高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解

(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解

分析

一、函数的概念与表示

1、映射：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

集合A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射f:(x,y)→(x 2+y 2,xy)，求象(5，2)的原象.

3.已知集合A 到集合B ＝｛0，1，2，3｝的映射f:x →11

-x ，则集合A 中的元素最多有几个写出元素最多时的集合A.

2、函数。构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

二、函数的解析式与定义域

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f

配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知221

)1(x

x x

x f +

=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例5 设,)1(2)()(x x

f x f x f =-满足求)(x f 例6 设)(x f 为偶函数，)(x

g 为奇函数，又,1

1

)()(-=

+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，

求)(x

f

七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

例8设)

f是+N上的函数，满足1

(x

a,都有

f，对任意的自然数b

)1(=

(

=

)

(

(，求)(x

)

+

+)

f-

b

ab

f

a

b

a

f

f

1、求函数定义域的主要依据：

（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

2求函数定义域的两个难点问题

已知f的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

（1）()x

（2）(21)x

已知f－的定义域是[-1,3],求f()的定义域

x

三、函数的值域

1求函数值域的方法

①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；

②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；

③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且x∈R的分式；

④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；

⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；

⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；

⑦利用对号函数

⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数

四．函数的奇偶性

1．定义:2.性质：

①y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称, y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称,

②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称]

3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系

五、函数的单调性

1、函数单调性的定义：2 设()[]x g f y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。

1)(>x f ，

⑴求证：)(x f 在R 上是增函数； ⑵若4)3(=f ，解不等式2)5(2<-+a a f 3函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________

4(高考真题)已知(31)4,1

()log ,1

a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取

值范围是

（A ）(0,1) （B ）1

(0,)3 （C ）11[,)73 （D ）1[,1)7

一：函数单调性的证明1.取值 2，作差 3，定号 4，结论 二：函数单调性的判定，求单调区间

322--=x x y 322--=x x y 452-+-=x x y 3

212

+--=

x x y

)23(log 22+-=x x y x

x y 4221

-=

x x y 212+= 51212

+⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y

x a x y +

= （0>a ） x

a

x y -= （0>a ） 三：函数单调性的应用 1.比较大小 例：如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有

)2()2(-=+t f t f ，那么 A 、)4()1()2(f f f << B 、)4()2()1(f f f <

2.解不等式例：定义在（－1，1）上的函数()f x 是减函数，且满足：(1)()f a f a -<，求实数a 的取值范围。 例：设

是定义在

上的增函数，

，且

，

求满足不等式

的x 的取值范围.