第一讲数学模型源于心中有模型

创造数学模型始于心中有模型-举例漫谈

●数学建模是mathematics modeling，是数学形成的进

行时，没有终结。

●数学建模既是活的数学也是即兴使用数学知识的体现。

●数学建模是创造数学模型的过程与结果的综合表现。

●数学建模是“渔”鱼正常劳动生活。

●数学建模竞赛则是限时的“命题式作文考试”，格式是

古老的八股文风格。

●数学建模竞赛是“渔鱼”的表演赛。

●数学模型是已经被前人完成了模型，是被捕上岸的

“鱼”。

●数学教科书是所有优秀的数学模型以及如何使用这些模

型的附件的系统化整理和分类得到的书。

1.数学建模对人的要求：团队精神、快速反应、勤奋

务实、…

2.数学建模对知识的要求：心中有模型，关心生活，

关注身边的事物。

3.数学知识与其他知识同等重要。

4.具体本次课程要讲解的内容：现代数据处理技术，

机器学习方法,…

案例展示

Case1

mRNA 是翻译蛋白的蓝图，是一种四个字符组成的特殊单链序列，任何一个蛋白必然有一个mRNA与之对应。那么由生物学铁定的事实“兼并”规则：b5E2RGbCAP

表1：兼并法则表

兼并法则可以理解为映射：

由兼并映射，令为一切翻译蛋白的mRNA 之集合，令为全体蛋白。我们诱导出一个天然的映射法则<对应于读

码框）:p1EanqFDPw

图1 mRNA到蛋白的映射

诱导公式：

问题：“，，”

从数学上看，这是不是一个十分简单的问题？

近几年来，人们从一度被认为是没有用途的非编码区中发现了一些身手不凡的“小小兵”，称为micro RNA, 简称miRNA. 它们是非常保守的片断，不但自己不转录成蛋白，而且还阻止其他序列转录。由于它们个体小，通常是21-25nt，因此在进化过程中一直保持稳定的状态，也就是说，它们在生物进化过的程中是保守的。DXDiTa9E3d

由于,碱基的互补性:A:C。 G:U (G:T>。导致miRNA有能力攻击以单链形式出现的mRNA。它们通过碱基互补的力量与mRNA 中的适当的片断互补配对，诱导mRNA降解或者阻止了该mRNA 转录为蛋白。RTCrpUDGiT

mRNA 的死亡意味着相应的蛋白表达数量有可能减少。而某些功能蛋白的数量减少直接会表现出来与疾病联系。例如在一些

细胞信号转导通路上的功能蛋白减少，会影响上下游蛋白的功能的履行，导致肿瘤成因。反之，由于某些蛋白表达量过高，也会导致肿瘤，那么使用miRNA抑制它，也可以达到抑制肿瘤的目的。基于miRNA-21做出的基因芯片中，也显示出了随胶质瘤的级别增长表达提高。5PCzVD7HxA

图2 部分miRNA 的表达状况的数据示范

因此，我们感兴趣miRNA。那么miRNA 是如何调控蛋白的表达的呢？如前面所说，对于每个蛋白，用数学观点看，映射是

多对1的。作用在mRNA上<通过碱基的互补的力量来实现结合），我们给出一个直观的解释，如图3所示。jLBHrnAILg

图3 miRNA 与mRNA作用示意图

文献

因此我们先限制在特殊情形：21nt 彼此完全互补配对，且相应的mRNA 被降解。<当然，对于溶合蛋白，即使是出现了完美互补，也可能不是将这个蛋白彻底摧毁）。LDAYtRyKfE

图(a> 中两幅图，第一幅说明在植物中的miRNA-target 对偶，互补方式是完全互补的单一形式，合乎我们上面提出的简单特征。而在第二幅中，说明动物中的miTNA-target 对偶，花样方多，是不完全的互补关系或者分散型部分互补。图(b>系列中，左上：表示单个miTNA-target 对偶完美互补的构相，作用相当于将靶序列切割成两片。左下：表示单个miTNA-target 对偶不完美互补的构相，其作用是抑制靶序列的转录。右上：一个miRNA 分散作用到靶序列的不同区域，综合抑制靶序列的转录。右下：多个miRNA 分散作用到靶序列的不同区域，综合抑制靶序列的转录。Zzz6ZB2Ltk

总结以上叙述，我们有两个朴素模型

1.当为映射时，，，

2.将mRNA比作长蛇，miRNA 比作子弹，那么只要在七寸处给

一枪，蛇就彻底死亡。

它们到底能够发酵出什么样的重大问题？我们可以提出以下研究问题：

1.miRNA，mRNA，统计miRNA在mRNA上靶点的数目

2.miRNA，统计miRNA 的所有目标mRNA。

3.mRNA，统计以mRNA为目标的所有miRNA。

定义：，如果在所有现存的数据库中有，则

称蛋白无备份。否则称为有备份蛋白，中的元素称为副本。

●用计算机统计：现存蛋白质库中，**% 的蛋白是无备份

的。

●所有带备份的蛋白，副本数量不超过？比如，10。

●无备份蛋白，搜索出它的天敌miRNA。

●备份蛋白，搜索出它的天敌miRNA。

●，利用兼并法则计算出在数学意义下和

。

●求翻译为氨基酸的61种三联子的概率分布列，

●，它出现的概率的分布情况。

●在无备份蛋白中，分析自然界选择的那一条mRNA 的概率

与所有数学意义下的全体副本的概率的关系。

●学习Zorn引理，

附件：

人类基因组中mRNA密码子频率

共搜索转译区1.16764e+006个，共有密码子1.08516e+008个

<制表：陈汉哲）

对于每个给定氨基酸序列，从数学上看，因该有可能的

mRNA 的数目为：

因此将每个蛋白质序列的所有可能的mRNA 序列认为是

，其中的每个元素改写为：

， 其中表示表中的三联子。

那么可以给它规定一个自然的“半序”关系：

Case2

水桶原理：两只同样形状的水桶的容积的大小，取决于它们的梆子是否整齐。

定理：对于任意与，均有

<1）

证明：令为使得达到最小的，并假设<如果

，那么不等式显然成立）。同样，也假设。如果

，那么(1>两边都是无穷大，那么必然其它所有也全为

0，不等式显然成立。于是dvzfvkwMI1

(2>

成立。使用如下简单关系

(3>

就完成了证明。

使用水桶原理可以知道如何构建进取型投资组合，例如

首先对的情形讨论。也即第一天的投资组合为

(4>

其中，表示投入到相应的股票

(5>

其中为最佳投资组合的资金比例。那么你要想得到最大的投资回报，就等价于最大，而

(6>

为了求解，很自然的方式是：如何是的最小值最最大。将各只股票看成，其中是中的第个坐标轴的单位向量<这要求所选的股票是独立的或者不相关

的）。这样，问题就转化为投资者如何选取使得该最小值

达到最大。因此，选取必定是可以达到的。EmxvxOtOco

对于连续投资的情形，假设为第n期投资的理想化的

总财富；是你的第n期的投资的总资产。那么要你要得到最大的财富增长，最重要的是设计好每期的投资组合使得SixE2yXPq5

(7>

最大化。

<7）可以改写为如下的比值形式

<8）

这样，可以找到万能的使得在对数意义之下与最佳投资高手比肩。

Case3. 其它MITACS实习计划中研究案例的剖析Transportation & Logistics<运输与物流）

Planning Models for

Emergency Medical

Services

Operations6ewMyirQFL

(关于医疗应急措施的若干模型>

Partner: City of Edmonton <参加单位：Edmonton 市）

Institution: University of Alberta <主持机构：

Alberta 大学）kavU42VRUs

该计划的目的是研究这样一些策略使得重新调整埃德蒙顿

Green Energy Generation<绿色能源）

Optimization of the SyncWave Power Resonator<兴波功率共鸣器的最优化）M2ub6vSTnP

Partner: SyncWave Energy Inc. <合作单位：兴波能

源

Institution: University of Victoria <承担单位：

维克托利亚大学）eUts8ZQVRd

兴波能源

Energy）公司是一

个海浪能转换技术

开发商。2008

年，为了维修那些分散安装在海岸边海浪发电机兴波公司致力于开发小型商用兴波牌功率共鸣器<称为夏洛特）。本次实习计划的目的就是使用最优化分析手段找出一种方法，通过对控制系统的技术改进使得该公司现有的原型海浪发电机能够尽可能吸收到最大的浪能。这种改进的可行性来自于原型发电机对于低频海浪<指的是冬季海洋条件）的转换率预测可以提高到两倍。该公司计划将该系统商业化用于近海或者偏远沿海的居民的电力问题。sQsAEJkW5T

Finance & Insurance<金融与保险）

Insurance Pricing with Proprietary Information<具有信息所有权的保单定价）GMsIasNXkA

Partner: AVIVA Canada<合作单位：加拿大AVIVA）

Institution: University of Calgary<承担机构：卡尔加里大学）

关注个体保单客户的汽车

交通事故的似然的和严格

的信息可以使得客户与保险公司对保单明码标价。富有证据的数据越多越精确，保单的定价就越精确越公平。现代先进的技术，比如远程技术，使得保险公司有能力提升他们的信息的质量。这种提升后的信息能够有效地促进人车保险市场繁荣，使得保险公司与客户双赢。实习计划的目的就是要与合作单位AVIVA一起开发一个数学模型。在加拿大，由财险和意外险为龙头的包括房屋租赁，汽车以及商业保险在内的保险群体，导致了保险公司也加盟旨在提高保险市场的效率。TIrRGchYzg

A Defense System Against Distributed Denial of Service Attacks<抵御分布式DoS攻击的防御系统）7EqZcWLZNX Partner: BellCanada

Institution: Queen's University

分布式DoS攻击<简称

DDoS）被广泛地视为

互联网的一种主要威

胁，因为它们能够让

服务器不能正常服务

而造成巨大数量的有害的通讯量。对有害通信管制是加拿大Bell公司最大的挑战。最近的反击措施尚不能保证在汹涌的有害通信潮猛增的条件下会有较高的服务质量。该实习计划就是要承担起当前的DDoS防御系统的研究，应用一系列数学与统计技巧开发能够

尽早检测攻击发生，能够高精度地追查攻击源，且能够高效率的堵住攻击的软件。lzq7IGf02E

Forestry<林学）

A Mathematical Framework for Modelling Forest Fire Spread <森林大火蔓延的数学模型）zvpgeqJ1hk

Partner: Wildfire Science Unit, Government of AlbertaNrpoJac3v1

Institution: University of Alberta

森林火灾的计算机预测

模型对于野火的管理是

有巨大价值的。该计划

的目标就是分析被野火

科学部门用在预测火的软件包普洛M休斯

Aerospace<航空宇宙）

Implementation of 3D Grid Movement Algorithms <3－维格子运动算法的实现）fjnFLDa5Zo

Institution: University of Toronto

Partner: Bombardier Aerospace

该实习计划涉及在分

析航空投弹手软件的

基础上开发与整合航

空编组算法，使得在创新航空产品的设计与制造领先世界，并为地区性和两栖类航行器市场的商业化服务。所要开发的算法是用来确认几何意义下的编组容量，其涉及最优化周期或者空气弹性变形分析。tfnNhnE6e5

Cattle Industry<肉牛产业）

Data Analysis and Hypothesis Testing for Cattle Carcass Data and Single Nucleotide PolymorphismsHbmVN777sL

Partner: Feedlot Health Management Services

Institution: University of Calgary

饲养场的公共医

疗卫生管理是一

个覆盖面很大的

肉牛产业咨询机

构，它为饲养者