CF的函数关系式，并求S的最大值？

（3）探究：当（2）中的S取最大值时，是否存在经过点A且以平移后得到的梯形的中位

线所在直线为对称轴的抛物线l（设顶点为P），使△ABP与△CDP的面积之和等于梯形300

＜x≤700的面积，若存在，求出抛物线l的解析式；若不存在，请说明理由．

如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射

线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥

AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．

（1）求证：BF=FD；

（2）∠A 在什么范围内变化时，四边形ACFE 是梯形，并说明理由；

（3）A ∠在什么范围内变化时，线段DE 上存在点G ，满足条件14DG DA =

，并说明理由．

如图，已知抛物线与x 轴交于点(20)A -，，(40)B ，，与y 轴交于点(08)C ，．

（1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标；

（2）设直线CD 交x 轴于点E ．在线段OB 的垂直平分线上是否存在点P ，使得点P 到直线CD 的距离等于点P 到原点O 的距离？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）过点B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点F ，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

若抛物线23y ax bx =++与232y x x =-++的两交点关于原点对称，则a b 、分别为 ．[ ；3]

下图中正比例函数与反比例函数的图象相交于A B 、两点，分别以A B 、两点为圆心，画与

x 轴相切的两个圆，若点A 的坐标为（2，1）

，则图中两个阴影部分面积的和是 ．

如图，反比例函数 （k ＞0）与一次函数 的图象相交于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 交y 轴与C ，当|x 1-x 2|=2且AC=2BC 时，k 、b 的值分别为（ D ）

A 、k= ，b=2

B 、k= ，b=1

C 、k= ，b=

D 、k= ，b= 若自然数n 使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，则称n 为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23+24+25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为 24

已知抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x+1有两个交点A 、B ．

（1）当AB 的中点落在y 轴时，求c 的取值范围；

（2）当AB=2 ，求c 的最小值，并写出c 取最小值时抛物线的解析式；

（3）设点P （t ，T ）在AB 之间的一段抛物线上运动，S （t ）表示△PAB 的面积．

①当AB=2 ，且抛物线与直线的一个交点在y 轴时，求S （t ）的最大值，以及此时点P 的坐标；

②当AB=m （正常数）时，S （t ）是否仍有最大值，若存在，求出S （t ）的最大值以及此时点P 的坐标（t ，T ）满足的关系，若不存在说明理由．

已知函数y=k2x2+k（2x﹣3x2）+2x2﹣2x+1的图象不经过第四象限，求常数k的取值范围．（常数k的取值范围是：函数是二次函数时：k＞2或k＜1，函数是一次函数时：k=1或k=2

如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，点P是底边AC上一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是（D）

P，若MN=1，PN=3，则DM的长为2．

如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．

①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是：2；

②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB=21．

如图，A、M是反比例函数图象上的两点，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．BM：DM=8：9，当四边形OADM

的面积为时，k=6．

如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD=2，AD=3，BD=4，则PB=20．

如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为2+2．

在一列数x1，x2，x3，…中，已知x1=1，且当k≥2时，

（符号[a]表示不超过实数a的最大整数，例如[2.6]=2，[0.2]=0），则x2010等于

2．（规律性题目，代入可知每四个一个循环，即

x1=x,x2=2,x3=3,x4=4,x5=1,x6=2,x7=3,x8=4……）

如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（2010，﹣2）．

已知a=﹣1，则2a3+7a2﹣2a﹣11的值等于1．（由已知得（a+1）2=5，所以a2+2a=4，于是2a3+7a2﹣2a﹣12=2a3+4a2+3a2﹣2a﹣11=3a2+6a﹣11=1．）

已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD=AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两

点，连接FG交AB于点H，则的值为．

已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9的五个不同的整数，若b是关于x的方程（x﹣a1）（x﹣a2）（x﹣a3）（x﹣a4）（x﹣a5）=2009的整数根，则b的值为10．

如图，在△ABC中，CD是高，CE为∠ACB的平分线．若AC=15，BC=20，CD=12，则

CE的长等于．

初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n），如果调整后的座位为（i，j），则称该生作了平移[a，b]=[m﹣i，n﹣j]，并称a+b为该生的位置数．若某生的位置数为10，则当m+n取最小值时，m?n的最大值为36．

已知二次函数y=x2﹣2mx+4m﹣8

（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围．

（2）以抛物线y=x2﹣2mx+4m﹣8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN （M，N两点在拋物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

（3）若抛物线y=x2﹣2mx+4m﹣8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的最小值．

（2002?黄石）如图，已知⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，过圆上一点T（，）的切线交x轴于A点，交y轴于B点．

（1）求OA、OB的长；

（2）在切线AB上取一点C，以C为圆心，半径为r的⊙C与⊙O外切于P点，两圆的内公切线PM交OT的延长线于M，过M点作⊙C的切线MN，切点为N．求证：MN=TC且MN∥TC；

（3）若（2）中的⊙C的圆心在AB上移动且始终与⊙O外切（即r在变化），N点坐标为（x，y），问N点的坐标x，y能否写成与r无关的关系式？若能，请写出关系式；若不能，请说明理由．

在△ABC中，分别以AB、BC为直径的⊙O1、⊙O2，交于另一点D．

（1）证明：交点D必在AC上；

（2）如图甲，当⊙O1与⊙O2半径之比为4：3，且DO2与⊙O1相切时，判断△ABC的形状，

并求tan∠O2DB的值；

（3）如图乙，当⊙O1经过点O2，AB、DO2的延长线交于E，且BE=BD时，求∠A的度数．