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高辅-冲刺班-概率部分真题训练

（编辑整理：周蔷）

1．设二维随机变量()X Y +的概率密度为

2

2

22(,)e ,,,x

xy y f x y A x y -+-=-∞<<∞-∞<<∞

求 常数及A 条件概率密度|(|).Y X f y x

2．设总体X

其中(0,1)θ∈未知,以i N 来表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3),i =

试求常数123,,,a a a 使3

1

i i i T a N ==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.

3．设随机变量X 概率分布为{}(0,1,2,),!

C

P X k k k ==

=则2EX = .

4．设随机变量X 的分布函数()F x = 001

01,2

1e 2

x x x x -<≤≤->则{1}P X ==

(A)0

(B)1

(C)

11

e 2

--

(D)11e --

5．设1()f x 为标准正态分布的概率密度2,()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度,

()f x =

12()()af x bf x 0

x x ≤> (0,0)a b >> 为概率密度,则,a b 应满足 (A)234a b +=

(B)324a b +=

(C)1a b +=

(D)2a b +=

5．袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. (1)求{}

10p X Z ==.

(2)求二维随机变量(),X Y 概率分布.

6．设总体X 的概率密度为2,0

()0,x xe x f x λλ-?>=??其他

,其中参数(0)λλ>

未知,1X ,2X ,…n X 是来自总体X 的简单随机样本. (1)求参数λ的矩估计量.

(2)求参数λ的最大似然估计量.

7．设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -??=Φ+Φ ???

,其中()x Φ为标准正态分布函数,则EX = (A)0 (B)0.3 (C)0.7 (D)1

8．设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为

{}{}1

012

P Y P Y ====

,记()Z F z 为随机变量Z XY

=的分布函数,则函数()Z F z 的间

断点个数为 (A)0

(B)1

(C)2

(D)3

9．设12,,

,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均

值和样本方差.若2

X kS +为2np 的无偏估计量,则k = . 10．设随机变量X 与Y 相互独立,X 的概率分布为{}()1

1,0,13

P X i i ===-,Y 的概率密度为()101

0Y y f y ≤≤?=?

?其它

,记Z

X Y

=+,

(1)求102P Z X ??≤

=????

. (2)求Z 的概率密度. 11．设12,,

,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.

记11n i i X X n ==∑,2

21

1()1n

i i S X X n ==--∑,221T X S n =- (1)证明T 是2μ的无偏估计量.

(2)当0,1μσ==时 ,求DT .

12．设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则{}

2P X EX == .

13．设随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ,则{}max ,Z X Y =分布函数为 (A)()2F x

(B) ()()F x F y

(C) ()2

11F x --????

(D) ()()11F x F y --????????

14．设随机变量()~0,1X N ,()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=,则 (A){}211P Y X =--= (B){}211P Y X =-= (C){}211P Y X =-+=

(D){}211P Y X =+=

15．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

2,01,01

(,)0,x y x y f x y --<<<

?

其他 (1)求{2}.P X Y >

(2)求Z X Y =+的概率密度. 16．设总体

X

的概率密度为

1

,021

(;),12(1)0,x f x x θθθθθ?<

其他

12

,,n X X X 是来自总体x 的简单随机样本,X 是样本均值

(1)求参数θ的矩估计量?θ

. (2)判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由.

17．在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于1

2

的概率为________.

18．某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为()01p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (A)23(1)p p - (B)26(1)p p -

(C)223(1)p p -

(D)226(1)p p -

19．设随即变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,()X f x ,()Y f y 分别表示,X Y

的概率密度,则在Y y =的条件下,X 的条件概率密度|(|)X

Y

f x y 为

(A)()X f x

(B)

()Y f y

(C)()X f x ()Y f y (D)

()

()

X Y f x f y

20．设二维随机变量(),X Y 的概率密度为(),0,0,x e y x

f x y otherwise

-?<<=??

1）求条件概率密度()

Y X f y x 2）求条件概率密度11P x y =?≤≤???

21．设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率密度为()()1

1,0,13

P X i i ==

=-， Y 的概率密度为记()1,01

0,Y y f y otherwise

≤

?，记Z X Y =+ 1）求102P Z X ??≤

= ???

2）求Z 的概率密度()Z f z

22．设12,,...n X X X 是来自总体()

2

.N

μσ的简单随机样本，记1

1n

i i X X n ==∑，

2

211()1n i i S X X n ==--∑，221T X S n

=- 1）证明T 是2

μ∧的无偏估计量 2）当2

.0,1μσ==时，求DT

23．设二维随机变量(),X Y 的概率密度为()2,01,01

,0,x y x y f x y otherwise

--<<<

1）求{}2P X Y >

2）求Z X Y =+的概率密度()Z f z

24．设随机变量X 与Y 独立分布，且X 的概率分布为

记{}{}max ,,min ,U X Y V X Y == 1）求(),U V 的概率分布

2）求(),U V 的协方差()cov ,U V