华南理工大学《高等数学》三角函数公式全集.docx

三角函数知识要点

一、三角公式

和(差)角公式：cos(a ± 0)= sin(a ± 0)=

tan(^z ± 0)=

降幕公式：cos2a -

sin2 er =

?二倍角公式：

sin 2a =

cos 2a = = = tan 2a =万能公式：sin "la -

cos 2a =

tan 2a =

半角公式：sin- =

2

a cos—=

2

a tan —=

2 其他公式：

sin a 土cos a 二

sin a 土馅cos a =

一般地：

asina + bcosa =

其中角0的终边经过点tan a + tan 0 =

同角三角函数基本关系式：（四个）平方关系（两个）：

商数关系：

倒数关系：诱导公式：

sin(2￡龙±a)=sin(^ ±a) = cos(2^ ± a) = cos(;r ± a)= tan(2￡;r ±a)=tan(;r ± a)= TT

sin( ---- a) = sin(-a)=

2

cos(彳-a)=cos(-a)=

tan (—-a) =tan(-a)=

2

特殊角的三角函数值：

.71 兀71 sin — = . cos — = > tan —=

6 6 6 .7t 71 7t sin — = . cos — = > tan —=

4 4 4

TT 7T TT sin — = 、cos — = 、tan —=

3 3 3

三角函数

、图象和性质

函数y = sinx y = cosx y = tan x 图象

定义域

奇偶性

单调性

周期

最值

* 时，=

2 时，儿in = 兀= 时，y min = 兀= 时，=

对称性

对称轴：

对称中心：对称轴：

对称中心：

对称轴：

对称中心：

、函数图彖的初等变换

⑴对称变换

①函数y = —/（兀）的图象与函数y = /（兀）的图象关于__ 对称。

②函数y = /（-X）的图象与函数y = /（X）的图象关于____ 对称。

③函数y = —/（—X）的图象与函数y = /（兀）的图象关于对称。

④函数y = （X）的图象与函数y = /（兀）的图象关于 __________ 对称。

⑵平移变换

①左右平移：将函数y = /（兀）的图象沿X轴方向平移问个单位后得到函数y = /（兀+ d）

的图象。当 _________ 时向左，当__________ 时向右。

②上下平移：将函数y = /（x）的图象沿y轴方向平移网个单位后得到函数y = + b

的图象。当 _________ 时向上，当__________ 时向下。

⑶伸缩变换

①横向伸缩（周期变换）：函数y = /（皈）的图象，可以看作是把函数y = /（x）的图象上的点的横坐标缩短（当 ______ 时）或伸长（当 _____ 吋）到原来的1/G倍（纵坐标不变）而得到。

②纵向伸缩（振幅变换）：函数y = Af（x）的图象，可以看作是把函数y = /（x）的图象

上

的点的纵坐标伸长（当 ______ 时）或缩短（当_______ 时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到。

一、三角公式

参考答案

和(差)角公式：

cos(o ± p) = cos a cos sin 0

sin(a ± 0) = sin a cos 0 ± cos a sin 0 tan?

±0)=画"±30

1 + tan Q tan 0

二倍角公式：sin 2a = 2 sin a cos a cos 2a

= cos 2 fz-sin 2 a = 2cos 2 cr-1

=1 -2sin 2 a

降幕公式: 2

1 + cos 2a

cos a ---- -------------

2

.2 1-cos 2a sin - & 二 ---------

2

tan 2a =

2 tana

1 — taira

半角公式：si 止=± J 上叱

2 V 2

a , fT+cosa cos —= ±A

---------------------- 2 V 2 a , /i -cos6Z tan —= ± J ------------------------ 2 V1+ cos a l-cos6r _ sina sin a 1 + cos a

万能公式: sm2a =

2 tana

1 +tan

2 a COS 2Q =

1 一 tan 2

a

1 + tan 2

a

r 2 tan a tan 2a = ---------- —

l-tarra

其他公式： sin a ± cos 6Z = V2 sin a± —

I 4丿

sin6Z±V3COS = 2sin a± —

I 3丿

asina + bcosQ = ^Ja 2 4-Z?2 sin(a + °) 其中角

O 的终边经过点A (a,h)o tan a + tan 0 = tan(a + 0)(l - tanatan0)

同角三角函数基本关系式：(四个)

? 2 9 <

sinra + cos a = l ；

2 1

C0SP 二 ------ z —;

1 + tanr a sin a

.

tana = --------- ； tan a cot a - 1。

诱导公式：

sin(2拆 土 a) = ± sin a ； sin(-a) = - sin a cos(23 ±a) = cos a ； cos(-a) = cos a tan(2￡乃

± a) = 土 tan a ； tan(-a) = — tan a

sin 7t 1 71 4

7t .V

3 z 二—、 cos —= 、

tan —=

6 2 6 2 6 '3

sin 7t _V2 兀 _V2 兀 ■ —z

> cos —-

> tan — =1

4 _

2 4 ~ 2 4

sin 71 —z _V[ 71 、COS — 1 二—>

71 tan —=

3 2 3 2 3

sin (兀 ±a) = +sina ； sin( ------ a) - cos a cos? ± a) = - cos a ； cos(— -a) = sin a 71 tan(.r ±a) = ±tana ； tan(y -a) = cot a

特殊角的三角函数值:

二、三角函数

、图象和性质（下表屮）

函数

y = sinx y = cosx

y = tan x

图象

参见课本P 49

参见课本P 49

参见课本P?1

定义域 R

R

“送，咗

奇偶性 奇函数

偶函数

奇函数

单调性

在 在

2k7T--^k7t + -

. 2 2. 2阪七兀，2k 兀戶

_

2 2

_ 增

减

在 \lkK-7t^lkn\ 增 在 以龙,2航+龙］减

心尹+勻增

周期 271

2兀

71

最值

兀=2炊一￡ 时,y,…in = 一1

2

兀=2拆+彳时，y max = 1

x - 2k7r - n M, y min = -1

X =

时， 心T

无

对称性

JT

对称轴：X = k7T + —;

2

对称中心：（刼■,（））

对称轴：x-k7t \

/ 、

对称屮心：k7l H —,0

1 2丿

对称轴：无； 对称屮心：”号，0

\ /

、函数图象的初等变换

（1）对称变换： ① 函数y = 的图象与函数y 二/（x ）的图象关于兰迪对称。 ② 函数）,=f （-x ）的图象与函数y = f （x ）的图象关于亍牠对称。 ③ 函数y = -/（-x ）的图象与函数f （x ）的图象关轴点对称。

④ 函数y = f-\x ）的图象与函数y = /（劝的图彖关于直线v = %对称。

⑵平移变换：

① 左右平移：将函数y = /（x ）的图象沿x 轴方向平移问个单位后得到函数y = f （x + a ）

的图象。当d>0时向左,当a vO 时向右。

② 上下平移：将函数y = /（兀）的图象沿y 轴方向平移”|个单位后得到函数y = f{x^b 的图

象。当方>0时向上，当方vO 吋向下。 ⑶伸缩变换：

① 横向伸缩（周期变换）：函数y = f （a ）x ）的图彖，可以看作是把函数y = f （x ）的图象 上的点的横坐标缩短（当e>l 时）或伸长（当0vev 1时）到原来的1/e 倍（纵坐标 不变）而得到。

② 纵向伸缩（振幅变换）：函数y = Af （x ）的图象，可以看作是把函数y = /（x ）的图象上 的点的纵坐标仲长（当A>1时）或缩短（当0 < Av 1时）到原来的A 倍（横坐标不变） 而得到。