三年级奥数 简单的等差数列

1.3 简单的等差数列

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在加减法的混合计算中,存在一种情况:多个加数(或减数)按照固定的规律依次排列,并且这些数中任意两个相邻的数的差相同,这就是数学王国中最著名的故事“高斯求和”——等差数列求和。

一、等差数列的认识

【基础过关】

热身题:智慧老人觉得龟兔都是可造之才,所以邀请它们来到家里继续学习新的知识。智慧老人给它们讲了数学王子高斯小时候的故事,随后在黑板上写下了这样的一个题:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10的结果是多少?

分析:观察发现:本题中的数按从小到大的顺序依次排列,可以使用首尾对应求和的方式变加法为乘法计算。

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

=(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)

=11+11+11+11+11

=11×5

=55

老师点睛

当一组数字按照从小到大(或者从大到小)顺次排列且任意两个相邻的数的差相同,这组数被称之为“等差数列”。若求这组等差数列的和,可以按照首尾对应相加的方式使用乘法计算。

二、等差数列的求和计算

【综合提升】

例题1:10+11+12+13+…+19

分析:通过观察可得这是一组等差数列的求和计算,可以采用前面的首尾对应求和的方法。

10+11+12+13+…+19

=(10+19)+(11+18)+…+(14+15)

=29+29+29+…+29

=29×(10÷2)

=29×10÷2

=290÷2

=145

老师点睛

在连续自然数组成的等差数列求和计算中,可以将加法改为乘法计算:和

=(第一个数+最后一个数)×数的个数÷2。但首先要找到这组等差数列中数的个数,才能完成计算。

【巩固训练】

(1)1+2+3+…+20(2)3+4+5+…+12

(3)1+2+3+…+40(4)5+6+7+…+24

例题2:3+6+9+…+60

分析:通过观察可得:这组等差数列的数都是第一个数的倍数,因此在找数的个数时,可以借用倍数的特殊性。

3+6+9+12+…+60

=3×1+3×2+3×3+3×4+…+3×20

=(3+60)×(20÷2)

=63×10

=630

老师点睛

由某个数的连续倍数构成的等差数列求和计算中,应通过借用这个数的倍数找这组数的个数。

【巩固训练】

(1)2+4+6+…+20(2)5+10+15+…+100

(3)4+8+12+…+40(4)100+90+80+…+10

例题3:2000-5-10-15-20-…-100

分析:通过观察可得:所有的减数一起构成等差数列,因此可以先利用等差数列求和的方法求出所有减数的和,再求差。

2000-5-10-15-20-…-100

=2000-(5+10+15+20+ (100)

=2000-(5×1+5×2+5×3+5×4+…+5×20)

=2000-(5+100)×(20÷2)

=2000-1050

=950

老师点睛

在一组减法算式中,若所有的减数组成一个等差数列,可以先求等差数列的和,再求差。

【巩固训练】

(1)200-1-2-3-4-...-18 (2)730-10-20-30-40-...-100 (3)3343-200-180-160-...-20 (4)(2+4+6+...+80)-(1+3+5+ (79)

例题4:小明想在20天内存够500元钱,他计划第一天存入4元,第二天存入8元,第三天存入12元,依次类推,直到第二十天存人80元。那么小明达到目标了吗?

分析:根据题意可得:小明每天存入的钱构成一个等差数列,可以求等差数列的和来判定他是否达到目标。

4+8+12+…+80

=(4+80)×(20÷2)

=84×10

=840

840>500

答:小明达到了目标

老师点睛

应用题中出现一些数按照等差数列的特征排列,若求总数,则可以使用等差数列求和,但一定按照前面的方法找出等差数列中有多少个数。

【巩固训练】

1.光头强计划在60天内砍树500棵,他第一天砍了1棵,第二天砍了2棵, 第天砍了3棵,以此类推,最后一天砍了60棵。光头强的目标达到了吗?

2.奶奶家外的公路边有一堆砖,兄弟两人一起计算这堆砖的总数,哥哥是一块块的数,弟弟发现这堆砖第一层有8块,第二层有16块,第三层有24块,以此类推,最后一层有72块。小朋友们,你们能够快速计算出这堆砖的总数吗?

*3.小老鼠带上2000颗花生去旅游30个城市,它的计划是到达第一个城市就吃2颗,到达第二个城市就多吃4颗,到达第三个城市就再多吃4颗,以此类推,到达最后一个城市应该吃118颗。那么小老鼠旅游结束后还剩下多少颗花生?

通过今天的学习,乌龟和兔子都学会了利用等差数列求和的方法,它们一起分享了自己今天的收获：

(1)通过数的排列规律认识等差数列的特征；

(2)利用首尾对应求和的方法变加法为乘法；

(3)先找等差数列中数的个数才能找到乘法中的另一个因数。